Vis kilden til 0,999…

[[Fil:999 Perspective 2.svg|thumb|right|300px|Tall i perspektiv]]
'''0,999…''' (også <math>0.\bar{9}</math> eller <math>0.\dot{9}</math>) er innen [[matematikk]] en periodisk desimalutveksling som er eksakt det samme som tallet [[1 (tall)|1]]. Med andre ord representerer symbolene 0,999… og 1 samme [[reelle tall]]. Matematikere har formulert flere [[matematisk bevis|matematiske bevis]] for dette, med forskjellig grad av hardhet, foretrukket konstruksjon av de reelle tallene, bakgrunnsantakelse, historisk sammenheng og målgruppe.

== Bevis ==
=== Brøktallsbevis === 
{| style="wikitable"
|

<math>
\begin{align}
0{,}333\dots          &= \frac{1}{3} \\
3 \times 0{,}333\dots &= 3 \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{3} \\ 
0{,}999\dots          &= 1
\end{align}
</math>

|width="50px"|

||

<math>
\begin{align}
0{,}111\dots          &= \frac{1}{9} \\
9 \times 0{,}111\dots &= 9 \times \frac{1}{9} = \frac{9 \times 1}{9} \\ 
0{,}999\dots          &= 1
\end{align}
</math>

|}

=== Algebrabevis ===
<math>
\begin{align}
x           &= 0{,}999\ldots \\
10 x        &= 9{,}999\ldots \\
10 x - x    &= 9{,}999\ldots - 0{,}999\ldots \\
9x          &= 9{,}999\ldots - 0{,}999\ldots \\
9x          &= 9 \\
x           &= 1 \\
0{,}999\ldots &= 1
\end{align}
</math>
i motsetning til
<math>
\begin{align}
x           &= 0{,}999 \\
10 x        &= 9{,}99 \\
10 x - x    &= 9{,}99 - 0{,}999 \\
9x          &= 9{,}99 - 0{,}999 \\
9x          &= 8{,}991 \\
x           &= 0{,}999 \\
0,999       &= 0{,}999
\end{align}
</math>
der endeligheten fører til at tallene ikke får like mange desimaler når én blir trukket foran [[desimaltegn]]et, og da differensen ikke et [[naturlig tall]].

=== Filosofiaspekt ===
<math>
\begin{align}
1{,}000...
- 0{,}999...
= 0{,}000...(1?)
\end{align}
</math>

Legg merke til det lille 1-tallet med [[spørsmålstegn]]. Dette er noe en kunne tro beviser at det finnes en forskjell. Problemet er at det ikke gir mening å plassere et tall i enden av en [[uendelighet]], da den enden ikke finnes. Rekken av 0-er fortsetter nemlig for alltid, og gjør ikke plass til noe 1.

=== Omtale ===
Selv om dette beviser at 0,999...&nbsp;=&nbsp;1, i den grad de ''forklare''r ligningen avhenger av brukergruppen. I innledende aritmetikk, slike bevis hjelpe til å forklare hvorfor vi har 0,999...&nbsp;=&nbsp;1, men 0,333...&nbsp;<&nbsp;0,4. Og i innledende algebra, hjelper bevisene å forklare hvorfor den generelle metoden for konvertering mellom fraksjoner og gjentakende desimaler fungerer. Men de kaster også lys på forholdet mellom desimaler og tallene de representerer, som ligger til grunn for spørsmålet om hvordan to ulike desimaler i det hele tatt kan sies å være like. {{Ref label|Note1|A|A}} William Byers hevder at en som er enig i at 0,999...&nbsp;=&nbsp;1 på grunn av de ovennevnte bevis, men har ikke løst flertydigheten, ikke egentlig forstår ligningen. {{Ref label|Note1|B|B}} Fred Richman hevder at det første argumentet "får sin styrke fra det faktum at folk flest har blitt opplært til å akseptere den første ligningen uten å tenke". {{Ref label|Note1|C|C}}

Når en fremstilling ordningen er definert, kan den brukes til å forsvare reglene i desimal-aritmetikk brukt i ovennevnte bevis. Dessuten kan man direkte påvise at desimaltallene 0.999... og 1.000... begge representerer samme reelle tall, det er innebygd i definisjonen.

== Se også ==
* [[Desimaltall]]
* [[Reelle tall]]

== Fotnoter ==
* {{Note label|Note1|A|A}}Dette argumentet er funnet i Peressini og Peressini s. 186
* {{Note label|Note1|B|B}}Byers s. 39-41
* {{Note label|Note1|C|C}}Richman s. 396

== Eksterne lenker ==
* {{Offisielle lenker}}
* [http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/999999.shtml .999999… = 1?] fra cut-the-knot
* [http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.9999.html Why does 0.9999… = 1 ?]
* [http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.00/joan2.html Proof of the equality based on arithmetic]
* [http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/themes/limits-infinity.html David Tall's research on mathematics cognition]
* [http://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/decimals.html What is so wrong with thinking of real numbers as infinite decimals?]
* [http://us.metamath.org/mpegif/0.999….html Theorem 0.999…]{{død lenke|dato=juli 2017 |bot=InternetArchiveBot }} på Metamath

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Aritmetikk]]
[[Kategori:1 (tall)]]








[[de:Eins#Periodischer Dezimalbruch]]
[[nl:Repeterende breuk#Repeterende negens]]