Vis kilden til Addisjon av hastigheter

[[Fil:Two reference frames.PNG|thumb|300px|Hastighetene til bilene er avhengig av om de måles i det stasjonære [[referansesystem]]et S eller i systemet  S' som beveger seg med en av bilene.]]

'''Addisjon av hastigheter''' opptrer når [[hastighet]]en til en gjenstand skal finnes i et [[referansesystem]] når den har en gitt hastighet i et annet referansesystem som beveger seg relativt til det første. For eksempel vil en person som går omkring på et tog i bevegelse, si at han går langsomt. Men en observatør som ser mannen fra en stasjonsplatform, ser han fare raskt forbi med en hastighet nesten like stor som togets. For [[lydbølge]]r gir en slik bevegelse av lydkilden en forandring av dens [[frekvens]] som er den [[Dopplereffekt|akustiske Doppler-effekten]].

Når noen av hastigheten blir store og nærmer seg [[lyshastigheten]], må de adderes ved bruk av [[spesiell relativitet|spesiell relativitetsteori]]. Dette gir opphav til nye fenomen som [[relativistisk Doppler-effekt]], [[aberrasjon (astronomi)|aberrasjon]] i [[astronomi]]en og forandring av lyshastigheten i rennende vann som observert i [[Fizeau-eksperiment]]et. Sammen med [[Michelson-Morley-eksperiment]]et bekreftet dette [[Einstein]]s [[relativitetsteori]]. Den viste at man aldri kan overstige lyshastigheten ved å addere den til en annen hastighet.

==Galileisk kinematikk==
For å beskrive bevegelsen til en partikkel behøver man et [[referansesystem]] som man kan kalle &Sigma; Man kan da tilordne partikkelen en posisjon '''r'''(''t''&thinsp;) som varierer med tiden ''t''. Den har derfor  [[hastighet]]en {{nowrap|'''u''' {{=}} ''d''&thinsp;'''r'''/''dt&thinsp;''}} i dette systemet. Sett fra et annet system &Sigma;'&thinsp; med [[origo]] '''r'''<sub>0</sub> vil partikkelen ha en posisjon '''r''''(''t''&thinsp;) gitt ved {{nowrap|'''r''' {{=}} '''r'''<sub>0</sub> +  '''r'&thinsp;'''.}} Dermed vil også hastigheten '''u'''' til partikkelen kunne bli forandret når den observeres i &Sigma;'. Sammenhengen mellom de to hastighetene følger i alminnelighet fra relasjonen

: <math> \mathbf{u} = {d\mathbf{r}\over dt} = \mathbf{u'} + \mathbf{v} </math>

der '''v''' = ''d''&thinsp;'''r'''<sub>0</sub>/''dt&thinsp;'' har hastighten til &Sigma;'&thinsp; relativt til  &Sigma;. Dette representerer addisjon av to hastigheter. I det spesielle tilfellet at &Sigma; er et [[treghetssystem]] og hastigheten '''v''' er konstant, vil &Sigma;' også være et treghetssystem. Dette ligger til grunn for det  galileiske [[relativitetsprinsipp]]et.<ref name = Ohanian> H.C. Ohanian, ''Physics'', W.W. Norton & Co, New York (1985). ISBN 0-393-95401-3. </ref>

Når man benytter [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinatsystem]] med parallelle akser i de to referansesystemene, kan man lett uttrykke komponentene til de to hastighetene. Spesielt enkel blir denne sammenhengen når bevegelsen av &Sigma;' relativt til &Sigma; foregår langs en av koordinataksene. Velges dette å være ''x''-aksen som man tar i samme retning som  hastigheten '''v''', har man

: <math> u_x = u'_x + v, \;\; u_y = u'_y, \;\; u_z = u'_z </math>

Den [[langsgående akse|longitudinale]] komponenten langs hastigheten '''v''' forandres, mens de transverse komponentene [[vinkelrett]] på denne forblir uforandret.

===Fiktiv tyngdekraft===
Hvis hastigheten '''v''' varierer med tiden, vil referansesystemet &Sigma;'&thinsp; ha en [[akselerasjon]] ''d'''''v'''/''dt&thinsp;'' relativt til &Sigma;. Den totale akselerasjonen partikkelen har i &Sigma; er da

: <math> \mathbf{a} = {d\mathbf{u} \over dt} = \mathbf{a'} + {d\mathbf{v}\over dt} </math>

hvor '''a'''' er akselerasjonen den har i &Sigma;'. Hvis ingen krefter virker på partikkelen, sier [[Newtons lover|Newtons andre lov]] at den har akselerasjonen '''a''' = 0 i &Sigma;. Men observert i det akselererte referansesystemet vil den likevel ha en akselerasjon

: <math> \mathbf{a'} = - {d\mathbf{v}\over dt} </math>

Når partikkelen har masse ''m'', vil dette tilsvare en [[fiktiv kraft]] '''F'&thinsp;''' = -''m''&thinsp;''d'''''v'''/''dt&thinsp;'' som har samme egenskaper som en [[tyngdekraft]]. Dette kan man oppleve i en heis som starter opp eller en bil som bråbremser.<ref name = Ohanian/>

==Roterende referansesystem==

Addisjon av hastigheter opptrer også når man betrakter en partikkel fra et [[roterende referansesystem]] &Sigma;'. Med bruk av [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]] kan posisjonsvektoren '''r'''(''t&thinsp;'') til partikkelen uttrykkes ved de tre koordinatene (''x,y,z'') i &Sigma; eller (''x',y',z'&thinsp;'') i &Sigma;' som

: <math> \mathbf{r}(t) = \sum_{k=1}^3 x_k(t)\mathbf{e}_k = \sum_{k=1}^3 x'_k(t)\mathbf{e'}_k(t) </math>

hvor basisvektorene '''e''''<sub>''k''</sub>&thinsp; i det roterende systemet &Sigma;' varierer med tiden når de observeres fra det stasjonære systemet &Sigma;. Når rotasjonen til &Sigma;' er gitt ved en [[hastighet|rotasjonshastighet]] '''&omega;''', vil bevegelsene til basisvektorene være gitt ved

: <math> {d\mathbf{e'}_k\over dt} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{e'}_k </math>

på samme måte som for vektorer i et stivt legeme.<ref name="Irgens">F. Irgens, ''Dynamikk'',  Tapir, Trondheim (1999). ISBN 82-519-1500-7.</ref> Hastigheten til partikkelen i det stasjonære systemet kan nå uttrykkes ved dens bevegelse i det roterende systemet,

: <math>  \mathbf{u} = {d\mathbf{r}\over dt} = \sum_{k=1}^3 {dx_k(t)\over dt} \mathbf{e}_k = \sum_{k=1}^3 \Big({dx'_k(t)\over dt} \mathbf{e'}_k + x'_k(t){d\mathbf{e'}_k\over dt} \Big) </math>

Mens ''dx<sub>k</sub>''/''dt'' er komponentene til hastigheten '''u''' i &Sigma;, har partikkelen hastigheten '''u'&thinsp;''' i &Sigma;' med komponentene ''dx'<sub>k</sub>''/''dt''. På mer symbolsk form kan man derfor skrive

: <math>  \mathbf{u} = {d\mathbf{r} \over dt} = \Big({d' \over dt} +  \boldsymbol{\omega}\times \Big) \mathbf{r}</math>

hvor ''d'&thinsp;''/''dt'' er den tidsderiverte i det roterende systemet. Hastigheten til partikkelen i de to referansesystemene er derfor forbundet ved 

: <math>  \mathbf{u} =  \mathbf{u'} + \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r'} </math>

der '''r'&thinsp;'''er posisjonsvektoren '''r''' uttrykt ved komponentene den har i &Sigma;'.

En tilsvarende beregning av [[akselerasjon]]en til partikkelen gir på samme måte

: <math>  \mathbf{a} = {d\mathbf{u} \over dt} =  \Big({d \over dt'} +  \boldsymbol{\omega}\times \Big) \mathbf{u}  </math>

som gir 

: <math>  \mathbf{a} = \mathbf{a'} + 2\,\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{u'} + \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r'}) </math>

Her er '''a'''' akselerasjonen partikkelen har &Sigma;'. De to andre leddene på høyre side gir opphav til [[Coriolis-kraft]]en og [[sentrifugalkraft]]en i dette ikke-inertielle referansesystemet.<ref name="Tipler">P. Tipler, ''Physics for Scientists and Engineers'', W. H. Freeman, New York (2004). ISBN 0-7167-0809-4.</ref>

==Ikke-relativistisk Doppler-effekt==
[[Fil:Doppler Effect.gif|thumb|Doppler-effekt for en bevegelig kilde. I dette tilfellet forandres den observerte bølgelengden som er gitt ved avstanden mellom bølgetoppene.]]

En [[Bølge#Harmonisk bølger|harmonisk bølge]] langs ''x''-aksen med hastighet ''u'' og [[vinkelfrekvens]] ''&omega;'', kan beskrives ved funksjonen cos(''kx - &omega;t'') i et stasjonært system &Sigma;. Her er bølgetallet {{nowrap|''k'' {{=}} ''&omega;''/''u''}} = {{nowrap|2''&pi;''&thinsp;/''&lambda;''&thinsp;}} når det uttrykkes ved [[bølgelengde]]n ''&lambda;''.

For en observatør i et system &Sigma;' som beveger seg med hastighet ''v'' langs ''x''-aksen, vil bølgen se litt annerledes ut. Ved å benytte transformasjonen ''x = x' + vt&thinsp;''  finner man den nye bølgefunksjonen cos(''k''(''x'&thinsp;'' + ''vt'') - ''&omega;t'') = cos(''k&thinsp;x'&thinsp;''  - ''&omega;'&thinsp;t''). Den viser at bølgetallet forblir det samme, mens frekvensen er forandret til

: <math> \omega' = \omega - kv = \omega (1 - v/u) </math>

Denne formelen for frekvensforandringen uttrykker [[Dopplereffekt|Doppler-effekten]] ved små hastigheter,  for eksempel ved observasjon av [[lydbølge]]r. Da bølgetallet er uforandret, er hastigheten til bølgen i det bevegelige systemet

: <math> u' = {\omega'\over k'} = {\omega\over k} (1 - v/u) = u - v </math>

på samme måte som for partikler.<ref name = Born> M. Born, ''Einstein's Theory of Relativity'', Dover Publications, New York (1965).</ref>

Man kan nå bruke dette resultatet til å finne den mer kompliserte Doppler-effekten når både bølgekilden og observatøren beveger seg. Hvis kilden befinner seg i &Sigma;' som beveger seg med hastighet ''v<sub>s</sub>&thinsp;'' og emitterer bølger med en frekvens ''&omega;<sub>s</sub>&thinsp;'' i dette systemet, vil de ha frekvensen

: <math> \omega = {\omega_s\over 1 - v_s/u} </math>

i det stasjonære systemet &Sigma;. Men hvis nå denne bølgen observeres i et tredje referansesystem som beveger seg med hastighet ''v<sub>o</sub>&thinsp;'' relativt til &Sigma;, vil en observatør der finne frekvensen

: <math> \omega_o =  \omega (1 - v_o/u) = \omega_s{1 - v_o/u \over 1 - v_s/u}</math>

For denne ikke-relativistiske Doppler-effekten er derfor den observerte frekvensen generelt ikke en funksjon av den relative hastigheten mellom kilde og observatør, men avhengig av dem begge separat. Men når hastigheten til kilden er mye mindre enn bølgehastighten ''u'', finner man tilnærmet

: <math> \omega_o =  \omega_s \Big(1 - {v_o - v_s\over u}\Big) </math>

hvor kun den relative hastigheten inngår. I alminnelighet vil også resultatet avhenge av bevegelsesretningene til kilde og observatør.<ref name = Tipler/>

==Relativistiske hastigheter==

Newton formulerte sine [[Newtons lover|mekaniske lover]] basert på at man hadde samme, «universelle tid» i alle referansesystem. Dette viste [[Einstein]] ikke var i overensstemmelse med sin utvidelse av [[relativitetsprinsipp]]et til å gjelde for alle fysiske lover. Da er [[lyshastigheten]] ikke lenger avhengig av hastigheten til lyskilden, og man må benytte en spesifikk tid i  hvert referansesystem. Dette fører til at koordinatene som forbinder to inertialsystem ikke lenger er forbundet med hverandre som i galileisk kinematikk, men uttrykkes ved [[spesiell relativitet#Lorentz-transformasjonen|Lorentz-transformasjonene]] i [[relativitetsteori]]en. Når  inertialsystemet &Sigma;' beveger seg med konstant hastighet ''v'' langs ''x''-aksen, tar de formen

: <math>\begin{align}  t &= {t' + vx'/c^2\over \sqrt{1 - v^2/c^2}} \\ x &= {x'+ vt' \over \sqrt{1 - v^2/c^2}} \end{align}</math>

som viser at tid og romkoordinaten i denne retningen blandes sammen ved transformasjonen. De to transverse koordinatene ''y'' og ''z'' forblir uforandret.<ref name = Rosser> W.G.V. Rosser, ''Introduction to Special Relativity'', Taylor & Francis Ltd, London (1991). ISBN 0-85066-839-7.</ref>

Da de samme uttrykkene gjelder for de infinitesemale koordinatforskjellene ''dt&thinsp;'' og ''dx&thinsp;'', finner man med en gang sammenhengen mellom de longitudinale hastighetskomponentene  for en partikkel i de to systemene 

: <math> u_x = {dx\over dt} = {dx' + v dt' \over dt' + vdx'/c^2} = {u'_x + v\over 1 + u'_xv/c^2} </math>

Dermot tar transformasjonen av en transvers komponent en litt annen form

: <math> u_y =  {dy\over dt} = {u'_y \sqrt{1 - v^2/c^2}\over 1 + u'_xv/c^2}  </math>

og på samme måte for ''z''-komponenten. 

Disse uttrykkene beskriver addisjon av hastigheter i spesiell relativitetsteori og kan benyttes til å forklare [[aberrasjon (astronomi)|aberrasjon]] i [[astronomi]]en. I denne forbindelse betrakter man en lyspartikkel eller [[foton]]et som beveger seg med lyshastigheten ''c''.  Hvis det for eksempel beveger seg i stjernens referansesystem &Sigma;'&thinsp; i ''xy''-planet med en retning som danner vinkelen ''&theta;'&thinsp;'' med ''x''-aksen, vil hastigheten ha komponentene. {{nowrap|''u'<sub>x</sub>'' {{=}} ''c''&thinsp;cos''&theta;'&thinsp;''}} og {{nowrap|''u'<sub>y</sub>'' {{=}} ''c''&thinsp;sin''&theta;'&thinsp;''.}} De tilsvarende komponentene er dermed

: <math> u_x = {c\cos\theta' + v\over 1 + v\cos\theta'/c}, \;\;\;  u _y = {c\sin\theta' \sqrt{1 - v^2/c^2}\over 1 + v\cos\theta'/c}</math>

når partikkelen observeres i &Sigma; hvor den har en litt annen retning som finnes fra tan''&theta;'' = ''u<sub>y</sub>''/''u<sub>x</sub>''. Men også her har den samme, totale hastighet da {{nowrap|''u<sub>x</sub>''<sup>2</sup> + ''u<sub>y</sub>''<sup>2</sup> {{=}} ''c''<sup>&thinsp;2</sup>.}} I spesiell relativitetsteori kan man aldri overstige lyshastigheten ved addisjon av to relativistiske hastigheter.<ref name = Born/>

===Lysbølger===
[[Fil:Velocity0 70c.jpg|thumb|300px|Lys som observeres mot bevegelsesretningen til kilden, er i alminnelighet [[blåforskyvning|blåforskjøvet]].]] 
En harmonisk [[Bølgeligning#Elektromagnetiske bølger|lysbølge]] i tre dimensjoner med [[bølgelengde]] ''&lambda;'' kan beskrives ved den periodiske funksjonen {{nowrap|cos('''k'''&sdot;'''x''' - ''&omega;t'')}} hvor {{nowrap|''k'' {{=}} 2''&pi;''&thinsp;/''&lambda;&thinsp;''}} er bølgetallet, ''&omega;'' = ''kc&thinsp;'' er [[vinkelfrekvens]]en og bølgevektoren {{nowrap|'''k''' {{=}} ''k''&thinsp;'''n'''}} når den beveger seg i en retning gitt ved enhetsvektoren '''n'''. 

Argumentet i den periodiske funksjonen angir hvor mange bølgetopper som passerer et visst sted i løp et av en bestemt tid slik at det har samme verdi i alle inertialsystem. Det er derfor en invariant under Lorentz-transformasjoner. Det betyr at {{nowrap|''k<sup>&mu;</sup>'' {{=}} (''&omega;''/''c'', '''k''')}} er en [[Kovariant relativitetsteori#Firevektorer|firevektor]] siden {{nowrap|''x<sup>&mu;</sup>'' {{=}} (''ct'','''x''')}} er en firevektor slik at det [[indreprodukt]]et {{nowrap|''k<sup>&mu;</sup>''&sdot;''x<sub>&mu;</sub>''}} er Lorentz-invariant.<ref name = Born/>

Dette betyr at hvis man observerer lysbølgen fra et annet inertialsystem &Sigma;' som beveger seg relativt til &Sigma; med hastigheten ''v'' langs-''x''-aksen, så vil {{nowrap|''&omega;''/''c''&thinsp;}} og bølgetallet ''k<sub>x</sub>&thinsp;'' i denne retningen transformere på samme måte som ''ct'' og ''x''.  Hvis man i det merkete systemet observerer {{nowrap|''k'<sub>x</sub>'' {{=}} ''&omega;'&thinsp;''&thinsp;cos''&theta;'&thinsp;''/''c''}} og {{nowrap|''k'<sub>y</sub>'' {{=}} ''&omega;''&thinsp;'&thinsp;sin''&theta;'&thinsp;''/''c''}}, vil man i &Sigma;-systemet finne komponentene

: <math> k_x = \gamma(k'_x + v\omega'/c^2), \;\;\; k_y = k'_y </math>

hvor Lorentz-faktoren 1/''&gamma;'' = &radic;(1 - ''v''<sup>&thinsp;2</sup>/''c''<sup>&thinsp;2</sup>). Uttrykt ved vinklene, gir dette

: <math> \omega\cos\theta = \gamma\omega' (\cos\theta' + v/c), \;\;\; \omega\sin\theta = \omega'\sin\theta' </math>

med frekvensen

: <math> \omega = \gamma\omega'(1 + v\cos\theta'/c) =  \omega'{1 + v\cos\theta'/c\over\sqrt{1 - v^2/c^2}} </math>

Mens de to første ligningene gir [[aberrasjon (astronomi)|aberrasjonsvinkelen]] 

: <math> \tan\theta = {\sin\theta'\over \cos\theta' + v/c} \sqrt{1 - v^2/c^2}, </math>

er forandringen av frekvensen et uttrykk for den [[Relativistisk Doppler-effekt|relativistiske Doppler-effekten]]. Hvis lyset blir mottatt langs ''x''-aksen slik at {{nowrap|''&theta;'&thinsp;'' {{=}} ''&theta;''}} = 0&deg;, blir

: <math> \omega =  \omega'{1 + v/c\over\sqrt{1 - v^2/c^2}} =  \omega'\sqrt{1+v/c\over 1 -v/c}</math>

som er den «longitudinale» effekten. Når ''v'' << ''c'' går dette resultatet over i det ikke-relativistsiske uttrykket hvor nå ''v'' er den relative hastigheten mellom observatør og lyskilde. 

I det andre spesialtilfellet blir lyset mottatt vinkelrett på hastigheten '''v''' og gir opphav til den «transversale» Doppler-effekten.. Da er {{nowrap|cos''&theta;&thinsp;'' {{=}} 0}} som betyr at det må emitteres med en vinkel som oppfyller {{nowrap|cos&thinsp;''&theta;'&thinsp;'' {{=}} -''v''/''c''.}} Den observerte frekvensen blir dermed

: <math> \omega =  \omega'{1 - v^2/c^2\over\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \omega'\sqrt{1 - v^2/c^2} </math>

og er alltid mindre enn den utsendte frekvensen. Dette er en [[rødforskyvning]] som tilsvarer en ren [[tidsdilatasjon]] hvor lyset i &Sigma;'  observeres som en klokke som går litt langsommere.<ref name = Rosser/>

===Thomas-presesjon===

Relativistiske effekter eller korreksjoner som involver hastigheter ''v'' << ''c'', er vanligvis av størrelsesorden ''v''<sup>&thinsp;2</sup>/''c''<sup>&thinsp;2</sup> og derfor små. Et viktig unntak et [[Thomas-presesjon]]en som ble klarlagt i forbindelse med oppdagelsen av [[spinn]]et til [[elektron]]et og dets effekt på [[finstruktur]] i [[atomfysikk]]en. Den skyldes at to påfølgende Lorentz-transformasjoner med forskjellige retninger '''v'''<sub>1</sub> og '''v'''<sub>2</sub> ikke tilsvarer en enkelt transformasjon med hastigheten  '''v'''<sub>1</sub> + '''v'''<sub>2</sub>, men må tilføyes en  ekstra rotasjon. <ref name = Møller> C. Møller, ''Theory of Relativity'', Oxford University Press, England (1962). </ref>

For en ikke-relativistisk partikkel med hastighet '''v''' og akselerasjon '''a''' kan denne presisjonen uttrykkes ved Thomas-frekvensen

: <math> \boldsymbol{\omega}_T = - {1\over 2c^2} \mathbf{v}\times\mathbf{a} </math>

som beskriver denne ekstra rotasjonen av partikkelens hvilesystem. Når partikkelen går i en sirkulær bane med radius ''r'' og med vinkelfrekvens ''&omega;'' slik at ''v = &omega;r'', blir

: <math>  \omega_T =  - {v^2\over 2c^2}\omega </math>

For energinivåene i [[hydrogenatom]]et er denne effekten av størrelsesorden av ''v''<sup>&thinsp;2</sup>/''c''<sup>&thinsp;2</sup>  og derfor like viktig som andre, relativistiske korreksjoner til elektronets bevegelse.<ref name = Eisberg> R.M. Eisberg, ''Fundamentals of Modern Physics'', John Wiley & Sons, New York (1965). </ref>

==Referanser==
<references />

[[Kategori: Mekanikk]]
[[Kategori:Akustikk]]
[[Kategori: Relativitetsteori]]
[[Kategori:Bølger]]