Vis kilden til Andrekvantisering

[[Fil:Feynmandiagram.svg|thumb|280px|Grafisk fremstilling av [[Coulombs lov|Coulomb-kraften]] mellom to [[elektron]]er som  skyldes utveksling av et [[foton]].]]

'''Andrekvantisering''' er en betegnelse som benyttes noen ganger for [[kvantisering (fysikk)|kvantisering]] av klassiske [[felt (fysikk)|felt]] som beskrevet ved [[kvantefeltteori]]. Den har sitt utgangspunkt i  arbeidet til [[Paul Dirac]] fra 1927 der han for første gang viste hvordan det [[elektromagnetisk felt|elektromagnetiske feltet]]  kan beskrives ved bruk av [[kvantemekanikk]]. Når dette feltet vekselvirker med partikler, vil det avhenge av deres posisjoner. Disse erstattes av kvantemekaniske [[Kvantemekanikk#Kvantemekanikkens postulater|operatorer]] som inngår i [[Schrödinger-ligning]]en. Dette kan omtales som en «førstekvantisering». Dirac viste hvordan selv feltet i neste omgang kan beskrives kvantemekanisk og forklarte dermed eksistensen av [[foton]]er.

Samme år viste [[Pascual Jordan]] sammen med forskjellige medarbeidere hvordan også  identiske, ikke-relativistiske partikler kan beskrives på lignende måte som [[kvant]] til et «Schrödinger-felt» som sammenfaller med [[bølgefunksjon]]en til en av partiklene. Avhengig av om denne kvantiseringen gjøres ved [[Kvantemekanikk#Kvantedynamikk|kommutatorer]] eller [[Pauli-matrise#Algebraiske egenskaper|antikommutatorer]], vil da den andrekvantiserte teorien beskrive [[boson]]er eller [[fermion]]er. Året etter viste [[Werner Heisenberg]] sammen med [[Wolfgang Pauli]] hvordan denne fremgangsmåten kan generaliseres til relativistiske teorier. Dermed var grunnlaget for moderne [[kvantefeltteori]] etablert.<ref name="Schweber">S.S. Schweber, ''QED and the Men Who Made It'', Princeton University Press, New Jersey (1994). ISBN 0-691-03327-7.</ref>

==Kvantemekanisk grunnlag==

[[Hamilton-operator]]en til en ikke-relativistisk partikkel med masse ''m&thinsp;'' som beveger seg i et statisk potensiial ''U''('''x'''), kan skrives som

: <math> \hat{h} = {\hat\mathbf{p}^2\over 2m} + U(\hat\mathbf{x}) </math>

Den har bestemte egentilstander <math>  \hat{h} |k\rangle = \varepsilon_k |k\rangle </math> med [[kvantetall]] ''k&thinsp;'' som kan betraktes som [[Dirac-formalisme|ket-vektorer]]  <math> |k\rangle </math> i et [[Hilbert-rom]] <math> \widehat{\cal{H}}. </math> Det er praktisk å ''ortonormere'' dem slik at <math> \langle k|k' \rangle = \delta_{kk'} </math> når man benytter et [[Kronecker-delta]] på høyre side. Da de må utgjøre et «fullstendig sett», vil de nå oppfylle

: <math> \sum_k |k\rangle \langle k | = 1 </math> 

som er en av kvantemekanikkens [[Kvantemekanikk#Dirac-formalisme|grunnleggende postulater]].<ref name="Griffiths">D.J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN  1-292-02408-9.</ref>

De tilsvarende egenverdiene ''&epsilon;<sub>k</sub>'' er partikkelens kvantiserte energier og  finnes enklest ved å benytte en [[Kvantemekanikk#Posisjonsbasis|posisjonsbasis]] med vektorer <math> |\mathbf{x}\rangle </math> i Hilbert-rommet.  Disse vektorene er egenvektorer for partikkelens posisjonsoperator <math> \widehat\mathbf{x}. </math> Egenverdiene er dens mulige posisjoner '''x'''. Da disse kan variere kontinuerlig, må man benytte [[Diracs deltafunksjon]] i normeringen

: <math> \langle \mathbf{x}|\mathbf{x'} \rangle = \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x'}) </math>

av de tilsvarende egenvektorene. I denne basisen kan egentilstandene  <math> |k\rangle </math> representeres ved [[bølgefunksjon]]ene <math> u_k(\mathbf{x}) = \langle\mathbf{x}|k\rangle. </math> Deres ortogonalitet kan dermed skrives som

: <math> \int\!d^3x\, u^*_k(\mathbf{x})u_{k'}(\mathbf{x}) = \delta_{kk'} ,</math>

mens  

: <math> \sum_k  u_{k}(\mathbf{x}) u^*_k(\mathbf{x'}) = \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x'}) </math>

uttrykker at de utgjør et fullstendig sett. Det opprinnelige egenverdiproblemet <math>  \hat{h} |k\rangle = \varepsilon_k |k\rangle </math> tilsvarer nå løsningen av [[Schrödinger-ligning]]en 

: <math>  \Big[ -{\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + U(\mathbf{x}) \Big]u_k(\mathbf{x}) = \varepsilon_k u_k (\mathbf{x}) </math>

for én partikkel.<ref name="Liboff"> R.L. Liboff, ''Introductory Quantum Mechanics'', Pearson Education, New Jersey (2003). ISBN 0-8053-8714-5.</ref>

==Identiske partikler==

De kvantemekaniske egenskapene til et system som består av ''N&thinsp;'' [[identiske partikler]] som beveger seg i det samme, ytre potensialet uten gjensidige vekselvirkninger, er nå gitt ved en total Hamillton-operator

: <math> \hat{H}_N = \sum_{I=1}^N \hat{h}_i = \hat{h}_1 + \hat{h}_2 + \cdots + \hat{h}_N </math>

Den er fullstendig symmetrisk under ombytte av partikler. Derfor kan dens egentilstandenr <math> |\Psi_N\rangle </math> oppdeles i klasser som også er egentilstander under denne symmetrien.  Tilstandene til identiske [[boson]]er er totalt symmetriske, mens tilstandene for identiske [[fermion]]er er totalt antisymmetriske under slike ombytter. I begge tilfellene kan de skrives som <math> |k_1, k_2, \cdots, k_N\rangle </math> hvor kvantetallene <math> k_i </math> angir 1-partikkeltilstandene hver av partiklene kan befinne seg i. Et vilkårlig antall bisoner kan befinne seg i en slik tilstand, mens den kun kan inneholde maksimalt én fermion  ifølge [[Paulis eksklusjonsprinsipp]].  Bytter man om for eksempel de to første partiklene i tilstanden, vil da den forandres som

: <math> |k_1, k_2, \cdots, k_N\rangle = \epsilon  |k_2, k_1, \cdots, k_N\rangle </math> 

hvor <math> \epsilon =1 </math> for bosoner og <math> \epsilon = -1 </math> for fermioner.<ref name="Abers"> E.S. Abers, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education, New Jersey (2004). ISBN 0-13-146100-1.</ref>

Energien til en slik mangepartikkeltilstand er gitt ved summen av energiene ''&epsilon;<sub>k</sub>'' til hver enkelt partikkel. Når antall partikler er stort, kan dens beregning bli vanskelig. Den kan betraktelig forenkles ved å utvide Hilbert-rommet <math> \cal{H}_N </math> for ''N&thinsp;'' partikler til et mye større «Fock-rom» som har plass til alle tilstandene for et vilkårlig antall partikler. Det må da innføres nye operatorer som forbinder tilstander som opprinnelig befinner seg i Hilbert-rom med forskjellig antall partikler.

===Kreasjonsoperatorer===

En [[Stigeoperator#Kreasjons- og annihilasjonsoperatorer|kreasjonsoperator]] <math> \hat{a}^\dagger_k </math> er definert ved å skape en ny partikkel  med kvantetall ''k&thinsp;'' i en ''N''-partikkeltilstand <math> |k_1, k_2, \cdots, k_N\rangle, </math>

: <math> \hat{a}^\dagger_k |k_1, k_2, \cdots, k_N\rangle = |k, k_1, k_2, \cdots, k_N\rangle </math>

Virker to slike operatorer på den samme tilstanden, forandres den til

: <math> \hat{a}^\dagger_{k'}\hat{a}^\dagger_k |k_1, k_2, \cdots, k_N\rangle = |k', k, k_1, k_2, \cdots, k_N\rangle </math>

Men da denne nye tilstanden har symmetriegenskapen <math> |k', k, k_1, k_2, \cdots, k_N\rangle = \epsilon |k ,k' , k_1, k_2, \cdots, k_N\rangle, </math> må man ha at <math> \hat{a}^\dagger_{k}\hat{a}^\dagger_{k'} = \epsilon \hat{a}^\dagger_{k'}\hat{a}^\dagger_{k} </math> hvor <math> \epsilon </math> har motsatte verdier for bosoner og fermioner. Denne egenskapen skrives vanligvis som

: <math> [\hat{a}^\dagger_{k}, \hat{a}^\dagger_{k'}]_\epsilon = [\hat{a}_{k}, \hat{a}_{k'}]_\epsilon = 0 </math>

hvor den generaliserte [[Kvantemekanikk#Kvantedynamikk|kommutator]] for to operatorer <math> \hat{A} </math> og <math> \hat{B} </math> er definert som <math> [\hat{A},  \hat{B}]_\epsilon =  \hat{A} \hat{B} - \epsilon \hat{B}\hat{A}. </math> For [[boson]]er er dette den vanlige kommutatoren, mens den for fermioner med <math> \epsilon = -1 </math> vanligvis skrives med krøllete parenteser,

: <math> \{\hat{A},  \hat{B}\} = \hat{A} \hat{B} + \hat{B}\hat{A}  </math>

Den kalles da en «antikommutator» og opptrådte for første gang i forbindelse med [[Pauli-matrise]]ne for partikler med spinn-1/2.

En 1-partikkeltilstand med kvantetall ''k&thinsp;'' er nå <math> |k\rangle = \hat{a}^\dagger_k |0\rangle </math> der <math> |0\rangle </math> er den tomme tilstanden uten partikler. Den betegnes vanligvis som «vakuum-tilstanden»  til mangepartikkelsystemet.<ref name = Abers/>

===Annihilasjonsoperatorer===

Den adjungerte til kreasjonsoperatoren <math> \hat{a}^\dagger_k </math> er [[Stigeoperator#Kreasjons- og annihilasjonsoperatorer|annihilasjonsoperatoren]] <math> \hat{a}_k. </math> Den fjerner en partikkel med kvantetallet ''k&thinsp;'' fra en vilkårlig tilstand. Hvis den virker på den tomme tilstanden, må den gi null,

: <math> \hat{a}_k |0\rangle = 0 </math>

Likedan når den virker på 1-partikkeltilstanden <math> |k'\rangle = \hat{a}^\dagger_{k'} |0\rangle </math> blir resultatet 

: <math>  \hat{a}_k |k'\rangle = \delta_{k,k'}  |0\rangle </math>

Det følger fra den adjungrte sammenhengen  <math> \langle k | = \langle 0| \hat{a}_k </math> sammen med at <math> \langle k| k' \rangle = \delta_{k,k'}. </math>

I det generelle tilfellet virker den alltid på partikkelen som inntar førsteplassen i en vilkårlig tilstand <math> |k_1, k_2, \cdots, k_N\rangle.</math>  På grunn av symmetriegenskapene til denne, kan hvilken som helst av partiklene opptre her. Derfor kan de i prinsippet alle bidra ved en beregning av virkningen til annihilasjonsoperatoren. For eksempel hvis man betrakter den enkle tilstanden <math> |k',k_1\rangle = \hat{a}^\dagger_{k'}|k_1\rangle  </math>, blir

: <math>  \hat{a}_k |k', k_1\rangle  = \delta_{k,k'} |k_1\rangle + \epsilon \delta_{k,k_1} |k' \rangle </math>

Sammenlignes det med at <math> \hat{a}^\dagger_{k'}\hat{a}_k |k_1\rangle = \delta_{k,k_1} |k' \rangle, </math> må man ha at

: <math> [\hat{a}_k, \hat{a}^\dagger_{k'}]_\epsilon = \delta_{k,k'} </math>

Denne generaliserte kommutatoren mellom annihilasjonsoperatorer og kreasjonsoperatorer er grunnlaget for en feltteoretisk beskrivelse av slike mangepartikkelsystem.<ref name="FW"> A.L. Fetter and J.D. Walecka, ''Quantum Theory of Many-Particle Systems'', Dover Publications, New York (2003). ISBN 0-486-42827-3. </ref>

===Antallsoperatorer===

De nye operatorene har samme algebraiske egenskaper som [[stigeoperator]]ene for en [[kvantisert harmonisk oscillator]]. At de øker og minsker antall partikler i hver tilstand følger fra antallsoperatorene <math> \hat{n}_k = \hat{a}^\dagger_k\hat{a}_k. </math> Kommutatorene

: <math> [\hat{n}_k, \hat{a}^\dagger_{k'}] = \delta_{k,k'}\hat{a}^\dagger_{k'}\,,  \quad  [\hat{n}_k, \hat{a}_{k'}] = - \delta_{k,k'}\hat{a}_{k'} </math>

gjelder både for bosoner og fermioner. Det følger fra identiteten <math> [\hat{A}\hat{B},\hat{C}]_\epsilon = \hat{A} [\hat{B},\hat{C}]_\epsilon + \epsilon [\hat{A},\hat{C}]_\epsilon\hat{B} .</math> viser at <math> \hat{a}^\dagger_k </math> er en heveoperator, mens <math> \hat{a}_k </math> er en senkeoperator. 

Ved bruk av egenverdiene ''n<sub>k</sub>'' til disse antallsoperatornene som også kalles for «besettelsetall» eller «okkupasjonstall», kan nå mangepartikkeltilstandene <math> |k_1, k_2, k_3, \cdots \rangle </math> skrives på den alternative måten <math> |n_0, n_1, n_2, \cdots \rangle </math> hvor ''n''<sub>0</sub> angir hvor mange partikler er i laveste 1-partikkeitilstand med ''&epsilon;''<sub>0</sub>, ''n''<sub>1</sub> er antallet med nest laveste energi ''&epsilon;''<sub>1</sub> og så videre. For bosoner med <math> \epsilon = 1 </math> kan antall partikler i en bestem 1-partikkeltilstand  økes vilkkårlig mye ifølge

: <math>  \hat{a}^\dagger_k |\cdots, n_k, \cdots \rangle = \sqrt{n_k + 1}\, |\cdots, n_k + 1,\cdots \rangle </math>

Derimot for fermioner med <math> \epsilon = - 1 </math> er ikke det mulig fordi <math> \hat{a}_k^2 = 0 </math> i dette tilfellet. Det betyr at antallsoperatoren  oppfyller

: <math> \hat{n}^2_k =  \hat{a}^\dagger_k\hat{a}_k\hat{a}^\dagger_k\hat{a}_k = \hat{a}^\dagger_k(1 - \hat{a}^\dagger_k\hat{a}_k)\hat{a}_k  = \hat{n}_k </math>

og kan derfor bare ta verdiene ''n<sub>k</sub>'' = 0 eller 1. Det viser som forventet at Paulis eksklusjonsprinsipp gjelder.<ref name = FW/>

==Schrödinger-felt==

Ved bruk av én-partikkeltillstandene <math> |k\rangle </math> kan man på denne måten bygge opp en basis av mangepartikkeltilstander i Fock-rommet. En vilkårlig, annen basis kan derav utledes ved vanlig, kvantemekanisk [[Kvantemekanikk#Dirac-formalisme|transformasjonsteori]]. En spesielt viktig basis er basert på 1-partikkeltillstandene <math> |\mathbf{x}\rangle </math> for en partikkel i posisjon '''x'''. Fullstendighetsrelasjonen gir nå

: <math> |\mathbf{x}\rangle = \sum_k |k\rangle\langle k |\mathbf{x}\rangle = \sum_k u^*_k(\mathbf{x}) |k\rangle </math>

Her er nå  <math> |k\rangle = \hat{a}^\dagger_k |0\rangle </math> slik at <math> |\mathbf{x}\rangle = \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{x}) |0\rangle </math> der

: <math> \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{x}) = \sum_k \hat{a}^\dagger_k u^*_k(\mathbf{x}) </math>

er en ny kreasjonsoperator som skaper en partikkel i posisjonen '''x''' i det fysiske rommet. Den adjungerte operatoren

: <math> \hat{\psi}(\mathbf{x}) = \sum_k \hat{a}_k u_k(\mathbf{x}) </math>

fjerner en partikkel som befinner seg i samme punkt. Denne nye annihilasjonsoperatoren er '''feltoperatoren''' for dette systemet av identiske partikler. Omvendt kan man si at alle partiklene er identiske fordi de skapes av det samme, kvantiserte feltet.<ref name = Schweber/>

Alt hva som tidligere kunne beskrives ved de opprinnelige stigeoperataorene, kan nå uttrykkes ved disse ny feltoperatorene. For eksempel er den kanoniske kommutatoren i denne andrekvantiserte teorien

: <math>\begin{align} \left[\hat{\psi}(\mathbf{x}),\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{x'})\right]_\epsilon &= \sum_{k,k'} u_k(\mathbf{x}) u^*_{k'} (\mathbf{x'})[\hat{a}_k, \hat{a}^\dagger_{k'}]_\epsilon \\ &= \sum_k u_k(\mathbf{x}) u^*_k (\mathbf{x'}) = \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x'}) \end{align}  </math>

fordi 1-partikkeltilstandene utgjør et fullstendig sett. Derimot kommuterer felttoperatoren  <math> \psi(\mathbf{x}) </math> med seg selv i et annet punkt.

===Hamilton-operator===

Fra definisjonen av feltoperatoren vil produktet

: <math> \hat{\rho}(\mathbf{x}) = \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{x})\hat{\psi}(\mathbf{x}) </math>

være et uttrykk for antall partikler i posisjonen '''x'''.  At det virkelig er tettheten av partikler i dette punktet, kommer tydelig frem fra integralet

: <math>\begin{align} \hat{N} &= \int\! d^3x\, \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{x})\hat{\psi}(\mathbf{x}) = \sum_{k,k'} \hat{a}^\dagger_k \hat{a}_{k'} \int\! d^3x\, u^*_k(\mathbf{x})u_{k'} (\mathbf{x}) \\ &= \sum_k\hat{a}^\dagger_k \hat{a}_k = \sum_k \hat{n}_k  \end{align} </math>

Denne operatoren gir dermed det totale antall partikler i en mangepartikkeltilstand ved å summere opp okkupasjonstallene ifor hver 1-partikkeltilstand.

På samme vis kan den totale energien i systemet uttrykkes ved 1-partikkelenergiene ''&epsilon;<sub>k</sub>'' og dermed finnes fra [[Hamilton-operator]]en

: <math>\begin{align}  \hat{H} &=  \sum_k \varepsilon_k \, \hat{a}^\dagger_k \hat{a}_k \\ &= \int\! d^3x\, \hat\psi^\dagger(\mathbf{x})\left[{-\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + U(\mathbf{x}) \right] \hat\psi(\mathbf{x}) \end{align} </math>

Innholdet av den store parentesen her er Hamilton-operatoren <math> \hat{h} (\mathbf{x}) </math> for en enkelt partikkel i det ytre potensialet ''U''('''x'''). Den totale Hamilton-operatoren  <math>  \hat{H} </math> kan derfor skrives som et integral over en «Hamilton-tetthet» 

: <math> \hat{\cal{H}}(\mathbf{x}) =  \hat\psi^\dagger(\mathbf{x})\hat{h} (\mathbf{x})\hat\psi(\mathbf{x}) </math>

Her er <math> \hat{h} </math> en operator i den førstekvantiserte 1-partikkelteorien, mens <math> \hat{H} </math> er Hamilton-operatoren I den andrekvantiserte mangepartikkelteorien.

===Tidsutvikling===

Det er en totale Hamilton-operatoren <math>  \hat{H} </math> som bestemmer tidsutviklingen av tilstandsvektoren <math> |\Psi,t\rangle </math> til hele systemet av identiske partikler. Den er gitt ved løsning av den tidsavhengige [[Schrödinger-ligning]]en

: <math> i\hbar{\partial\over\partial t} |\Psi,t\rangle = \hat{H} |\Psi,t\rangle  </math>

I dette «Schrödinger-bildet» er operatorene som virker på disse tilstandene, uavhengige av tiden. En alternativ beskrivelse av systemet kan gis i [[Kvantemekanikk#Tidsutvikling og Heisenberg-bilde|Heisenberg-bildet]] der tilstandene er uforanderlige og all tidsvariasjon er lagt til operatorene som virker på dem. For feltoperatoren  betyr det at den utvikler seg som

: <math>\begin{align}  \hat{\psi} (\mathbf{x}, t) &= e^{i\hat{H}t/\hbar} \hat{\psi}(\mathbf{x}, 0) e^{-i\hat{H}t/\hbar}  \\ &= \sum_k u_k (\mathbf{x})\left[\hat{a}_k + \left({it\over\hbar}\right) [\hat{H} , \hat{a}_k ] +  {1\over 2!} \left({it\over\hbar}\right)^2 [ \hat{H} , [ \hat{H}, \hat{a}_k ]] + \cdots \right] \end{align}</math>

Ved her å benytte at <math> [\hat{H}, \hat{a}_k] = \varepsilon_k [\hat{n}_k, \hat{a}_k] = - \varepsilon_k \hat{a}_k, </math> blir dermed

: <math> \hat\psi(\mathbf{x}, t) = \sum_k \hat{a}_k u_k(\mathbf{x}) e^{-i\varepsilon_k t/\hbar}</math>

I motsetning til en [[Kvantefeltteori|relativistisk feltoperator]] hvor summen inneholder også et lignende ledd med kreasjonsoperatorer for [[antipartikkel|antipartikler]], inngår her bare ett ledd da denne andrekvantiserte teorien er ikke-relativistisk. Den kanoniske kommutatoren 

: <math>  \left[\hat\psi(\mathbf{x},t),\hat\psi^\dagger(\mathbf{x'},t)\right]_\epsilon = \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x'}) </math> 

gjelder fremdeles såfremt de to operatorene inngår med samme tid.<ref name="MS"> F. Mandl and G. Shaw, ''Quantum Field Theory'', John Wiley & Sons, New York (1984). ISBN 0-471-90650-6.</ref>

Denne tidsutviklingen er ekvivalent med hva som følger fra [[Matrisemekanikk#Kvantedynamikk|Heisenbergs bevegelsesligning]]

: <math>\begin{align} i\hbar{\partial\over\partial t} \hat\psi(\mathbf{x}, t) &= [\hat\psi(\mathbf{x}, t), \hat{H}] = \int\!d^3x' [\psi(\mathbf{x}, t) , \hat\psi^\dagger(\mathbf{x'},t)\hat{h} (\mathbf{x'})\hat\psi(\mathbf{x'},t)] \\ &= \left[ -{\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + U(\mathbf{x}) \right]  \hat\psi(\mathbf{x}, t) \end{align} </math>

Det ikke-relativistiske kvantefeltet oppfyller derfor den samme [[Schrödinger-ligning]]en som [[bølgefunksjon]]en for en enkelt partikkel gjør. Dette er en av grunnene for at det bærer navnet Schrödinger-felt.

==Vekselvirkninger==

Når partiklene kan bevege seg helt fritt, er hver av dem beskrevet ved Hamilton-operatoren <math> \hat{h} = \hat\mathbf{p}^2/2m </math> hvor impulsoperatoren <math> \hat\mathbf{p} = -i\hbar\boldsymbol{\nabla} .</math> Dens egenfunksjoner er [[Bølge#Plane bølger|plane bølger]] 

: <math> u_\mathbf{k}(\mathbf{x}) = \langle\mathbf{ x}|\mathbf{k}\rangle = \sqrt{1\over V} \,e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} </math>

når de beregnes i et stort volum ''V&thinsp;'' med [[Kvantisert strålingsteori#Periodiske grensebetingelser|periodiske grensebetingelser]]. Impulsen til partikkelen beskrevet ved denne bølgefunksjonen, er nå <math> \mathbf{p} = \hbar\mathbf{k} </math>, mens dens energi er <math> \varepsilon_\mathbf{k} = \hbar^2\mathbf{k}^2/2m. </math> Den tilsvarende feltoperatoren tar nå formen

: <math> \hat\psi(\mathbf{x}, t) =  \sqrt{1\over V} \sum_\mathbf{k} \hat{a}_\mathbf{k} e^{i(\hbar\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} -\varepsilon_k t)/\hbar}</math>

som gjelder både for bosoner og fermioner.

===Ytre potensial===

Når disse identiske partiklene befinner seg i et felles, ytre potensial, er <math> \hat{h} = \hat\mathbf{p}^2/2m + U(\mathbf{x}) </math>  Hamilton-operatoren for hver av dem. De plane bølgene <math> u_\mathbf{k}(\mathbf{x}) </math> er ikke lenger løsninger av 1-partikkel Schrödinger-ligningen som nå er generelt vanskelig å løse eksakt. Men de danner likevel et fullstendig sett av løsninger som verifiseres ved at

: <math> \sum_\mathbf{k} u_\mathbf{k}(\mathbf{x}) u^*_\mathbf{k}(\mathbf{x'}) = {1\over V} \sum_\mathbf{k} e^{i\mathbf{k}\cdot (\mathbf{x} - \mathbf{x'})}  = \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x'}) </math>

når man benytter den matematiske overgangen

: <math> \sum_\mathbf{k} \rightarrow V\int\!{d^3k\over (2\pi)^3} </math>

i grensen der volumet ''V&thinsp;'' blir veldig stort.<ref name = Abers/> Ved et bestemt tidspunkt ''t'' = 0 kan derfor feltoperatoren fremdeles skrives som

: <math> \hat\psi(\mathbf{x}, 0) =  \sqrt{1\over V} \sum_\mathbf{k} \hat{a}_\mathbf{k} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}, </math>

mens den ved andre tidspunkt vanskelig kan beregnes. Prinsipielt er den gitt ved bruk av den totale Hamilton-operatoren

: <math> \begin{align} \hat{H} &= \int\! d^3x\, \hat\psi^\dagger(\mathbf{x})\left[{-\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + U(\mathbf{x}) \right] \hat\psi(\mathbf{x})\\ &= \sum_\mathbf{k} [\varepsilon_\mathbf{k}  \hat{a}^\dagger_\mathbf{k} \hat{a}_\mathbf{k} + \sum_ \mathbf{q} \hat{a}^\dagger_{\mathbf{k} + \mathbf{q}} \hat{a}_\mathbf{k} U_\mathbf{q} ] \end{align}</math>

Her opptrer faktoren som er den [[Fourier-transformasjon|Fourier-transformerte]]

: <math>  U_\mathbf{q} = {1\over V}\int\! d^3x\, U(\mathbf{x}) e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{x}} </math>

av det ytre potensialet. Det første leddet i Hamilton-operatoren representerer den kinetiske energien til partikkelen med impuls ''ħ''&thinsp;'''k''' før den vekselvirker med potensialet. Fourier-komponenten ''U''<sub>'''q'''</sub> tilfører den en impuls  ''ħ''&thinsp;'''q''' slik at den forlater potensialet med impulsen ''ħ''&thinsp;'''k''' + ''ħ''&thinsp;'''q'''. Dette representerer en [[spredning]] av partikkelen mot potensialet. Det tilsvarende [[spredningstverrsnitt]]et kan nå regnes ut på en systematisk måte ved en [[Vekselvirkningsbildet#Born-serie|Born-ekspansjon]] av spredningsamplituden basert på denne vekselvirkningen i Hamilton-operatoren.<ref name = Schweber/>

I en førstekvantiisert beskrivelse av en slik spredningsprosess vil man si at det er én og samme partikkel som både kommer inn mot potensialet og som etterpå forlater det. Dette er i motsetning til det bildet som den andrekvantiserte beskrivelsen gir. Den sier at den innkommende partikkel med impuls ''ħ''&thinsp;'''k''' først  blir annihilert av potensialet. Deretter blir en ny partikkel skapt med impuls  ''ħ''&thinsp;'''k''' + ''ħ''&thinsp;'''q''' og forlater potensialet.

===Gjensidige koblinger===

Et mangepartikkelsystem som kun vekselvirker med et ytre potensial, er sjelden særlig realistisk. Vanligvis vil partiklene også kunne vekselvirke seg i mellom. Den viktigste formen på en slik gjennsidig kobling er via en potensiell energi <math> V(\mathbf{x} - \mathbf{x'}) </math> kun avhengig av deres relative avstand. De to partiklene befinner seg i en symmetrisert tilstand

: <math> |\mathbf{x}\mathbf{x'}\rangle = \hat\psi^\dagger (\mathbf{x}) \hat\psi^\dagger (\mathbf{x'}) |0\rangle </math>

før vekselvirkningen ogg i en tilsvarende tilstand etterpå. Mangepartikkeloperatoren som beskriver denne gjensidige vekselvirkningen er dermed

: <math> \hat{V} = {1\over 2}\int\! d^3x \!\int\! d^3x' \hat\psi^\dagger (\mathbf{x}) \hat\psi^\dagger (\mathbf{x'})V(\mathbf{x} - \mathbf{x'}) \hat\psi (\mathbf{x'}) \hat\psi(\mathbf{x}) </math>

hvor faktoren 1/2 foran kommer fra normeringen som benyttes.<ref name = FW/>

For praktiske beregninger kan man uttrykke feltoperatorene her ved kreasjons- og annihilasjonsoperatorer. Da blir den vekselvirkningsoperatoren

: <math> \hat{V}  =  {1\over 2}\sum_{klmn} V_{kl;mn} \hat{a}^\dagger_k\hat{a}^\dagger_l \hat{a}_m\hat{a}_n </math>

hvor nå matriseelementet av potensialet er

: <math>  V_{kl;mn} = \int\! d^3x \!\int\! d^3x' u^*_k (\mathbf{x})  u^*_l (\mathbf{x'}) V(\mathbf{x} - \mathbf{x'}) u_m (\mathbf{x'})u_n (\mathbf{x}) </math>

Rekkefølgende til de forskjellige operatorene er her viktig I det ureallistiske tilfellet at denne vekselvirkningen er uavhengig av avstanden og har derfor en konstant verdi ''V'' = 1, blir matriseelementet <math> V_{kl;mn} = \delta_{kn}\delta_{lm}. </math> Av det følger at

: <math>\begin{align} \hat{V} &=  {1\over 2} \sum_{kl} \hat{a}^\dagger_k\hat{a}^\dagger_l \hat{a}_l\hat{a}_k = {1\over 2} \sum_k  \hat{a}^\dagger_k \hat{N} \hat{a}_k \\ &= {1\over 2} \sum_k  \hat{a}^\dagger_k (\hat{a}_k \hat{N} - \hat{a}_k ) =  {1\over 2}\hat{N}(\hat{N} - 1) \end{align} </math>

i overensstemmelse med at systemet har ''N''(''N'' - 1)/2 slike parvekselvirkainger hvis det inneholder ''N'' partikler i alt.<ref name = LL> L.D. Landau and E.M. Lifshitz, ''Quantum Mechanics'', Pergamon Press, London (1965). </ref>

===Punktkobling===

Når energien til partiklene blir mindre, vil [[de Broglie bølgelengde]]n til hver av dem øke. Da rekkevidden til den interne vekselvirkningen  <math> V(\mathbf{x} - \mathbf{x'}) </math> ofte er svært liten, vil dens totale bidrag til totalenergien bli mer og mer uavhengig av den eksakte formen til denne interne koblingen. Ved tilstrekkelig lave energier kan man erstatte den med en «punktkobling» der <math> V(\mathbf{x} - \mathbf{x'}) \rightarrow g\delta(\mathbf{x} - \mathbf{x'}) </math> som tilsvarer at partiklene kun vekselvirker når de befinner seg i samme punkt. Den gjensidige vekselvirkningen mellom alle partiklene er da gitt av operatoren

: <math> \hat{V} = {g\over 2}\int\! d^3x\, \hat\psi^\dagger (\mathbf{x}) \hat\psi^\dagger (\mathbf{x})\hat\psi (\mathbf{x}) \hat\psi(\mathbf{x}) </math>

Det betyr at den totale Hamilton-tettheten for mangepartikkelsystemet er

: <math> \hat{\cal{H}}(\mathbf{x}) = \hat\psi^\dagger(\mathbf{x})\left[{-\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + U(\mathbf{x}) \right] \hat\psi(\mathbf{x}) +  {g\over 2} \hat\psi^\dagger (\mathbf{x}) \hat\psi^\dagger (\mathbf{x})\hat\psi (\mathbf{x}) \hat\psi(\mathbf{x})</math>

Benyttes den til å beregne bevegelsesligningen for feltoperatoren, blir denne

: <math>    i\hbar{\partial\over\partial t} \hat\psi = \left[ -{\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + U + g\hat\psi^\dagger  \hat\psi \right] \hat\psi </math>

Den opprinnelige ligningen for uavhengige partikler har fått et ekstra ledd som involverer tre operatorer. Av denne grunn blir den ofte omtalt som den ''ikke-lineære Schrödinger-ligningen''. Men dette er bevegelsesligningen for kvantefeltet, [[Schrödinger-ligningen]] for hele systemet av partikler er alltid lineær.

==Lagrange-formulering==

Relativistiske kvantefeltteorier blir formulert ved å ta utgangspunkt i den klassiske [[Lagrange-mekanikk|Lagrange-funksjonen]] for feltet. Den er på mange måter en mer fundamental størrelse enn [[Hamilton-mekanikk|Hamilton-funksjonen]] for systemet som kan betraktes som en avledet størrelse. Lagrange-funksjonen definerer også entydig hva den konjugerte impulsen til feltet er. Når feltet kvantiteres, er det denne som inngår i den kanoniske kommutatoren og dermed gjør den klassiske beskrivelsen om til en [[kvantefeltteori]].<ref name = MS/>

Dynamikken til det ikke-relativistiske Schrödinger-feltet kan også utledes fra en Lagrange-funksjon på samme måte. Den er gitt ved [[Hamiltons virkningsprinsipp#Kontinuerlig system|Lagrange-tettheten]]

: <math> {\cal{L}} = i\hbar\psi^*\dot{\psi} - {\hbar^2\over 2m}(\boldsymbol{\nabla}\psi^*)\cdot(\boldsymbol{\nabla}\psi)  - U\psi^*\psi - {g\over 2}(\psi^*\psi)^2 </math>

når man tar med både vekselvirkningen med et ytre potensial og en punktkobling mellom partiklene. Her er <math> \dot{\psi} = \partial\psi/\partial t </math> og det klassiske feltet <math> \psi = \psi(\mathbf{x},t) </math> er en [[skalar]] funksjon som kommuterer med seg selv.<ref name = Bethe> H.A. Bethe, ''Intermediate Quantum Mechanics'', W.A. Benjamin, New York (1964).</ref>

Da feltet er komplekst, har det to reelle komponenter. Istedenfor behandle bevegelsesligningene for hver av dem, kan man betrakte <math> \psi </math> og <math> \psi^* </math> som to uavhengige felt. Den generelle [[Hamiltons virkningsprinsipp#Kontinuerlig felt i tre dimensjoner|Euler-Lagrange-ligningen]] for <math> \psi </math> er nå

: <math> {\partial\mathcal{L}\over\partial \psi}  - {\partial\over\partial t}{\partial\mathcal{L}\over\partial \dot{\psi}}  -  \sum_{j=1}^3 {\partial\over\partial x_j}{\partial\mathcal{L}\over\partial \psi_{,j}} = 0 </math>

hvor <math> \psi_{,j} = \partial\psi/\partial x_j </math> er komponentene til [[gradient]]en av feltet. Den tilsvarende ligningen for det konjugerte feltet gir da

: <math>    i\hbar{\partial\over\partial t} \psi = \left[ -{\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + U + g\psi^* \psi \right]\! \psi </math>

og har nøyaktig samme form som for den tilsvarende feltoperatoren.

===Hamilton-tetthet===

Den kanoniske impulsen til feltet er definert ved den deriverte

: <math>  \Pi =  {\partial\mathcal{L}\over\partial \dot{\psi}} = i\hbar\psi^* </math> 

Herav finnes Hamilton-tettheten

: <math> \begin{align}{\cal{H}} &= \dot{\psi}\Pi  -  {\cal{L}} \\ &= {\hbar^2\over 2m}(\boldsymbol{\nabla}\psi^*)\cdot(\boldsymbol{\nabla}\psi)  + U\psi^*\psi + {g\over 2}(\psi^*\psi)^2  \end{align}</math>

Sammenlignes dette uttrykket med den kvantemekaniske Hamilton-tettheten, har leddet som inneholder gradienten til feltet, motsatt fortegn. Men da det er den totale Hamilton-funksjonen gitt ved integralet over denne tettheten, kan fortegnet forandres ved en partiell integrasjon.<ref name = Bethe/>

===Kvantisering===

Når dette skalare feltet kvantiseres, går det over til å bli en feltoperator <math> \hat{\psi},</math> mens det konjugerte feltet blir den adjungerte feltoperatoren <math> \hat{\psi}^\dagger. </math> Selve kvantiseringen består i at feltoperatoren for det første må oppfylle den samtidige kommutatoren

: <math>  \left[\hat\psi(\mathbf{x},t),\hat\psi(\mathbf{x'},t)\right]_\epsilon = 0 </math>

hvor <math> \epsilon =1 </math> for bosoner og <math> \epsilon = -1 </math> for fermioner. For det andre må den samtidige kommutatoren mellom feltoperatoren og den konjugerte impulsoperatoren ha den kanoniske verdien

: <math>  \left[\hat\psi(\mathbf{x},t),\hat\Pi(\mathbf{x'},t)\right]_\epsilon = i\hbar\delta(\mathbf{x} - \mathbf{x'}) </math>

som gir den tidligere kommutatoren mellom <math> \hat{\psi} </math> og <math> \hat{\psi}^\dagger. </math> Dette medfører at Hamilton-funksjonen også blir en operator hvor rekkefølgen av de forskjellige feltoperatorene er viktig.

==Referanser==
<references/>

[[Kategori:Kvantemekanikk]]
[[Kategori:Matematisk fysikk]]