Vis kilden til Arbelos

[[Fil:Arbelos1.png|thumb|En arbelos, vist med det fargede området]]
[[Fil:Arbelos Shoemakers Knife.jpg|thumb|Skomakerkniv som har gitt navn til figuren]]
En '''arbelos''' er i [[geometri]] en plan figur avgrenset av tre [[sirkel|halvsirkler]].  Diameteren til alle halvsirklene ligger på en og samme linje, kalt grunnlinjen, 
og hver halvsirkel deler et hjørne med en av de andre halvsirklene.<ref name=AH291>[[#AH| A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.291f </ref><ref name=CB147>[[#CB|: C.B.Boyer; ''A history of mathematics'']] s.147f </ref>

Navnet «arbelos» kommer fra gresk og betyr «skomakerkniv».<ref name=ETYM/>  Kniven hadde en fasong som lignet på arbelosen.  

Den greske matematikeren [[Arkimedes]] introduserte figuren i ''[[Lemma-boken]]'' og studerte egenskaper i Påstand 4 - Påstand 8.<ref name=CB147/><ref name=TH101>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. II) s.101f </ref>   Denne boken har ikke overlevd på originalspråket, men ble oversatt fra arabisk til latin, med tittel ''Liber assumptorum''.

== Egenskaper ==
[[Fil:Arbelos4.png|thumb|Geometri knyttet til arealet av en arbelos]]
De to minste halvsirklene inngår [[konkav]]t i figuren og har vilkårlige diametre <math>a</math> og <math>b</math>. Den største halvsirkelen er [[konveks]], med diameter <math>a + b</math>.  Arbelosen har en rekke «elegante» geometriske egenskaper.

=== Buelengde ===

Den største halvsirkelen har en lengde som er lik summen av lengdene til de to minste sirklene.  Den totale [[buelengde]]n til arbelosen er

:<math>L =  2 \pi (a + b) </math>

=== Areal ===

Arealet <math>S</math> til arbelosen er gitt ved å ta arealet av den store halvsirkelen og trekke fra arealet av de to små.  Dette gir

:<math>S = \frac{1}{8} \left( \pi (a + b)^2 - \pi a^2 - \pi b^2 \right) = \frac{1}{4}\pi ab </math>

La ''B'' være det felles punktet for de to minste halvsirklene.  Punktet ''D'' ligger på den største sirkelbuen og ''BD'' er normal til grunnlinjen. Da er arealet av arbelosen lik 
arealet av en sirkel med diameter ''BD''.  Dette ble vist av Arkimedes i Påstand 4.  Ved å sette <math>x = AD</math>, <math>y = CD</math> og <math>h = BD</math> kan en finne diameteren
i sirkelen <math>h</math> fra de tre ligningene

:<math>
\begin{alignat}{2}
a^2 + h^2 &= x^2 \\
b^2 + h^2 &= y^2 \\
x^2 + y^2 &= (a + b)^2 
\end{alignat}
</math>

Ligningene framkommer ved gjentatt bruk av [[Pythagoras’ læresetning]].  Kombinasjon av ligningene gir

:<math>
\begin{alignat}{2}
h &= \sqrt{ab} \\
x &= \sqrt{a(a+b)} \\
y &= \sqrt{b(a+b)}
\end{alignat}
</math>

Fra dette følger det at <math>S = \frac{1}{4}\pi h^2</math>.

[[Fil:Arbelos2.png|thumb|Arkimedes' sirkler vist i rødt, med en omskrevet sirkel vist i grønt.]]
Sirkelen gjennom ''BD'' har sentrum i ''F'' og går også gjennom to punkt ''E'' og ''G'', og alle disse tre punktene ligger på den felles tangenten til de to minste halvsirklene som definerer arbelosen.<ref name=WO>{{kilde www| url=http://mathworld.wolfram.com/Arbelos.html |tittel= Arbelos |utgiver=Wolfram MathWorld |besøksdato=2021-03-10 |språk=en}}</ref>  Sirkelsentrum ''F'' deler selvsagt begge linjestykkene ''BD'' og ''EG'' i to like deler. 

=== Arkimedes' sirkler ===
Normalen ''BD'' deler arbelosen i to deler, hver del begrenset av den største sirkelbuen, normalen ''BD'' og en liten sirkelbue.  De to sirklene som er [[innskrevet (geometri)|innskrevet]] i disse områdene kalles ''Arkimedes' (tvilling)sirkler''.  Arkimedes viste i Påstand 5 at de to sirklene er like store.  Diameteren i tvillingssirklene er

:<math>d = \frac{ab}{a+b}</math>

Et nyere bevis for dette resultatet er funnet av Karen Sofie Ronæss, vesentlig enklere enn Arkimedes' bevis.<ref name=AH375>[[#AH| A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.375ff </ref>

Den minste sirkelen som kan omskrives de to Arkimedes-sirklene, har samme areal som arbelosen.<ref name=WO/>

=== Pappos-kjede ===
[[Fil:Arbelos6.png|thumb|Arbelos med Pappos-kjede av sirkler]]
Arbelosen har en innskrevet sirkel som tangerer alle de tre halvsirklene.  Med denne som utgangspunkt kan en lage to følger av tangentsirkler, der hver sirkel i følgen tangerer den største halvsirkelen, en av de mindre halvsirklene samt den foregående sirkelen i følgen.  Avhengig av om en velger den minste eller nest-minste halvsirkelen vil en få to ulike sirkelfølger.  En slik følge av tangentsirkler kalles en [[Pappos-kjede]] av sirkler. [[Pappos fra Alexandria]] studerte egenskaper til disse sirklene.<ref name=TH371>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. II) s.371-377 </ref>  La sirkelen som tangerer alle tre halvsirklene være sirkel nummer 1.  Hvis diameteren i sirkel nummer <math>n</math> betegnes <math>d_n</math>, og normalen fra sentrum i denne sirkelen ned på grunnlinjen har lengde <math>p_n</math>, så viste Pappos at

:<math>p_n = n d_n </math>

Ifølge Pappos var dette et gammelt resultat.

== Referanser ==

<references>

<ref name=ETYM>{{Kilde bok
| ref=
| forfatter= Steven Schwartzman
| redaktør= 
| utgivelsesår=1994
| tittel=The words of mathematics.  An etymological dictionary of mathematical terms used in English.
| utgivelsessted=Washington, DC
| forlag=The Mathematical Association of America
| side=
| isbn= 0-88385-511-9}}
</ref>

</references>

== Litteratur ==

*{{Kilde bok
| ref=AH                                          
| forfatter= Audun Holme
| utgivelsesår=2008
| tittel=Matematikkens historie
| utgivelsessted=Bergen
| forlag=Fagbokforlaget
| bind=1
| isbn=978-82-450-0697-1}}
*{{Kilde bok
| ref=TH                                           
| forfatter= Thomas Heath
| utgivelsesår=1981
| tittel=A history of Greek mathematics
| bind=II
| utgivelsessted=New York
| forlag=Dover Publications
| isbn=0-486-24074-6 }}
*{{Kilde bok
| ref=CB
| forfatter= C.B.Boyer
| utgivelsesår=1968
| tittel=A history of mathematics
| utgivelsessted= Princeton, USA
| forlag= John Wiley & Sons, Inc
| isbn= 0-691-02391-3 }}

== Eksterne lenker ==

* [http://mathworld.wolfram.com/Arbelos.html mathworld.wolfram.com]  Eric Weisstein: ''Arbelos''.  Besøkt 28. desember 2019.
* [https://www.cut-the-knot.org/proofs/arbelos.shtml cut-the-knot.org] ''Arbelos - the Shoemaker's Knife''.  Besøkt 10. mars 2021


{{Autoritetsdata}}
[[Kategori: Geometriske former]]