Vis kilden til Banach-rom

Et '''Banach-rom''' er i [[matematikk]] et [[komplett (matematikk) |komplett]] [[norm (matematikk)|normert]] [[vektorrom]]. Banach-rom er blant de viktigste studieobjektene i funksjonalanalyse. At rommet er komplett vil si at alle [[Cauchyfølge|Cauchy-følge]]r konvergerer mot en grense som er inneholdt i rommet. 

== Eksempler og egenskaper ==
De endeligdimensjonale vektorrommene <math>\mathbb{R}^n</math> og <math>\mathbb{C}^n</math>er alle Banach-rom. Mer generelt er alle [[Hilbert-rom]] også Banach-rom under normen indusert av det aktuelle indreproduktet. Et eksempel på et Banach-rom som ikke er et Hilbert-rom er 

<math>\ell^1(\mathbb{N}) = \left\{(x_n)_{n=1}^\infty : \sum_{n=1}^\infty |x_n| < \infty \right\}.</math>

Et normert rom er et Banach-rom hvis og bare hvis alle absolutt konvergente rekker konvergerer. Man kan også vite at et Banach-rom <math>(X, \lVert \cdot \rVert)</math> er et Hilbert-rom hvis og bare hvis det tilfredsstiller ''parallellogramloven'', som vil si at 

<math>2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 = \lVert x - y \rVert^2 + \lVert x + y \rVert^2 \quad \text{for alle } x, y \in X.</math>

==Eksterne lenker==
*{{MathWorld|title=Banach Space|urlname=BanachSpace}}

{{stubb}}
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Lineær algebra]]
[[Kategori:Funksjonalanalyse]]
[[Kategori:Normerte rom]]