Vis kilden til Berry–Esseens teorem

'''Berry&ndash;Esseens teorem''' er et teorem i [[matematikk]] som gir en øvre grense for [[konvergenshastigheten]]
i [[sentralgrenseteoremet]]. Teoremet ble bevist uavhengig av hverandre av [[Andrew C. Berry]] i 1941 og [[Carl-Gustav Esseen]] i 1942.

Ettersom teoremet ble bevist av to forskjellige matematikere, og deretter ble videreutviklet både av disse og andre, finnes det flere forskjellige formuleringer. En versjon er som følger:

: La <math>X_1, X_2,\ldots</math> være uavhengige stokastiske variabler med samme sannsynlighetsfordeling, og anta at <math>\mathbb E[X_1] = 0</math>, at <math> \mathbb E[X_1^2] = \sigma^2> 0</math> og at <math>\mathbb E[|X_1|^3] = \rho < \infty</math>. La videre
:: <math>Y_n  = \frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}n</math>
: være gjennomsnittet av de <math>n</math> første variablene. La <math>F_n</math> være den kumulative fordelingsfunksjonen til
:: <math>\frac{Y_n\sqrt n}\sigma</math>,
: og <math>\Phi</math> være den kumulative fordelingsfunksjonen til den standard [[normalfordeling]]en. Da finnes en positiv konstant <math>C</math> slik at for alle <math>x</math> og <math>n</math> så er
:: <math>|F_n(x) - \Phi(x)| \leq \frac{C\rho}{\sigma^3 \sqrt n}</math>.

Her er <math>C</math> en universell [[matematisk konstant]], som er kjent som Berry&ndash;Esseen-konstanten.
Den nøyaktige verdien av konstanten er ikke kjent. 
I Esseens opprinnelige arbeid gis den en øvre grense på 7,59, som senere har blitt forbedret. Den beste øvre
grensen som er kjent i dag er 0,7655 og ble vist av Sjiganov i 1985.<ref>I. S. Shiganov: ''Refinement of the upper bound of the constant in the central limit theorem''. I: ''Journal of Soviet Mathematics''. 1986, s. 2545–2550.</ref> På den annen side er det kjent at <math>C</math>
er større enn <math>1/\sqrt{2\pi}\approx 0,3989</math>.<ref>Gänssler, Stute: ''Wahrscheinlichkeitstheorie''. Springer, Berlin 1977, Eksempel 4.2.16.</ref>

== Referanser ==
<references/>
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Sannsynlighetsteori]]