Vis kilden til Binær relasjon

En '''binær relasjon''', eller en '''relasjon''', er i [[matematikk]] en sammenheng mellom to og to objekter i en [[mengde]]. For hvert par av objekter vil relasjonen enten være sann eller ikke.  Eksempler på relasjoner er «lik», «større enn», «[[kongruens (geometri)|kongruent]]» og «[[ortogonalitet|ortogonal]] til».

Binære relasjoner er brukt i alle deler av matematikk.  En [[funksjon (matematikk)|funksjon]] er definert som en spesiell type binær relasjon.

== Formell definisjon ==
Dersom ''M'' er en vilkårlig mengde, og ''S'' er en [[delmengde]] av det [[kartesisk produkt|kartesiske produktet]]  ''M'' × ''M'', så er ''S'' en binær relasjon i ''M''.<ref name="RDM1"/>.

For ethvert [[ordnede par|ordnet par]] (''a'',''b'') av objekt i ''M'' kan en si at paret er med i ''S'' eller ikke.  Dette er ekvivalent til å si at relasjonen mellom ''a'' og ''b'' er oppfylt eller ikke.  En relasjon kan generelt skrives på formen ''aSb'' eller ''S(a,b)'', men ofte erstattes ''S'' med et  mer standard symbol, som for eksempel et [[likhetstegn]].''

== Egenskaper ==
En matematisk relasjon kan karakteriseres med følgende egenskaper:

* Relasjonen er ''refleksiv'' dersom ''aSa'' for alle ''a'' i mengden ''M''.
** Relasjonen er ''irrefleksiv'' dersom det ikke finnes noen ''a'' i ''M'' slik at ''aSa'' 
* Relasjonen er ''symmetrisk'' dersom ''aSb'' medfører ''bSa''.
** Relasjonen er ''asymmetrisk'' dersom ''aSb'' medfører ''ikke bSa''.
* Relasjonen er ''antisymmetrisk'' dersom ''aSb'' og ''bSa'' medfører at ''a = b''.
* Relasjonen er ''transitiv'' dersom ''aSb'' og ''bSc'' medfører ''aSc''.

Relasjonen «større eller lik» er refleksiv, mens relasjonen «større enn» ikke er det.  Relasjonen «lik» er symmetrisk, mens relasjonen «større eller lik» er antisymmetrisk. En relasjon som er både refleksiv, symmetrisk og transitiv kalles en [[ekvivalensrelasjon]]. En relasjon som er refleksiv, antisymmetrisk og transitiv kalles en [[partiell ordning]].

===Refleksivitet===
En relasjon ''S'' er refleksiv dersom ethvert element i en gitt mengde er relatert til seg selv.

Eksempler på refleksive relasjoner:
* Likhet (=) på tall
* Større eller lik (≤) på tall
* [[Delmengde]]-relasjonen (<math>\textstyle{}\subseteq</math>)

===Irrefleksivitet===
En relasjon ''S'' er ''irrefleksiv'' dersom ingen objekter i en mengde er relatert til seg selv.

Eksempler på irrefleksive relasjoner:

* Ekte større (<) på tall
* Er ikke lik (≠) på tall

===Symmetri===
En relasjon ''S'' er ''symmetrisk'' dersom en relasjon er slik at dersom x er relatert til y, så er y også relatert til x. Merk at symmetri er ''ikke'' det motsatte av antisymmetri.

Eksempler på symmetriske relasjoner:

* Likhet (=) på tall 
* «Søsken-relasjonen»

===Asymmetri===
En relasjon er ''asymmetrisk'' den har egenskapen hvis ''x'' er relatert til ''y'', så er det ''ikke'' slik at ''y'' er relatert til ''x''.

Eksempler på asymmetriske relasjoner:

* Mindre enn (<) på tall: <math>\textstyle{}2 < 3</math>, men <math>\textstyle{} 3 \not< 2</math>
* [[Delmengde]]-relasjonen <math>\textstyle{}\subseteq</math>

===Antisymmetri===
En relasjon er ''antisymmetrisk'' dersom den er slik at hvis to objekter er relatert med hverandre, så må de være samme objekt. Merk at antisymmetri ''ikke'' er det motsatte av symmetri.

Eksempler på antisymmetriske relasjoner:
* Mindre eller lik (≤) på tall, hvis ''x≤y'' og ''y≤x'', så er ''x=y''
* Likhet på tall, hvis ''x=y'' og ''y=x'', så er ''x=y''
* Ekte mindre (<) på tall, det finnes ingen tilfeller slik at x < y og y < x, så det blir en tom sannhet.

===Transitivitet===
En relasjon er ''transitiv'' dersom den er slik at hvis ''x'' er relatert til ''y'' og ''y'' er relatert til ''z'', så er ''x'' relatert til ''z''.

* Likhet (=) på tall
* Mindre eller lik (≤) på tall

== Se også ==
* [[Relasjonsalgebra]]

== Referanser ==
<references>
<ref name="RDM1">{{Kilde bok
| forfatter= Ronald Douglas Milne
| redaktør= 
| utgivelsesår=1980
| artikkel=
| tittel=Applied functional analysis, an introductory treatment
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= London
| forlag= Pitman Publishing Limited
| side=
| isbn=0-273-08404-6
| id=
| kommentar= 
| url= }}
</ref>
</references>

== Eksterne lenker ==
* {{Kilde bok | url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Binary_relation
| tittel=''Encyclopedia of Mathematics:'' Binary Relation
| utgiver = Springer/The European Mathematical Society
| isbn = 1402006098
| utgivelsesår=2001
| språk=Engelsk}}

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Mengdelære]]