Vis kilden til Black-Scholes

'''Black-Scholes''' er et begrep hentet fra [[matematisk finans]] som brukes løst om tre ulike ting:

* Den [[stokastisk differensialligning|stokastiske differensialligningen]] som ofte brukes som modell for et verdipapir, som for eksempel en [[aksje]].
* Den [[partiell differensialligning|partielle differensialligningen]] som utledes fra modellen i punktet over.
* Løsningen av den partielle differensialligningen i punktet over.

Begrepet tar sitt navn fra forfatterne [[Fisher Black]] og [[Myron Scholes]] som arbeidet med prissetting av en [[Europeisk opsjon]] på begynnelsen av [[1970-tallet]]. Sammen med [[Robert C. Merton]], som først innførte begrepet, løste de problemet med å finne en rettferdig pris på en Europeisk opsjon gitt visse betingelser. Senere ble Merton og Scholes tildelt [[Sveriges Riksbanks pris i økonomisk vitenskap til minne om Alfred Nobel]] for sitt arbeid i [[1997]], mens Black ikke kunne motta prisen da han døde i [[1995]].

==Black-Scholes som en stokastisk prosess==

Som en stokastisk differensialligning er Black-Scholes-modellen formulert på følgende vis:
:<math>d S_t = \alpha S_t dt + \sigma S_t d W_t,</math>

under antagelsene at både driften <math>\alpha</math> og volatiliteten <math>\sigma</math> er konstante. Videre er "støyen" <math>W_t</math> en standard [[Brownsk bevegelse]], og følgende antagelser er gjort med tanke på markedet og aksjen:
* [[Short-salg]] er tillatt.
* Det er ingen transaksjonskostnader.
* Markedet er [[arbitrasje|arbitrasje-fritt]].
* Aksjen betaler ikke ut fortjeneste.
* Handel foregår kontinuerlig.
* Man kan handle fraksjoner av en aksje.
* Man kan låne penger i banken til en gitt risiko-fri rente.

Denne modellen kan løses analytisk og gir da en pris for en Europeisk opsjon under disse antagelsene kombinert med startbetingelsen <math>S_0</math>. Dette gjøres blant annet på online opsjonskalkulatore slik den [[Oslo Børs]] benytter [http://www.oslobors.no/ob/opsjonskalkulator?menu2show=1.3.1.5]{{død lenke|dato=juli 2017 |bot=InternetArchiveBot }}.

==Black-Scholes som en partiell differensialligning==

Fra Black-Scholes modellen over kan man utlede en partiell differensialligning. Dette kan gjøres på flere måter, avhengig av hvilken teknikk man bruker. 

===Arbitrasje-fri utledning===

Under antagelsene at man har et komplett marked kan man bruke [[Feynman-Kac]]s teorem samt den [[karakteristiske generatoren]] assosiert med Black-Scholes stokastiske differensialligningen. Fra dette får man den partielle differensialligningen
:<math>u_t + \frac{1}{2}\sigma^2 x^2 u_{xx} + r x u_x - xu=0</math>
med sluttbetingelsen 
:<math>u(x,T)=\max(S-K,0).</math>

===Utledning med delta-hedging===

Ved å komponere en [[portefølje]] bestående av en aksje og en opsjon kan man finne en arbitrasje-fri pris ved bruk av [[delta hedging]]. Vi tar utgangspunkt i at aksjedynamikken beskrives ved
:<math>d S_t = \alpha S_t dt + \sigma S_t d W_t,</math>
og at opsjonen kan beskrives som en funksjon av denne, slik at 
:<math>V:=V(S,t)=\left( \alpha S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt + \sigma S \frac{\partial V}{\partial S} d W_t</math>
ved bruk av [[Itôs lemma]].

Nå konstruerer vi en portefølje med én opsjon og <math>n</math> aksjer, og får da følgende:
:<math>\Pi=V+n S</math>.
Dersom vi holder antallet aksjer fiksert over et lite tidsintervall <math>dt</math> vil porteføljens verdi forandre seg etter relasjonen
:<math>d\Pi = d V +  n d S.</math>
Setter vi nå inn for <math>dV</math> og <math>dS</math> gitt over finner vi at 
:<math>d\Pi = \sigma S \left( \frac{\partial V}{\partial S} - n \right) d W_t + \left( \alpha S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + \frac{\partial V}{\partial t} - \alpha n S \right) dt. </math>
Siden vi ønsker at all usikkerhet skal bort – vi vil hedge – velger vi <math>n=\frac{\partial V}{\partial S}</math> i starten av tidsintervallet <math>dt.</math> Nå har vi en portefølje hvor usikkerheten er fjernet og endringen er helt deterministisk:
:<math>d \Pi = \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt.</math>

Ved arbitrasjeargumenter må verdien til porteføljen være <math>r \Pi dt</math>, og vi finner at 
:<math>r \Pi dt = \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt.</math>
Setter vi nå inn for <math>\Pi</math> og <math>n</math> finner vi Black-Scholes partielle differensialligning:
:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} +  rS \frac{\partial V}{\partial S} -rV=0.</math>

==Kritikk==

[[Portfolio.com]] ved Michael Lewis skrev i 2008 en kritisk artikkel<ref>[http://www.portfolio.com/news-markets/national-news/portfolio/2008/02/19/Black-Scholes-Pricing-Model/ Inside Wall Street's Black Hole]</ref> som omhandler denne modellen.

==Referanser==
<references />
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Matematisk finans]]