Vis kilden til Carl Ferdinand Degen

{{infoboks biografi}}
'''Carl Ferdinand Degen''' (født 1. november [[1766]] i [[Braunschweig]] – død 8. april [[1825]] i [[København]]) var en dansk matematiker. Han gjorde seg spesielt bemerket med sine arbeider i [[tallteori]] og veiledet den unge [[Niels Henrik Abel]] på en avgjørende måte. Degen har fått æren for å ha innført høyere matematikk i det danske skolesystemet og dermed også delvis i det norske.

Familien flyttet til København in [[1771]] da faren Johan Philip Degen fikk en stilling i [[Det Kongelige Kapel]]. Der tjente han dårlig, men sønnen Carl Ferdinand fikk et stipendium til å kunne gå på skole i [[Helsingør]]. Der var han ferdig i [[1783]] og fortsatte ved [[Universitetet i København]]. I stedet for å følge det planlagte studieforløpet, fulgte han sine egne interesser og gjennomførte studier i klassiske språk, [[filosofi]], [[naturvitenskap]] og spesielt [[matematikk]].<ref name = Runeberg> Salmonsens Konservationsleksikon, ''Carl Ferdinand Degen'', [[Prosjekt Runeberg]], digitalisert 2. utgave (1916).</ref> Da universitetet i [[1792]] for første gang utlyste prisoppgaver med en premie på 40 [[riksdaler]] innen hvert område, vant han både den i [[teologi]] og den i matematikk. Foruten at han kunne både [[latin]], [[gresk]] og [[hebraisk]], behersket han også de fleste [[romansk]]e og [[germanske språk]] og kunne lese [[russisk]] og [[polsk]]. En tid var han også privatlærer i matematikk for den unge prins [[Christian Frederik]].  I [[1798]] mottok han [[filosofisk doktorgrad|den filosofiske doktorgrad]] på et arbeid om [[Kant]]s filosofi<ref name="Stubhaug">A. Stubhaug, ''Et foranskutt lyn: Niels Henrik Abel og hans tid'', Aschehoug, Oslo (1996). ISBN 82-03-16697-0.</ref> og ble i [[1800]] innvalgt i det danske [[Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab|Videnskapsselskapet]].<ref name = Runeberg/>

Sin første stilling fikk Degen i [[1802]] som overlærer i [[matematikk]] og [[fysikk]] ved [[Odense]] [[Katedralskole]]. Deretter overtok han i [[1806]] stillingen som [[rektor]] ved [[Viborg]] Katedralskole hvor han forble frem til [[1814]] da han ble ansatt som [[professor]] i matematikk ved  [[Universitetet i København]]. Her bidro han også til å heve nivået på undervisningen. Gjennom sine arbeider ble han snart ansett som den dygtigste matematiker i [[Skandinavia]] på den tiden.<ref name = Stubhaug/>

Degen ble av [[Niels Henrik Abel]] beskrevet som en elskverdig, men litt pussig type med et stort, privat  bibliotek.<ref name = Stubhaug/> Han ble i København frem til sin død i [[1825]]. Derfor fikk han ikke oppleve den store berømmelse som den unge Abel kom til å oppleve og som han hadde hjulpet på vei. Degen er gravlagt på [[Assistens Kirkegård (København)|Assistens Kirkegård]] på [[Nørrebro]] i København.

==Matematiske bidrag==

Degen arbeidet over et vidt spektrum av datidens moderne matematikk. Det meste gjaldt forskjellige problem innen [[tallteori]], men han skrev også arbeid som omhandlet [[geometri|geometriske]] og [[mekanikk|mekaniske]] problemstillinger.<ref name = Runeberg/> 

===Pells ligning===

[[Euler]] hadde tidligere vist at [[Pells ligning]]

: <math> x^2 - Dy^2 = 1 </math>

hvor ''D'' er et positivt heltall, har heltallige løsninger (''x,y'') som kan systematisk beregnes  ved bruk av [[kjedebrøk|kjedebrøker]]. I [[1817]] fikk Degen trykket et stort verk på over hundre sider hvor han presenterte alle løsningene av ligningen for ''D'' < 1000.<ref> C.F. Degen, [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN599463368 ''Canon Pellianus Sive Tabula simplicissimam Aequationis Celebratissimae''], Bonnier, København (1817). Elektronisk versjon fra Göttinger Digitalisierungszentrum.</ref> Disse beregningene ga også rasjonelle, tilnærmete verdier for [[kvadratrot]]en av de samme ''D''. I tillegg fant han med samme metode  alle tilsvarende løsninger for den negative ligningen som har -1 på høyre side. Disse tabellene med løsninger ble i årene som fulgte benyttet som standardreferanser.<ref> D.H. Lehmer, ''Guide to Tables in the Theory of Numbers'', National Research Council, Washington D.C. (1941).</ref>

===Åtte-kvadrats likhet===

Mens arbeidene med Pells ligning var en videreføring av tidligere bidrag av [[Euler]], [[Lagrange]] og [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]], var Degens oppdagelse av den såkalte åtte-kvadrats likheten, hans viktigste ny-oppdagelse. Sannsynligvis kom den ut av hans forsøk på å generalisere Pells ligning. Den enklere to-kvadrats likhet

: <math> (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) = (a_1b_1 + a_2b_2)^2 + (a_2b_1 - a_1b_2)^2 </math>

er kjent fra [[Diofant|Diophants]] tid. Den direkte forbundet med abslolutt størrelse eller «normen» til [[komplekst tall|komplekse tall]]. På 1700-tallet kunne Euler vise at det finnes en tilsvarende identitet som involverer summer med fire kvadrat. Nesten hundre år senere ble det klart at denne reflekterer normen til [[Kvaternioner|kvaternionske tall]]. I [[1818]] kunne Degen presentere et arbeid for Videnskapsselskapet i [[St. Petersburg]] hvor Euler hadde arbeidet, som inneholdt den enda større identiteten<ref>A. Rice and E. Brown, [http://www.math.vt.edu/people/brown/doc/Comm_and_Coll_A.pdf ''Commutativity and collinearity: A historical case study of the interconnection of mathematical ideas. Part I''] {{Wayback|url=http://www.math.vt.edu/people/brown/doc/Comm_and_Coll_A.pdf |date=20161020035551 }}, Journal of the British Society for the History of Mathematics '''31''' (1), 1-14 (2016).</ref>

:<math>(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2+a_6^2+a_7^2+a_8^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2+b_5^2+b_6^2+b_7^2+b_8^2) </math>

::<math>\begin{align} &= (a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3-a_4b_4-a_5b_5-a_6b_6-a_7b_7-a_8b_8)^2\\
 &+ (a_2b_1+a_1b_2+a_4b_3-a_3b_4+a_6b_5-a_5b_6-a_8b_7+a_7b_8)^2\\
 &+ (a_3b_1-a_4b_2+a_1b_3+a_2b_4+a_7b_5+a_8b_6-a_5b_7-a_6b_8)^2 \\
 &+ (a_4b_1+a_3b_2-a_2b_3+a_1b_4+a_8b_5-a_7b_6+a_6b_7-a_5b_8)^2\\ 
 &+ (a_5b_1-a_6b_2-a_7b_3-a_8b_4+a_1b_5+a_2b_6+a_3b_7+a_4b_8)^2\\ 
 &+ (a_6b_1+a_5b_2-a_8b_3+a_7b_4-a_2b_5+a_1b_6-a_4b_7+a_3b_8)^2\\ 
 &+ (a_7b_1+a_8b_2+a_5b_3-a_6b_4-a_3b_5+a_4b_6+a_1b_7-a_2b_8)^2\\ 
 &+ (a_8b_1-a_7b_2+a_6b_3+a_5b_4-a_4b_5-a_3b_6+a_2b_7+a_1b_8)^2 \end{align}</math>

Året etter ble Degen innvalgt som korresponderende medlem i det samme selskapet.  Arbeidet ble først trykt i [[1822]].<ref> C.F. Degen, ''Adumbratio Demonstrationis Theorematis Arithmetici Maxime Universalis'', Mémoires de l’Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, pour les années 1817 et 1818, '''8''', 207-219 (1822).</ref> Med oppdagelsen omtrent tredve år senere av [[oktonion]] som [[Arthur Cayley]] har fått æren for, ble det klart at denne likheten til Degen beskrev normen til disse nye ikke-kommuterende og ikke-assosiative tallene.

===Møtet med Abel===

[[Niels Henrik Abel]] var i [[1821]] ennå en vanlig, men meget begavet elev i siste år ved Katedralskolen i [[Christiania]]. Han mente da å ha funnet en metode for å løse [[femtegradsligning]]en. Ingen av hans lærere eller professorer ved Universitetet kunne finne noen feil ved dette arbeidet. Det ble derfor sendt til Degen med det håp at det kunne bli publisert ved Videnskapsselskapet der. Han kunne heller ikke finne noen feil i arbeidet, men mente likevel at resultatet måtte først prøves på et praktisk eksempel. I brevet til [[Christopher Hansteen (astronom)|Christopher Hansteen]] foreslo han ligningen ''x''<sup>5</sup> - 2''x''<sup>4</sup> + 3''x''<sup>2</sup> - 4''x'' + 5 = 0. Han avsluttet med anbefalingen:

{{Sitat|Næppe kan jeg ved denne Lejlighed undertrykke det Ønske, at den Tid og de Aandskræfter, et Hoved som Hr. Abel skænker en i mine Øjne noget steril Genstand, måtte ydes et emne, hvis Uddannelse vil have de vigtigste Følger for hele Analysen og dens Anvendelse på dynamiske Undersøgelser, jeg mener de elliptiske Transcendenter. Ved tilbørligt Anlæg for Undersøgelser af dette Slags vil den alvorlige Gransker ingenlunde blive staaende ved disse ellers i og for sig selv højst mærkværdige Funktioners mange og smukke Egenskaber, men opdage Magellanske Gennemfarter til store Partier af et og samme uhyre analytiske Ocean.| Carl Ferdinand Degen i brev til Hansteen. }}

Dette skulle i ettertid vise seg å være et meget godt råd. Snart oppdaget Abel selv at hans beregninger ikke var korrekte, men fortsatte likevel å arbeide med ligningen. To år senere kunne han vise at den generelle femtegradsligning i alminnelighet ikke kan løses [[algebraisk løsning|algebraisk]].

Men anbefalingen fra Degen om å konsentrere seg i stedet om de [[elliptisk integral|elliptiske integral]], hadde han sannsynligvis merket seg. Sommeren [[1823]] etter at han var blitt student, var han på et kort opphold i København hvor han møtte Degen. I et brev til sin venn og kollega [[Bernt Michael Holmboe|Holmboe]] i Christiania, kunne han meddele at han hadde konstruert [[elliptiske funksjoner]] ved å invertere de tilsvarende integralene. Året etterpå i et brev til Degen skrev han at disse nye funksjonene har to perioder.<ref name="Ore"> Ø. Ore, ''Niels Henrik Abel - et geni og hans samtid'', Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1954). </ref> Selv om dette markerer etableringen av denne nye og meget viktige del av moderne matematikk, ventet Abel med å publisere sine resultat. Det gjorde han først i [[1827]]. Degen var da død og forble derfor uvitende om Abels vakre oppdagelser som han hadde spådd.

==Referanser==
<references />

==Eksterne lenker==
* E.S. Munkholm, [http://www.lmfk.dk/artikler/data/artikler/1503/1503_15.pdf ''Kædebrøker til praktiske beregninger anno 1805''], basert på foredrag som Degen holdt i 1805 ved Odense Katedralskole om bruk av kjedebrøker.
{{Autoritetsdata}}

{{STANDARDSORTERING:Degen, Carl Ferdinand}}
[[Kategori:Danske matematikere]]
[[Kategori:Professorer ved Københavns Universitet]]
[[Kategori:Medlemmer av Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab]]
[[Kategori:Personer fra København]]