Vis kilden til Darwin-vekselvirkning

'''Darwins vekselvirkning''' beskriver energien til [[Elektrisk ladning|ladete]] partikler i bevegelse som skyldes de [[Coulombs lov|elektriske]] og [[Ampères kraftlov|magnetiske]] kreftene mellom dem. Hvis hastighetene til partiklene har en omtrentlig verdi ''v'', har denne energien en størrelsesorden som er en brøkdel ''v''<sup>&thinsp;2</sup>/''c''<sup>&thinsp;2</sup> av den vanlige [[Coulombs lov#Coulomb-potensialet|Coulomb-energien]] til partiklene når ''c''&thinsp; er [[lyshastighet]]en. Darwin-vekselvirkningen kan derfor betraktes som en [[Spesiell relativitet|relativistisk]] korreksjon til den elektriske energien og skyldes at en partikkel i bevegelse skaper et magnetfelt som påvirker andre partikler ved [[Lorentz-kraft]]en.

Dette bidraget til den klassiske [[elektrodynamikk]]en ble beregnet av den engelske fysiker [[Charles Galton Darwin]] et par år før moderne [[kvantemekanikk]] var etablert.<ref name = Darwin> C.G. Darwin, ''The Dynamical Motions of Charged Particles'', Philosophical Magazine '''39''', 537-551 (1920).</ref> Man visste allerede da fra [[Bohrs atommodell]] at elektronene i et atom har meget høye hastigheter som kan nærme seg lyshastigheten. Det var derfor av viktighet å forstå hvordan dette ville påvirke de elektriske kreftene som holdt elektronene på plass i atomet. I kvantemekanisk sammenheng er denne vekselvirkningen senere benyttet til å beregne korreksjoner til energien av atomer med flere elektroner og  andre systemer med mange ladete partikler i bevegelse.<ref name = BLP> V. B. Berestetskii, E. M. Lifshitz, and L. P. Pitaevskii, ''Relativistic Quantum Theory'', Pergamon Press, Oxford (1971). </ref>

==Klassisk beregning==

En partikkel med masse ''m&thinsp;'' og [[elektrisk ladning]] ''q&thinsp;'' som beveger seg med hastighet '''v''' i en kombinasjon av et [[Elektrisk potensial|elektrisk skalarpotensial]] {{nowrap|&Phi; {{=}} &Phi;('''r''',''t'')&thinsp;}} og et [[Magnetfelt#Vektorpotensialet|magnetisk vektorpotensial]] {{nowrap|'''A''' {{=}} '''A'''('''r''',''t''),}} er beskrevet ved [[Lagrange-mekanikk|Lagrange-funksjonen]]

: <math> L = -mc^2\sqrt{1 - v^2/c^2}  - q(\Phi - \mathbf{v}\cdot\mathbf{A})</math>

Den gjelder også for [[Kovariant relativitetsteori#Relativistisk bevegelsesligning|relativistisk bevegelse]] der partikkelens hastighet nærmer seg lyshastigheten,  ''v'' &rarr; ''c''. Mens både potensialene &Phi;&thinsp; og '''A''' forandres under [[gaugetransformasjon]]er, vil denne  Lagrange-funksjonen forbli uforandret. Denne friheten tillater at man kan påtvinge vektorpotensialet betingelsen {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&sdot;&thinsp;'''A''' {{=}} 0}}. Det kalles valg av [[Gaugetransformasjon#Coulomb-gauge|Coulomb-gauge]] fordi det elektriske potensialet fra en ladning ''q'' da vil være  {{nowrap|&Phi; {{=}} ''q''/4''&pi;&thinsp;&epsilon;''<sub>0</sub>''r''&thinsp;}} selv om den er i bevegelse.<ref name = LL> L.D. Landau and E.M. Lifshitz, ''Classical Theory of Fields'', Pergamon Press, London (1971).</ref>

===Vektorpotensial===
En slik ladning i bevegelse vil samtidig skape et [[magnetfelt]] {{nowrap|'''B''' {{=}} '''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''A'''}}. Så lenge hastigheten er ikke-relativistsisk ''v'' << ''c'', er dette gitt ved  [[Biot-Savarts lov]] 

: <math> \mathbf{B} = \frac{\mu_0q}{4\pi} {\mathbf{v}\times\mathbf{r}\over r^3} = \frac{q\,\mathbf{v} \times \mathbf{n}}{4\pi\varepsilon_0 c^2 r^2}</math>

der enhetsvektoren '''n''' = '''r'''/''r&thinsp;'' peker fra ladningen til det punkt hvor feltet opptrer. Det tilsvarende vektorpotensialet er

: <math> \mathbf{A} = {q\,\mathbf{v}\over 4\pi\varepsilon_0 c^2 r} </math>

På grunn av faktoren ''c''<sup>&thinsp;2</sup> i nevneren vil dette magnetiske bidraget til energien være mye mindre enn Coulomb-leddet. Men de to bidragene kan ikke uten videre sammenlignes da denne formen av vektorpotensialet ikke oppfyller gaugebetingelsen {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&sdot;&thinsp;'''A''' {{=}} 0}}. Det kan nå gjøres ved gaugetransformasjon {{nowrap|'''A''' &rarr; '''A''' + '''&nabla;'''&thinsp;''&chi;''&thinsp;}} hvis man velger {{nowrap|''&chi;'' {{=}} - '''r'''&sdot;'''v'''/2''r''}} multiplisert med konstanten {{nowrap|''q''/4''&pi;&thinsp;&epsilon;''<sub>0</sub>''c''<sup>2</sup>.}} Det transformerte vektorpotensialet blir dermed

: <math>\begin{align} \mathbf{A} &= {q\over 4\pi\varepsilon_0 c^2}\left[ {\mathbf{v}\over r} - {\mathbf{v}\over 2r} + {\mathbf{r} (\mathbf{r}\cdot\mathbf{v})\over 2r^3} \right]\\  &= {q\over 4\pi\varepsilon_0 c^2}\left[ {\mathbf{v}\over 2r} + {\mathbf{r} (\mathbf{r}\cdot\mathbf{v})\over 2r^3} \right] \end{align}</math>

Dette kan nå benyttes til å finne Darwin-vekselvirkningen.<ref name = Jackson> J. D. Jackson, ''Classical Electrodynamics'', John Wiley & Sons, New York (1998). ISBN 0-4713-0932-X.</ref>

===Lagrange-funksjon===
Hvis man betrakter  en ladet partikkel ''q''<sub>1</sub> med hastighet '''v'''<sub>1</sub> som beveger seg under påvirkning av en annen partikkel med ''q''<sub>2</sub> og hastighet '''v'''<sub>2</sub>, vil den fulle Lagrange-funksjonen  splittes opp i to deler som {{nowrap|''L'' {{=}}  ''L<sub>kin</sub>'' +  ''L<sub>int</sub>''&thinsp;.}} Ved å ta med den første [[Spesiell relativitet|relativistiske korreksjonen]] til den [[Kinetisk energi|kinetiske energien]], blir denne for begge partiklene

: <math> L_{kin} = {1\over 2}m_1\mathbf{v}_1^2 \Big(1 + {\mathbf{v}_1^2\over 4c^2}\Big)  + {1\over 2}m_2\mathbf{v}_2^2\Big(1 + {\mathbf{v}_2^2\over 4c^2}\Big)  </math>
 
Darwin-vekselvirkningen mellom partiklene kan nå sies å følge fra potensialene som partikkel 2 skaper og som virker på partikkel 1. Den er derfor gitt ved

: <math>\begin{align} L_{int} &=  q_1\mathbf{v}_1(t)\cdot\mathbf{A}(\mathbf{r}_1,t)  - q_1\Phi(\mathbf{r}_1,t) \\  &= -{q_1 q_2\over 4\pi\varepsilon_0 r} +  {q_1 q_2\over 8\pi\varepsilon_0 c^2 r}\Big[\mathbf{v}_1\cdot \mathbf{v}_2 + (\mathbf{v}_1\cdot \mathbf{n})(\mathbf{v}_2\cdot \mathbf{n}) \Big]  \end{align}</math>

hvor nå vektoren '''r''' = '''r'''<sub>1</sub> - '''r'''<sub>2</sub>&thinsp; gir separasjonen mellom partiklene. Denne koblingen avhenger både av partiklenes avstand og deres hastigheter. Dette er i overensstemmelse med resultatet til Darwin som ble utledet på en litt annen måte.<ref name = Darwin/>

===Hamilton-funksjon===

Denne vekselvirkningen tilsvarer også en bestemt vekselvirkningsenergi. Den følger fra den tilsvarende  [[Lagrangemekanikk#Hamilton-funksjonen|Hamilton-funksjonen]]

: <math> H = \mathbf{p}_1\cdot\mathbf{v}_1 + \mathbf{p}_1\cdot\mathbf{v}_1 - L </math>

hvor de konjugerte impulsene finnes fra definisjonen '''p''' = &part;''L''/&part;'''v'''. Det gir

: <math> \mathbf{p}_1 = m_1  \mathbf{v}_1 \Big(1 + {\mathbf{v}_1^2\over 2c^2}\Big) + {q_1 q_2\over 8\pi\varepsilon_0 c^2r} \Big[\mathbf{v}_2 +  \mathbf{n} (\mathbf{v}_2\cdot \mathbf{n}) \Big] </math>

og tilsvarende for den andre partikkelen. Resultatet kan igjen skrives på formen {{nowrap|''H'' {{=}}  ''H<sub>kin</sub>'' +  ''H<sub>int</sub>''&thinsp;.}} Den kinetiske energien er nå gitt som

: <math> H_{kin} =  \Big(1 - {\mathbf{p}_1^2\over 4m_1^2c^2}\Big) {\mathbf{p}_1^2\over 2m_1} +  \Big(1 - {\mathbf{p}_2^2\over 4m_2^2c^2}\Big) {\mathbf{p}_2^2\over 2m_2} ,</math>

mens vekselvirkningsenergien er

: <math> H_{int} =  {q_1 q_2\over 4\pi\varepsilon_0 r} - {q_1 q_2\over 8\pi\varepsilon_0 m_1 m_2 c^2 r}\Big[\mathbf{p}_1\cdot \mathbf{p}_2 + (\mathbf{p}_1\cdot \mathbf{n})(\mathbf{p}_2\cdot \mathbf{n}) \Big] </math>

Denne kan uttrykkes ved hastighetene til partiklene ved å skrive '''p''' = ''m''&thinsp;'''v''' i det siste leddet samtidig som det skifter fortegn.<ref name = Kirk> K.T. McDonald, [http://kirkmcd.princeton.edu/examples/darwin.pdf ''Darwin Energy Paradoxes''], Princeton University (2019).</ref>

==Kvantemekanisk beregning==

Den relativistiske korreksjonen til Coulomb-energien som Darwin-vekselvirkningen beskriver, har lignende form som bidraget fra den kvantemekaniske utveksling av [[Propagator#Elektromagnetisk vekselvirkning|transverse fotoner]] mellom de to partiklene. Dette kommer spesielt tydelig frem i Coulomb-gaugen {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&sdot;&thinsp;'''A''' {{=}} 0}}. For et foton med fireimpuls ''k<sup>&mu;</sup>'' = (''&omega;''&thinsp;/''c'', '''k''') vil da den Fourier-transformerte Coulomb-energien tilsvare [[Kvantisert strålingsteori#Hamilton-funksjoner|vekselvirkningen]]

: <math>  H_{int}^C(\mathbf{k}) =  {q_1 q_2\over \varepsilon_0 \mathbf{k}^2 } </math>

I tillegg vil et transvers foton kunne utveksles mellom de to partiklene.<ref name = Sakurai> J.J. Sakurai, ''Advanced Quantum Mechaniics'', Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1967).</ref> Har det en [[Kvantisert strålingsteori#Polarisasjonsvektorer|polarisjonsvektor]] '''e'''<sub>''&lambda;''</sub>, vil det koble til en partikkel med styrken {{nowrap| -''q''&thinsp;'''e'''<sub>''&lambda;''</sub>&sdot;'''p'''/''m&thinsp;''}} når den har impuls '''p'''. Denne kan være impulsen enten før eller etter koblingen da {{nowrap|'''k'''&sdot;'''e'''<sub>''&lambda;''</sub> {{=}} 0&thinsp;}} i denne gaugen. Ved å ta i bruk [[Kvantisert strålingsteori#Transvers fotonpropagator|propagatoren]] for dette transverse fotonet, gir koblingen nå vekselvirkningsenergien

: <math>  H_{int}^{tr}(\mathbf{k}) = {q_1 q_2\over m_1m_2 }{1\over \varepsilon_0(\omega^2 - c^2\mathbf{k}^2)}\sum_{\lambda = 1,2} (\mathbf{e}_\lambda\cdot\mathbf{p}_1) (\mathbf{e}_\lambda\cdot\mathbf{p}_2) </math>

Frekvensen ''&omega;&thinsp;'' i nevneren  er forbundet med forandringen av energien til partikkelen som fotonet kobler til, og kan neglisjeres i forhold til ''c''&thinsp;'''k''' med den nøyaktighet som benyttes her. Summen over polarisasjonsvektorene er gitt ved

: <math> \sum_{\lambda =1,2} e_{\lambda i}e_{\lambda j} =  \delta_{ij} - {k_i k_j\over \mathbf{k}^2} </math>

slik at den transverse vekselvirkningsenergien blir

: <math>  H_{int}^{tr}(\mathbf{k}) =   -  {q_1 q_2\over \varepsilon_0 m_1m_2 c^2 \mathbf{k}^2 } \Big[\mathbf{p}_1\cdot \mathbf{p}_2  - {1\over \mathbf{k}^2} (\mathbf{p}_1\cdot \mathbf{k})(\mathbf{p}_2\cdot \mathbf{k}) \Big] </math>

Den representerer bidraget fra de magnetiske koblingene i den klassiske beskrivelsen.

===Fourier-integral===

Vekselvirkningen i det fysiske rommet følger fra en tredimensjonal [[Fourier-transformasjon]]. På den måten fremkommer det vanlige Coulomb-potensialet,

: <math>  \int\! {d^3k\over (2\pi)^3} {1\over \mathbf{k}^2} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} = {1\over 4\pi r} </math>

hvor ''r'' = |'''x'''|. Den deriverte av dette integralet med hensyn til ''x<sub>i</sub>&thinsp;'' gir

: <math>  \int\! {d^3k\over (2\pi)^3} {k_i\over \mathbf{k}^2} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} = {i x_i \over 4\pi r^3} </math>

Tilsvarende fremgangsmåte kan også brukes til å beregne integralet som inngår i den transverse vekselvirkningen,

: <math>\begin{align}  \int\! {d^3k\over (2\pi)^3} {k_ik_j \over \mathbf{k}^2}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} &=  {i\over 2} {\partial\over\partial x_i} \int\! {d^3k\over (2\pi)^3} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} {\partial\over\partial k_j} {1\over \mathbf{k}^2} \\ &=  {\partial\over\partial x_i} {x_j \over 8\pi r} =  {1 \over 8\pi r} \left( \delta_{ij} - {x_i x_j\over r^2} \right) \end{align} </math>

etter en partiell integrasjon i ''k''-rommet der overflatetermen kan neglisjeres.<ref name = BLP/> Tilsammen gir nå disse bidragene

: <math> \begin{align} H_{int}(\mathbf{r})  &=  {q_1 q_2\over 4\pi\varepsilon_0 r} - {q_1 q_2\over 4\pi\varepsilon_0 m_1 m_2 c^2 r}\Big[\delta_{ij}  - {1\over 2}\left(\delta_{ij} - {x_i x_j\over r^2} \right)  \Big]p_{1i}p_{2j}  \\ &= {q_1 q_2\over 4\pi\varepsilon_0 r} - {q_1 q_2\over 8\pi\varepsilon_0 m_1 m_2 c^2 r} \Big[\mathbf{p}_1\cdot \mathbf{p}_2 + {1\over r^2}(\mathbf{p}_1\cdot \mathbf{r})(\mathbf{p}_2\cdot \mathbf{r}) \Big] \end{align} </math>

som er den opprinnelige Darwin-vekselvirkningen. Selv om dette representerer en kvantemekanisk utledning, er [[Plancks konstant]] ''ħ&thinsp;'' falt ut av resultatet. Det følger også fra en lignende beregning hvor partiklene er beskrevet ved [[Dirac-ligning]]en. Da vil i tillegg ekstra termer avhengig av deres [[spinn]] opptre i den effektive vekselvirkningen.<ref name = BLP/>

==Referanser==
<references/>

[[Kategori:Elektromagnetisme]]
[[Kategori: Teoretisk fysikk]]