Vis kilden til Evolute

[[Fil:Ellipse evolute.svg|thumb|270px|Evoluten til en [[ellipse]] i <span style="color:red;">rødt </span> er [[superellipse|subellipsen]] i <span style="color:blue;">blått</span>.]]

'''Evoluten''' til en [[kurve]] er [[omhyllingskurve]]n til dens [[normal (geometri)#Kurvenormaler|normaler]]. Den kan også defineres som det geometriske sted for [[kurve#Krumningssenter|krumningssentrene]] til kurven. Disse definisjonene kan også benyttes til å definere evoluten til en [[flate]]. I [[optikk]]en er dette [[brennflate]]n eller ''kaustikken'' til den gitte flaten.

Nær forbundet med evoluten er [[evolvent]]ene til kurven. Den gitte kurven er evoluten til hver av dens evolventer.

Egenskapen til både evoluter og evolventer ble først undersøkt av den nederlandske videnskapsmann [[Christiaan Huygens]] på midten av 1600-tallet i forbindelse med hans arbeider med å konstruere mer nøyaktige [[klokke]]r.

==Definisjon==

En [[kurve]] i det todimensjonale planet kan angis som en funksjon '''r'''(''s'') når man benytter naturlig parametrisering der ''s'' er dens [[buelengde]]. For at et punkt  '''x''' skal være på evoluten, må det finnes et punkt '''r'''(''s'') på kurven slik at vektoren '''x''' -  '''r'''(''s'') ligger på en [[linje]] som har samme retning som [[Kurve#Normalvektor og krumning|kurvenormalen]] '''n''' i dette punktet.<ref name = TL-1>  R. Tambs Lyche, ''Matematisk Analyse I'', Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1961).</ref> Det betyr at retningen til linjen må oppfylle betingelsen

: <math>  F(\mathbf{x},s) = (\mathbf{x} - \mathbf{r}(s))\cdot\mathbf{t} = 0 </math>

der '''t''' = ''d''&thinsp;'''r'''/''ds'' er [[Kurve#Normalvektor og krumning|tangentvektoren]] til den gitte kurven med {{nowrap|'''t'''&sdot;'''n''' {{=}} 0}} og {{nowrap|'''t'''&sdot;'''t''' {{=}} 1}}. Hele evoluten er nå gitt som [[omhyllingskurve]]n til disse linjene og må oppfylle kravet

: <math> F_s(\mathbf{x},s) = {\partial\over\partial s} F(\mathbf{x},s) = 0 </math>

Ved å utføre denne [[derivasjon]]en, finner man at

: <math>\begin{align} F_s(\mathbf{x},s) &= (\mathbf{x} - \mathbf{r})\cdot{d\mathbf{t} \over ds} - {d\mathbf{r} \over ds}\cdot\mathbf{t}\\ &= \kappa(\mathbf{x} - \mathbf{r})\cdot\mathbf{n} - 1  \end{align}</math>

når man benytter [[Kurve#Frenets formler|Frenets formel]]  ''d''&thinsp;'''t'''/''ds'' = ''&kappa;''&thinsp;'''n''' der ''&kappa;'' er kurvens [[krumning]].
Betingelsen ''F<sub>s</sub>''('''x''',''s'') = 0 gir dermed resultatet

: <math>  \mathbf{x} =  \mathbf{r} + \rho\,\mathbf{n} </math>

hvor ''&rho;'' = 1/''&kappa;'' er [[Kurve#Normalvektor og krumning|krumningsradius]] til kurven i det punktet hvor normalen '''n''' har sitt fotpunkt. Evoluten faller derfor sammen med det geometriske sted for kurvens [[Kurve#Krumningssenter|krumningssenter]].

Dette kan benyttes for det tilfelle at den gitte kurven har en vilkårlig parametrisering '''r''' = (''x''(''t''&thinsp;), ''y''(''t''&thinsp;)). Koordinatene til krumningssenteret er da

: <math>\begin{align} x_c &= x - {x'^2 + y'^2\over x'y'' - x''y'}y' \\ y_c &= y + {x'^2 + y'^2\over x'y'' - x''y'}x' \end{align}</math>

som også vil være ligningen for kurvens evolute.<ref name = Wolfram-1> E. Weisstein, [https://mathworld.wolfram.com/Evolute.html ''Evolute''], Wolfram MathWorld.</ref>

===Tangenter===

Da evoluten til en kurve er gitt som omhyllingskurven til dens normaler, vil disse være [[tangent (matematikk)|tangenter]] til evoluten. Da denne er gitt ved ligningen {{nowrap|'''x''' {{=}} '''x'''(''s'')}} når man parametrisere den med den opprinnelige kurvens buelengde ''s'', er tangentene gitt ved

: <math> \mathbf{T} =  {d\mathbf{x}\over ds} =  \mathbf{x'} </math>

når man indikerer en derivasjon med hensyn til buelengden ''s'' med et merke. Nå er '''x''' = '''r''' + ''&rho;''&thinsp;'''n''' slik at

: <math> \mathbf{T} =  \mathbf{r'} +  \rho'\mathbf{n} + \rho\mathbf{n'} </math>

Her er '''r'&thinsp;''' = '''t'''&thinsp; som sammen med  [[Kurve#Frenets formler|Frenets andre formel]] '''n'&thinsp;''' =  -''&kappa;''&thinsp;'''t''' gir at {{nowrap|'''T''' {{=}} ''&rho;'&thinsp;'''''n'''}}. Det bekrefter at evolutens tangent '''T''' er langs normalen '''n''' til den gitte kurven. Men resultatet viser også at der krumningen til denne kurven har en ekstremalverdi hvor den deriverte {{nowrap|''&rho;'&thinsp;'' {{=}} 0}}, er tangenten ikke veldefinert. Evoluten har derfor i dette punktet en spiss eller annen singularitet.

==Eksempel==

[[Fil:Evolute-elli.svg|left|thumb|240px|Evoluten <span style="color:red;"> (rød) </span> til en  [[ellipse]] <span style="color:blue;"> (blå)</span>. Til høyre er inntegnet en [[Krumning#Definisjon|krumningssirkel]].]]

En [[ellipse]] med hovedakser ''a'' og ''b'' er på parameterform gitt ved {{nowrap|''x''(''t&thinsp;'') {{=}} ''a''&thinsp;cos''t''}} og {{nowrap|''y''(''t&thinsp;'') {{=}} ''b''&thinsp;sin''t''}}. Den har maksimal krumning i punktene (&pm;''a'',0) og minimal krumning i punktene (0,&pm;''b''). Dens evolute forventes derfor å ha spisser i disse fire retningene. 

Fra uttrykket for krumningssenteret  finner man koordinatene til evoluten som 

: <math>\begin{align} x_c &= x - {a^4y^2 + b^4x^2\over a^4b^2}x = {a^2 - b^2\over a^4}x^3 \\ y_c &= y + {a^4y^2 + b^4x^2\over a^2b^4}y =  {b^2 - a^2\over b^4}y^3 \end{align}</math>

når man benytter ligningen ''a''<sup>&thinsp;2</sup>''y''<sup>&thinsp;2</sup> + ''b''<sup>&thinsp;2</sup>''x''<sup>&thinsp;2</sup> = ''a''<sup>&thinsp;2</sup>''b''<sup>&thinsp;2</sup> for ellipsen. Ved å innføre den kvadrerte avstanden ''c''<sup>&thinsp;2</sup> = ''a''<sup>&thinsp;2</sup> - ''b''<sup>&thinsp;2</sup> til brennpunktet, er krumningssenteret til punktet (''x'', ''y''&thinsp;) gitt ved

: <math> x_c = {c^2\over a} \cos^3t, \;\;\; y_c = - {c^2\over b} \sin^3t </math>

[[Fil:Evolvente.jpg|thumb|220px|En sirkelevolvent som starter i punktet A. [[Omhyllingskurve]]n til dens normaler er den samme sirkelen.]]

Det ligger derfor på kurven gitt på den implisitte formen

: <math> (ax)^{2/3} + (by)^{2/3} = c^{4/3} </math>

og utgjør ellipsens evolute. Den er en  [[superellipse|''subellipse'']] med samme form som en asymmetrisk ''[[Hyposykloide#Astroide|astroide]]''.<ref name = TL-1/>. I det spesielle tilfellet at ''a'' = ''b'' slik at ''c'' = 0, vil ellipsen bli en sirkel og evoluten reduseres til et enkelt punkt (0, 0) som er sirkelens sentrum.

Evoluten til andre, kjente kurver kan beregnes på tilsvarende måte. For eksempel er evoluten til [[traktrise]]n en [[kjedelinje]].

Det er naturlig å undersøke om det finnes en kurve som har en [[sirkel]] til evolute. Denne kurven må  da være en [[evolvent]] til [[sirkel]]en {{nowrap|'''r'''(''t'') {{=}} (cos&thinsp;''t'', sin&thinsp;''t''&thinsp;)}} og kalles derfor for [[Evolvent#Sirkelevolventen|sirkelevolventen]]. Den har parameterfremstillingen

: <math>x(t) = \cos t + t \sin t </math>
: <math>y(t) = \sin t - t \cos t </math>

når evolventen starter i punktet ''t'' = 0 på sirkelen. Den er en slags [[spiral]] som snor seg om sirkelen med stadig større radius.<ref name = TL-1/>

==Brennflater==
[[Fil:Circle caustic.png|thumb|220px|Kaustikken som dannes av parallelle lysstråler som reflekteres i et sirkulært speil, er en ''nefroide''.]]
Et [[fokus (optikk)|brennpunkt]] eller ''fokus'' til en vanlig linse eller speil i [[optikk]]en er vanligvis en [[brennflate]] eller '''kaustikk''' med svært liten utstrekning. Generelt kan en brennflate defineres som [[omhyllingskurve|omhyllingsflaten]] til lysstrålene som antas å være rette linjer. Da disse står [[vinkelrett]] på [[bølge|bølgefronten]] eller [[eikonalapproksimasjon|eikonalen]], kan derfor brennflaten identifiseres med evoluten til bølgefronten. Lysstrålene er derfor dens [[Tangent (matematikk)|tangenter]].<ref name = BW> M. Born and E. Wolf, ''Principles of Optics'', Pergamon Press, Oxford (1980). ISBN 0-08-026482-4.</ref>

Når lysstrålene er symmetriske om en akse, vil bølgefronten og dermed også brennflaten være [[Flate#Matematisk beskrivelse|rotasjonssymmetrisk]] om denne aksen. Et plant snitt langs aksen vil da skjære flaten langs en kurve som er den tilsvarende '''brennkurven'''. Den bestemmer derfor hele brennflaten i dette symmetriske tilfellet. Ordet brennkurve blir også benyttet mer generelt for andre snitt av brennflaten som når den observeres på en plan flate eller skjerm.

En brennflate som oppstår ved [[refleksjon (fysikk)|refleksjon]] av lysstråler kalles en ''katakaustikk'', mens en ''diakaustikk'' kan fremkomme ved [[lysbrytning|refraksjon]]. I det første tilfellet er den lettest å beregne ved å første finne den ''sekundære kaustikken''. Den avhenger av lokaliseringen til lyskilden samt formen til det reflekterende speilet. Den resulterende katakaustikken er da evoluten til denne sekundære kaustikken.<ref name = EB>  Encyclopedia Britannica, [https://en.wikisource.org/wiki/1911_Encyclopædia_Britannica/Caustic ''Caustics''], 11th edition, Cambridge (1911).</ref> 

Et av de mest kjente eksempel er katakaustikken som kan oppstå i en kopp med te eller kaffe. Koppen fungerer da tilnærmet som et sirkulært hulspeil som skaper en lysende brennkurve i væskeoverflaten. Denne kurven er halvparten av en ''nefroide'' som er en spesiell [[episykloide]].<ref name = Gibson> C.G. Gibson, ''Elementary Geometry of Differentiable Curves'', Cambridge University Press, England (2001). ISBN 0-521-01107-8.</ref>

== Referanser ==
<references/>

== Eksterne lenker ==
* [https://www.youtube.com/watch?v=OSq_Krcpr5Q «Evolute of an Ellipse»], video fra [[youtube]]

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori: Kurver]]
[[Kategori: Analytisk geometri]]