Vis kilden til Grassmann-algebra

[[Fil:Exterior calc triple product.png|thumb|240px|Et [[parallellepiped]] definert ved vektoren '''a''', '''b''' og '''c''' har et volum gitt ved kileproduktet  '''a'''&thinsp;&and;&thinsp;'''b'''&thinsp;'''&and;&thinsp;c'''.]]

'''Grassmann-algebra''' eller '''ytre algebra''' er definert i et lineært [[vektorrom]] over en gitt [[kropp (matematikk)|tallkropp]] som inneholder et enhetselement. [[Algebra]]en er utstyrt med et antisymmetrisk produkt som betegnes med symbolet &and; og kalles et ''ytre produkt'',  alternativt ''hakeprodukt'' eller helst '''kileprodukt''' som blir mest brukt.  Det kombinerer to vektorer '''u''' og '''v''' til produktet {{nowrap|'''u'''&thinsp;&and;&thinsp;'''v''' {{=}} - '''v'''&thinsp;&and;&thinsp;'''u'''}} som kalles en 2-vektor eller ''bivektor''. Den er null hvis vektorene er like. Produktet er også [[distributiv lov|distributivt]]  slik at {{nowrap|1 = '''u''' &and;&thinsp;('''v''' + '''w''') = '''u'''&thinsp;&and;&thinsp;'''v''' + '''u'''&thinsp;&and;&thinsp;'''w'''}}.

Kileproduktet er [[assosiativ lov|assosiativt]] slik at man kan multiplisere en bivektor med en ny vektor '''w''' med et entydig resultatet

: <math> (\mathbf{u}\wedge \mathbf{v}) \wedge \mathbf{w} = \mathbf{u}\wedge (\mathbf{v} \wedge \mathbf{w}) = \mathbf{u}\wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w}</math>

som er en 3-vektor, eventuelt ''trivektor''. Ved ombytte av to vektorer skifter produktet fortegn. Hvis to av dem er like, er det derfor null.

Det er lett å tolke slike ytre produkt [[geometri]]sk. På samme måte som en bivektor {{nowrap|'''u'''&thinsp;&and;&thinsp;'''v'''}} kan identifiseres med et [[parallellogram]] med sidekanter '''u''' og '''v''', kan en trivektor identifiseres med et [[parallellepiped]]. Slik kan man fortsette multiplikasjonen opp til en grense satt av dimensjonen til det underliggende vektorrommet.

Kileproduktet av to vektorer har flere likheter med det vanlige [[kryssprodukt]]et '''u'''&thinsp;&times;&thinsp;'''v''' i [[vektoranalyse]]n. Kileproduktet er veldefinert i vektorrom av vilkårlig dimensjon, mens kryssproduktet eksisterer bare for vektorer i tre dimensjoner.

Grassmann-algebra har fått sitt navn etter [[Hermann Grassmann]] som utviklet den på midten av 1800-tallet som en del av et program for å beskrive geometriske objekter i [[rom (matematikk)|rom]] av vilkårlig høye dimensjoner. Algebraen fikk sin viktigste anvendelse på begynnelsen av 1900-tallet da [[Élie Cartan]] innførte [[differensialform|differensielle former]] for bruk i [[differensialgeometri]]en. Dette var en utvidelse av den vanlige [[tensor]]analysen og er i stor grad uavhengig av et underliggende [[koordinatsystem]].

Siden har dette matematiske apparatet fått flere anvendelser innen [[teoretisk fysikk]], spesielt i forbindelse med [[gaugetransformasjon]]er som danner grunnlaget for  [[standardmodellen]] som beskriver [[elementærpartikkel|elementærpartiklene]]. En mulig [[supersymmetri]] mellom disse gjør bruk av [[kommutativ lov|antikommuterende]] tall som danner en Grassmann-algebra og omtales som «Grassmann-tall».

==Kileproduktet==
[[Fil:Area_parallellogram_as_determinant.svg|thumb|240px|De to vektorene '''u''' = (''a,b'') og '''v''' = (''c,d'') definerer et [[parallellogram]].]]

I et todimensjonalt, [[euklidsk rom|euklidske rom]] '''R'''<sup>2</sup> med [[Basis (matematikk)|basisvektorer]]  '''e'''<sub>1</sub> og  '''e'''<sub>2</sub>, kan man betrakte [[Vektor (matematikk)|vektorene]] '''u''' = (''a,b'') og '''v''' = (''c,d''). Tilsammen definerer de et [[parallellogram]]. Da kileproduktet er definert å være antisymmetrisk, vil '''e'''<sub>1</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''e'''<sub>2</sub> = - '''e'''<sub>2</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''e'''<sub>1</sub> slik at man også har   '''e'''<sub>1</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''e'''<sub>1</sub> =  '''e'''<sub>2</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''e'''<sub>2</sub> = 0. Dette gjelder selv om basisvektorene ikke er [[ortonormal|ortonormerte]]. Dermed har man generelt at

:<math>
\begin{align}
{\mathbf u}\wedge {\mathbf v} & = (a\,{\mathbf e}_1 + b\,{\mathbf e}_2) \wedge (c\,{\mathbf e}_1 + d\,{\mathbf e}_2) \\
& = \left ( ad - bc \right ){\mathbf e}_1 \wedge {\mathbf e}_2
\end{align}
</math>
Med ortonormerte basisvektorer er ''ad - bc'' arealet av parallellogrammet som '''u''' og '''v''' danner. Dette kan uttrykkes ved [[determinant]]en  det('''u,v'''). Den basale bivektoren  '''e'''<sub>1</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''e'''<sub>2</sub> kan da identifiseres med et elementært [[kvadrat]] med areal lik 1 og en positiv omdreiningsretning gitt ved [[høyrehåndsregelen]].

I det generelle tilfellet med et [[Koordinatsystem#Skjevvinklet koordinatsystem|skjevvinklet koordinatsystem]], vil størrelsen av kileproduktet '''u'''&thinsp;&and;&thinsp;'''v''' ta samme form og fremdeles være et utrykk for arealet av det tilsvarende parallellogrammet. Men da vil produktet angi dette målt i forhold til arealet av det elementære parallellogrammet  '''e'''<sub>1</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''e'''<sub>2</sub>. På den måten kan man si at kileproduktet gjør det mulig å angi areal eller volum til geometriske objekt uavhengig av valg av basisvektorer eller koordinatsystem.<ref name="MLB">S. MacLane and G. Birkhoff, ''Algebra'', MacMillan Publishing Co., New York (1979). ISBN 0-02-978830-7.</ref>

===Multivektorer===

Når de to vektorene '''u''' og '''v''' befinner seg i det tredimensjonale rommet '''R'''<sup>3</sup>, beskriver bivektoren '''u'''&thinsp;&and;&thinsp;'''v''' fremdeles et parallellogram. Men kileproduktet har nå tre komponenter

:<math>\begin{align} \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} &=  (u_1 \mathbf{e}_1 + u_2 \mathbf{e}_2 + u_3 \mathbf{e}_3) \wedge (v_1 \mathbf{e}_1 + v_2 \mathbf{e}_2 + v_3 \mathbf{e}_3)\\ &= (u_1 v_2 - u_2 v_1)\, \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 + (u_2 v_3 - u_3 v_2)\, \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3 + (u_3 v_1 - u_1 v_3)\, \mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_1 \end{align}</math>

Hver av dem angir arealet til projeksjonen av parallellogrammet ned i koordinatflatene definert ved bivektorene '''e'''<sub>1</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''e'''<sub>2</sub>, '''e'''<sub>2</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''e'''<sub>3</sub> og '''e'''<sub>3</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''e'''<sub>1</sub>. De kan betraktes som [[Basis (matematikk)|''basisbivektorer'']] i et nytt, tredimensjonalt vektorrom.<ref name = MLB/>

Med en tredje vektor '''w''' i det opprinnelige vektorrommet '''R'''<sup>3</sup> kan man danne en trivektor '''u'''&thinsp;&and;&thinsp;'''v'''&thinsp;&and;&thinsp;'''w'''. Da dette trippelproduktet er antisymmetrisk under ethvert ombytte av to vektorer, vil det bare ha en komponent da  '''e'''<sub>1</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''e'''<sub>2</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''e'''<sub>3</sub> = - '''e'''<sub>1</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''e'''<sub>3</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''e'''<sub>2</sub> = '''e'''<sub>2</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''e'''<sub>3</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''e'''<sub>1</sub> og så videre. En direkte utregning gir dermed

: <math> \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} = (u_1 v_2 w_3 + u_2 v_3 w_1 + u_3 v_1 w_2 - u_1 v_3 w_2 - u_2 v_1 w_3 - u_3 v_2 w_1)\, \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3 </math>

hvor komponenten kan uttrykkes ved en [[determinant]] med komponentene til de tre vektorene som kolonner. Trivektoren kan derfor skrives på den kompakte formen

: <math> \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} = \det( \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})\,\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3 = \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times \mathbf{w}) \,\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3 </math>

hvor det  [[Vektorprodukt#Trippelprodukt|skalare trippelproduktet]] {{nowrap|'''u'''&thinsp;&sdot;('''v'''&thinsp;&times;&thinsp;'''w''')}} = det('''u''','''v''','''w''') angir volumet til [[parallellepiped]]et som disse tre vektorer definerer.

Både 2-vektoren '''u'''&thinsp;&and;&thinsp;'''v''' og 3-vektoren '''u'''&thinsp;&and;&thinsp;'''v'''&thinsp;&and;&thinsp;'''w''' er eksempler på ''multivektorer''. I det tredimensjonale rommet  '''R'''<sup>3</sup> kan man ikke danne mer sammensatte vektorer en 3-vektorer da kileproduktet av fire eller mer basisvektorer alltid vil være null.

I det generelle tilfellet med vektorer i den ''n''-dimensjonale rommet '''R'''<sup>''n''</sup> kan man gjennomføre de samme beregninger helt på samme måte. Bivektoren  '''u'''&thinsp;&and;&thinsp;'''v''' vil også der representere et parallellogram, men da med ''n''&thinsp;(''n'' -1)/2 komponenter på basisvektorer '''e'''<sub>''i''</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''e'''<sub>''j''</sub> = - '''e'''<sub>''j''</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''e'''<sub>''i''</sub> hvor nå indeksene ''i'' og ''j'' går fra 1 til ''n''. Likedan vil trivektoren {{nowrap|'''u'''&thinsp;&sdot;('''v'''&thinsp;&times;&thinsp;'''w''')}} kunne identifiseres med et tredimensjonalt parallellepiped, men med et volum som man kun kan beregne komponentene av under projeksjon på basistrivektorene '''e'''<sub>''i''</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''e'''<sub>''j''</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''e'''<sub>''k''</sub>. Kun det ''n''-dimensjonale parallellepipedet '''v'''<sub>1</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''v'''<sub>2</sub>&thinsp;&and;&thinsp;...&thinsp;&and;'''v'''<sub>''n''</sub>
har et entydig volum gitt ved determinanten det('''v'''<sub>1</sub>,'''v'''<sub>2</sub>,&thinsp;...&thinsp;'''v'''<sub>''n''</sub>). Mens det normale [[vektorprodukt]]et og det [[Vektorprodukt#Trippelprodukt|vektorielle trippelproduktet]] bare eksisterer i tre dimensjoner og der kan identifiseres med de tilsvarende kileproduktene, kan dette anvendes og gis en geometrisk tolkning i rom med vilkårlig høy dimensjon.<ref name="Pavan">V. Pavan, ''Exterior Algebras: Elementary Tribute to Grassmann'', ISTE Press, London (2017). ISBN 978-1-78548-237-3.</ref>

==Historie==

Sitt hovedverk ''Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik'' publiserte [[Hermann Grassmann]] i 1844. Det inneholdt flere banebrytende, nye idéer i tillegg til det som senere er blitt omtalt som Grassmann-algebra. Den var basert på egenskapene til et [[vektorrom]] som i seg selv var nytt på den tiden. I dette rommet som kunne ha et vilkårlig antall dimensjoner, kunne man ved bruk av sin algebra beskrive geometriske forhold som tidligere alltid ble gjort i det tredimensjonale, [[euklidsk geometri|euklidske rommet]]. Hans ytre produkt av vektorer viste seg å ha likheter med det produktet som [[William Rowan Hamilton|Hamilton]] hadde oppdaget omtrent på samme tidspunkt ved multiplikasjon av [[kvaternion]]er.<ref name="Petsche">H.-J.  Petsche, ''Grassmann'', Birkhäuser Verlag, Basel (2006). ISBN 3-7643-7257-5.</ref>

For å demonstrere fordelen med sitt [[vektorprodukt]] anvendte Grassmann det året etterpå i beskrivelsen av magnetiske krefter og forenklet dermed [[Ampères kraftlov]]. Dette førte til den moderne utgaven av [[Biot-Savarts lov]] for det magnetiske feltet skapt av en elektrisk strøm. Men likevel forble hans fundamentale bidrag til matematikken stort sett ignorert av både fysikere og matematikere i årene som fulgte. Grassmann fikk ikke den anerkjennelse som behøvdes for å få en stilling ved et universitet og begynte etterhvert å bevege seg inn i studiet av gamle språk som [[sanskrit]]. Her fikk han etter hvert kanskje mer berømmelse og sitt navn knyttet til [[Grassmanns lov]].<ref name = Petsche/>

Likevel hadde han ikke gitt opp sine matematiske arbeid. I 1862 publiserte han ''Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet'' som skulle gi en mer pedagogisk fremstilling til sin geometriske algebra. Men den viste seg også i stor grad å bli oversett av hans egen samtid. Først da [[Élie Cartan]] på begynnelsen av 1900-tallet begynte å studere [[Lie-gruppe]]r og deres geometriske innhold, fikk Grassmanns oppdagelser gradvis større betydning. De fikk sin naturlige plass da Cartan introduserte [[fiberbunt]]er som i dag kommer til anvendelse i [[gaugetransformasjon|gaugeteorier]] i [[standardmodellen|elementærpartikkelfysikken]].<ref name="Nakahara">M. Nakahara, ''Geometry, Topology and Physics'', IOP Publishing, Bristol UK (1990). ISBN 0-85274-095-6.</ref> I mellomtiden hadde Cartan også vist at egenskaper ved fiberbunter er tett knyttet til [[Tensor#Einstein og Grossmann|krumningstensoren]] i [[Riemanns differensialgeometri]]. Slik har også Grassmanns algebra funnet nye anvendelser i [[generell relativitet]]steori.<ref name="MTW">C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, ''Gravitation'', W. H. Freeman, San Francisco (1973). ISBN 0-7167-0344-0.</ref>

==Antisymmetriske tensorer==

Det antisymmetriske kileproduktet <math> \wedge </math> er en spesiell utgave av det direkte produktet <math> \otimes </math> eller  [[Tensor#Tensorproduktet|tensorproduktet]] som kombinerer flere vektorer til en [[tensor]]. For eksempel kan to vektorer '''u''' og '''v''' multipliseres sammen til å gi tensoren

: <math> \mathbf{T} = \mathbf{u}\otimes\mathbf{v} = u_i v_j \mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j </math>

når man bruker [[Einsteins summekonvensjon]] og summerer over par med like indekser. Den har komponentene {{nowrap|''T<sub>ij</sub>'' {{=}} ''u<sub>i</sub>&thinsp;v<sub>j</sub>&thinsp;''}} som kan splittes opp  som {{nowrap|''T<sub>ij</sub>'' {{=}} ''A<sub>ij</sub>'' + ''S<sub>ij</sub>&thinsp;''}} i en antisymmetrisk del

: <math> A_{ij} = {1\over 2}(u_iv_j - u_j v_i) </math>

og en tilsvarende symmetrisk del ''S<sub>ij</sub>'' = ''S<sub>ji</sub>''. De antisymmetriske komponentene utgjør nå en ny tensor

: <math> \begin{align} \mathbf{A} &= A_{ij} \mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j  = {1\over 2} A_{ij}(\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j - \mathbf{e}_j\otimes\mathbf{e}_i)\\ &= {1\over 2!} A_{ij} \mathbf{e}_i\wedge\mathbf{e}_j \end{align} </math>

som er en 2-vektor. Her blir kileproduktet mellom to vektorer definert som

: <math> \mathbf{e}_i\wedge\mathbf{e}_j = \mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j - \mathbf{e}_j\otimes\mathbf{e}_i </math>

Ved bruk av tensorproduktet har man derfor at bivektoren <math>  \mathbf{u}\wedge\mathbf{v} =  \mathbf{u}\otimes\mathbf{v} - \mathbf{v}\otimes\mathbf{u}\, . </math> Denne konstruksjonen gjelder i [[vektorrom]] med vilkårlig høy dimensjon ''n'' og tillater konstruksjon av generelle ''k''-vektorer med [[Tensor#Tensorer av høyere rang|rang]] ''k'' &le; ''n''. For eksempel vil en fullstendig antisymmetrisk tensor av tredje rang med komponenter ''P<sub>ijk</sub>&thinsp;'' skrives som en 3-vektor

: <math> \mathbf{P} = {1\over 3!} P_{ijk}\, \mathbf{e}_i\wedge\mathbf{e}_j \wedge\mathbf{e}_k  </math>

Hvis det underliggende vektorrommet er tredimensjonalt slik at ''n'' = 3, er der bare en slik trivektor med basis

: <math> \mathbf{e}_i\wedge\mathbf{e}_j \wedge\mathbf{e}_k = \varepsilon_{ijk}\, \mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2 \wedge\mathbf{e}_3 </math>

når [[Levi-Civita-symbol]]et i tre dimensjoner ''&epsilon;<sub>ijk</sub>&thinsp;'' benyttes. Denne spesielle basisvektoren kan eksplisitt skrives ut som den fullstendig antisymmetriske kombinasjonen av 6 = 3! direkte produkt av formen <math> \mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j \otimes\mathbf{e}_k.</math> Det ytre produktet av tre vektorer er derfor

: <math>\begin{align}  \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} &= u_i v_j w_k\,  \mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j \otimes\mathbf{e}_k = \varepsilon_{ijk} u_i v_j w_k\, \mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2 \wedge\mathbf{e}_3\\ &=  \det( \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})\,\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3 \end{align} </math>

Man kan  gå frem på samme måte i rom med høyere dimensjoner. Der vil også det tilsvarende Levi-Civita-symbolet spille en viktig rolle.<ref name = Nakahara/>

===Ytre algebra===
[[Fil:N vector positive.svg|thumb|280px|Illustrasjon av vektor '''u''', 2-vektor '''u'''&thinsp;&and;&thinsp;'''v''' og 3-vektoren '''u'''&thinsp;&and;&thinsp;'''v'''&thinsp;&and;&thinsp;'''w''', begge med positiv orientering.]]
Vektorer som '''u''' og '''v''' tilhører i det generelle tilfellet det ''n''-dimensjonale [[vektorrom]]met '''R'''<sup>''n''</sup> med basisvektorer '''e'''<sub>1</sub>,'''e'''<sub>2</sub>, {{nowrap|... ,'''e'''<sub>''n''</sub>}}. Ytre produkt som {{nowrap|'''u'''&thinsp;&and;&thinsp;'''v'''}} tilhører et nytt vektorrom for 2-vektorer hvor basis består av alle produkt {{nowrap|'''e'''<sub>''i''</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''e'''<sub>''j''</sub>}} hvor {{nowrap|''i'' &ne; ''j''}}. Betegnes dette vektorrommet med {{nowrap|&Lambda;<sup>2</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>),}} har det en dimensjon som er

: <math> \dim\Lambda^2\!(\mathbf{R}^n) = {n\choose 2} = {n!\over (n-2)!2!} = {1\over 2}n(n-1) </math>

når man benytter notasjonen for [[binomialkoeffisient]]en.<ref name = Nakahara/> Slik kan man fortsette å lage treprodukt av stadig høyere rang. Et produkt av ''k'' vektorer tilhører et vektorrom &Lambda;<sup>''k''</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>) med basisvektorer av formen '''e'''<sub>1</sub>&thinsp;&and;&thinsp;'''e'''<sub>2</sub>&thinsp;&and;...&and;&thinsp;'''e'''<sub>''k''</sub> og dimensjon {{nowrap|''n''!/(''n - k'')!''k''!}}. Men det største produktet man kan danne består av ''n'' vektorer og utgjør det endimensjonale vektorrommet &Lambda;<sup>''n''</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>).

Ved en direkte summasjon av alle disse vektorrommene fremstår vektorrommet

: <math> \Lambda (\mathbf{R}^n) = \Lambda^0\!(\mathbf{R}^n) \oplus \Lambda^1\!(\mathbf{R}^n) \oplus \Lambda^2\!(\mathbf{R}^n) \oplus \dots \oplus \Lambda^n\!(\mathbf{R}^n)  </math>

hvor alle mulige produkt kan fremstilles. Her er &Lambda;<sup>1</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>) det samme som '''R'''<sup>''n''</sup>. Den globale dimensjonen for dette store  vektorrommet  er

: <math> \dim\Lambda (\mathbf{R}^n) = 1 + {n\choose 1} + {n\choose 2} + \cdots + {n\choose n} = 2^n </math>

som følger fra [[binomialformel]]en for (1 + 1)<sup>''n''</sup>. Her er 1 dimensjonen til [[kropp (matematikk)|tallkropp]]en &Lambda;<sup>0</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>) som benyttes for komponentene til multivektorene. Det altomfattende vektorrommet  &Lambda;('''R'''<sup>''n''</sup>) danner nå en ytre algebra som er lukket under multiplikasjon. Når ''n'' = 3 er dimensjonen til algebraen 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2<sup>3</sup> hvor det andre tretallet er dimensjonen til rommet av bivektorer.<ref name = Pavan/>

Et produkt av en ''p''-vektor med en ''q''-vektor vil generelt gi en (''p + q'')-vektor. Selv om kileproduktet av to vektorer er antikommutativt,  vil ikke produktet av to slike multivektorer i allminnelighet være antikommutativt. For eksempel,  ('''u'''&thinsp;&and;&thinsp;'''v''')&and;&thinsp;'''w''' = - '''u'''&thinsp;&and;&thinsp;'''w'''&and;&thinsp;'''v'''  =  '''w'''&thinsp;&and;&thinsp;('''u'''&thinsp;&and;&thinsp;'''v''') slik at kileproduktet av en 1-vektor med en 2-vektor kommuterer. På samme måte kan man vise at for det generelle produktet mellom en ''p''-vektor '''P''' og en ''q''-vektor '''Q''' gjelder

: <math> \mathbf{P}\wedge\mathbf{Q} = (- 1)^{pq} \mathbf{Q}\wedge\mathbf{P}</math>

Er ''p + q'' større en dimensjonen ''n'' til det underliggende vektorrommet '''R'''<sup>''n''</sup>, er dette produktet lik med null.<ref name = MLB/>

==Dualitet==
[[Fil:Exterior calc cross product.svg|right|thumb|280px|I tre dimensjoner er den duale til bivektoren '''a'''&thinsp;&and;&thinsp;'''b''' en vektor '''a'''&thinsp;&times;&thinsp;'''b''' som står vinkelrett på planet som bivektoren definerer.]]

Vektorrommene &Omega;<sup>''k''</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>) og &Omega;<sup>''n-k''</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>) har samme dimensjon og derfor like mange basisvektorer selv om disse har forskjellig rang. Det er da mulig å relatere disse entydig til hverandre slik at man kan danne en {{nowrap|(''n-k'')}}-vektor fra en ''k''-vektor og omvendt. Dette kalles for ''dualitet'' og de to multivektorene sies å være ''duale'' til hverandre.<ref name = Nakahara/>

Fra kileproduktet '''B''' = '''u'''&thinsp;&and;&thinsp;'''v''' eller

: <math>\begin{align} \mathbf{B} &= u_i v_j\, \mathbf{e}_i\wedge\mathbf{e}_j = {1\over 2}(u_iv_j - u_j v_i)\, \mathbf{e}_i\wedge\mathbf{e}_j \\ &= {1\over 2!}B_{ij}\, \mathbf{e}_i\wedge\mathbf{e}_j  \end{align}</math>,

ser man at denne bivektoren har komponenter ''B<sub>ij</sub>'' = ''u<sub>i</sub>v<sub>j</sub>''  - ''u<sub>j</sub>v<sub>i</sub>''. I det spesielle tilfellet at det underliggende vektorrommet er '''R'''<sup>3</sup> med ''n'' = 3 dimensjoner og når basisvektorene '''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub> og '''e'''<sub>3</sub> er [[ortonormal|ortonormerte]], utgjør disse komponentene resultatet av det ordinære [[vektorprodukt]]et '''u'''&thinsp;&times;&thinsp;'''v'''. Denne vektoren er den duale til 2-formen '''B''' og skrives som *'''B''' og er en 1-vektor når man definerer transformasjonen ved

: <math> *(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2) = \mathbf{e}_3, \;\;\; *(\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3) = \mathbf{e}_1,  \;\;\;  *(\mathbf{e}_3\wedge\mathbf{e}_1) = \mathbf{e}_2 . </math>

På den måten blir

: <math> *\mathbf{B} = B_{12}\mathbf{e}_3 + B_{23}\mathbf{e}_1 + B_{31}\mathbf{e}_2 = (u_1v_2 - u_2v_1) \mathbf{e}_3 + (u_2v_3 - u_3v_2) \mathbf{e}_1  + (u_3v_1 - u_1v_3) \mathbf{e}_2 </math>

som er vektorproduktet av '''u''' og '''v'''. Komponentene til vektoren finnes direkte fra bruk av [[Levi-Civita-symbol]]et som

: <math> (*\mathbf{B})_i = {1\over 2!}\varepsilon_{ijk}B_{jk} </math>

I ''n'' = 3 dimensjoner har man dermed sammenhengen

: <math> *(\mathbf{u} \wedge \mathbf{v}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v}  </math>

når man benytter en [[ortonormal]] basis. I rom med akkurat denne dimensjonen er den duale av en 2-vektor en 1-vektor som står vinkelrett på planet som bivektoren definerer. Omvendt blir den duale av en 1-vektor en 2-vektor som definerer et plan vinkelrett på vektoren.

===Høyere dimensjoner===
For multivektorer mer generelt i '''R'''<sup>''n''</sup> med ortonormal basis foretas dualiseringen ved

: <math>  *(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2 \wedge \cdots \wedge \mathbf{e}_k) = \mathbf{e}_{k+1}\wedge\mathbf{e}_{k+2} \wedge \cdots \wedge \mathbf{e}_n</math>

og tilsvarende for andre, positive [[permutasjon]]er av indeksene {1, 2, 3, .. , ''n''}. Det kan leses ut fra verdiene til [[Levi-Civita-symbol]]et. Ved bruk av dette er den generelle regel for dualisering gitt ved<ref name = Pavan/>

: <math> *(\mathbf{e}_{\mu_1}\wedge\mathbf{e}_{\mu_2} \wedge \cdots \wedge \mathbf{e}_{\mu_k}) =  {1\over (n -k)!}\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k\mu_{k+1}\cdots\mu_n}\mathbf{e}_{\mu_{k+1}}\wedge\cdots\wedge \mathbf{e}_{\mu_n}</math>

I tillegg har man <math> *(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2 \wedge \cdots \wedge \mathbf{e}_n) = 1</math> og <math> *1 =  \mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2 \wedge \cdots \wedge \mathbf{e}_n </math> når man antar en positiv orientering av vektorene i produktet. Dette representerer volumet av et elementært, ''n''-dimensjonalt parallellepiped i '''R'''<sup>''n''</sup>.

En generell ''k''-vektor i dette rommet kan uttrykkes ved sine komponenter som

: <math> \mathbf{K} = {1\over k!} K_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k} \mathbf{e}_{\mu_1}\wedge\mathbf{e}_{\mu_2} \wedge \cdots \wedge \mathbf{e}_{\mu_k} </math>

Den duale av denne multivektoren blir (''n-k'')-vektoren

: <math> *\mathbf{K} = {1\over k!} K_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\! *\!(\mathbf{e}_{\mu_1}\wedge\mathbf{e}_{\mu_2} \wedge \cdots \wedge \mathbf{e}_{\mu_k}) </math>

Setter man inn uttrykket for den duale av dette hakeproduktet, kan man skrive resultatet som

: <math> *\mathbf{K} =  {1\over (n-k)!} (*\mathbf{K})_{\mu_{k+1}\cdots\mu_n} \mathbf{e}_{\mu_{k+1}}\wedge\cdots\wedge \mathbf{e}_{\mu_n}</math>

hvor komponentene til den duale multivektoren er

: <math> (*\mathbf{K})_{\mu_{k+1}\cdots\mu_n} = {1\over k!}\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k\mu_{k+1}\cdots\mu_n}K_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}  </math>

Hakeproduktet av <math> \mathbf{K} </math> med den duale <math> *\mathbf{K} </math> har bare en komponent  som er langs volumelementet <math> *1 =  \mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2 \wedge \cdots \wedge \mathbf{e}_n .</math>

Dobbelt bruk av denne stjerne-operasjonen på en ''k''-vektor '''K'''&thinsp; i ''n'' dimensjoner gir

: <math> *\!*\!\mathbf{K} = (-1)^{k(n-k)}\mathbf{K} </math>

som følger fra det foregående.<ref name = Nakahara/>

===Eksempler===
For ''n'' = 2 dimensjoner er Levi-Civita-symbolet ''&epsilon;''<sub>12</sub> = - ''&epsilon;''<sub>21</sub> = 1. Det betyr at når <math> *\mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_2</math>, så vil <math> *\mathbf{e}_2 = - \mathbf{e}_1</math>. Det betyr at den dobbelduale <math> *\!*\!\mathbf{e}_1 = - \mathbf{e}_1</math>.

Dette betyr at i ''n'' = 3 dimensjoner er <math> *\mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3 </math> og <math> *\!*\!\mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_1</math> og tilsvarende for de to andre basisvektorene. For ''n'' = 4 kommer et fortegnsskifte inn. Da er <math> *\mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3\wedge\mathbf{e}_4 </math> slik at <math> *\!*\!\mathbf{e}_1 = - \mathbf{e}_1</math> da {2,3,4,1} ikke er en positiv [[permutasjon]] av {1,2,3,4}, det vil si  {{nowrap|''&epsilon;''<sub>2341</sub> {{=}} - ''&epsilon;''<sub>1234</sub>}} = -1. Det samme fortegnsskifte skjer for de andre basisvektorene i overensstemmelse med hva den generelle formelen for dobbeldualisering sier. I det samme rommet er <math> *(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2)  = \mathbf{e}_3\wedge\mathbf{e}_4 </math> med <math> *\!*\!(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2) = *(\mathbf{e}_3\wedge\mathbf{e}_4) = \mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2</math> fordi {3,4,1,2} er en positiv permutasjon da {{nowrap|''&epsilon;''<sub>3412</sub> {{=}} ''&epsilon;''<sub>3124</sub>}} = {{nowrap|''&epsilon;''<sub>1234</sub> {{=}} 1.}}

Denne bruk av dualisering kan benyttes i det firedimensjonale [[Spesiell relativitet#Minkowski-rom|Minkowski-rommet]] ved anvendelser av [[Kovariant relativitetsteori#Kovariant bevegelsesligning|kovariant elektromagnetisme]]. Det opptrer da et ekstra fortegn ved dualisering da [[metrisk tensor|metrikk]]en i dette rommet har en eller tre negative komponenter.<ref name = MTW/>

==Former==

I et ''n''-dimensjonalt [[vektorrom]] med [[Basis (matematikk)|basisvektorer]] '''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, ... ,'''e'''<sub>''n''</sub>, kan man alltid konstruere en ''dual basis'' '''e'''<sup>1</sup>, '''e'''<sup>2</sup>, ... ,'''e'''<sup>''n''</sup>&thinsp; som gir opphav til et indre produkt.<ref name="Fischer">G. Fisher, ''Lineare Algebra'', Springer Spektrum, Wiesbaden (2008). ISBN 978-3-658-03944-8.</ref> Det er definert slik at

: <math>  \mathbf{e}^\mu\cdot \mathbf{e}_\nu = \delta^\mu_{\;\nu} </math>

hvor [[Kronecker-delta]]et på høyre side er en hvis de to indeksene er like, null hvis ikke. Dette kan for eksempel eksplisitt gjennomføres med et [[Koordinatsystem#Rettlinjete koordinater|skjevvinklet koordinatsystem]] i et [[euklidsk rom]]. En vektor kan dermed uttrykkes ved sine komponenter som {{nowrap|'''v''' {{=}} ''v<sup>&mu;</sup>''&thinsp;'''e'''<sub>''&mu;''</sub>}} eller {{nowrap|'''v''' {{=}} ''v<sub>&mu;</sub>''&thinsp;'''e'''<sup>''&mu;''</sup>.}} Det er derfor nødvendig å skille mellom dens ''kontravariante'' komponenter {{nowrap|''v<sup>&mu;</sup>'' {{=}} '''e'''<sup>''&mu;''</sup>&sdot;'''v'''}}  og dens ''kovariante'' komponenter {{nowrap|''v<sub>&mu;</sub>'' {{=}} '''e'''<sub>''&mu;''</sub>&sdot;'''v'''}} som er vanlig i [[tensor]]analysen.

Hvis vektorrommet i tillegg inneholder en metrikk gitt ved en [[metrisk tensor|metriske tensor]] definert ved [[indreprodukt]]et {{nowrap|''g<sub>&mu;&nu;</sub>'' {{=}} '''e'''<sub>''&mu;''</sub>&sdot;'''e'''<sub>''&nu;''</sub>,}} vil denne forbinde de to komponentene skrevet med indekser oppe eller nede. Det følger fra {{nowrap|''v<sub>&mu;</sub>'' {{=}} '''e'''<sub>''&mu;''</sub>&sdot;'''v'''}} =  {{nowrap|'''e'''<sub>''&mu;''</sub>&sdot;'''e'''<sub>''&nu;''</sub>&thinsp;''v<sup>&nu;</sup>'' {{=}} ''g<sub>&mu;&nu;</sub>''&thinsp;''v<sup>&nu;</sup>''.}} Likedan kan man heve en indeks slik at {{nowrap|''v<sup>&mu;</sup>'' {{=}} ''g<sup>&mu;&nu;</sup>''&thinsp;''v<sub>&nu;</sub>''}} hvor de kontravariante komponentene {{nowrap|''g<sup>&mu;&nu;</sup>''}} av metrikken kan finnes fra betingelsen ''g<sub>&mu;&nu;</sub>''{{nowrap|&thinsp;''g<sup>&nu;&lambda;</sup>'' {{=}} &delta;<sub>''&mu;''</sub><sup>''&lambda;''</sup>}}. Når ''g<sub>&mu;&nu;</sub>'' skrives som en {{nowrap|''n''&thinsp;&times;&thinsp;''n''}} [[matrise]], er derfor  ''g<sup>&mu;&nu;</sup>'' komponentene i den inverse matrisen.<ref name="McConnell">A.J. McConnell, ''Applications of Tensor Analysis'', Dover Publications, New York (1957). ISBN 0-486-60373-3.</ref>

Ved å danne kileprodukt i den duale basisen, fremkommer en ny Grassmann-algebra. For å skille den fra den opprinnelige kalles disse multivektorene for '''former''' hvorav den enkleste er 1-formen  {{nowrap|'''v''' {{=}} ''v<sub>&mu;</sub>''&thinsp;'''e'''<sup>''&mu;''</sup>}}. Mens 1-vektoren {{nowrap|'''v''' {{=}} ''v<sup>&mu; </sup>'''''e'''<sub>''&mu;''</sub>}} kan illustreres med en pil, er det naturlig å tenke seg 1-formen {{nowrap|'''v''' {{=}} ''v<sub>&mu;</sub>''&thinsp;'''e'''<sup>''&mu;''</sup>}} som parallelle flater vinkelrett på denne vektoren da '''e'''<sup>''&mu;''</sup> står vinkelrett på koordinatflaten ''x<sup>&mu;</sup>'' = konstant.<ref name = MTW/>

Fra to slike 1-former kan man konstruere en 2-form

: <math> \mathbf{u} \wedge\mathbf{v} =  u_\mu v_\nu \, \mathbf{e}^\mu\wedge\mathbf{e}^\nu = {1\over 2}(u_\mu v_\nu - u_\nu v_mu)\, \mathbf{e}^\mu\wedge\mathbf{e}^\nu </math>

hvor kileproduktet <math> \mathbf{e}^\mu\wedge\mathbf{e}^\nu </math> utgjør basisformene for slike 2-former. En generell ''p''-form

: <math> \mathbf{P} = {1\over p!} P_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_p} \mathbf{e}^{\mu_1}\wedge\mathbf{e}^{\mu_2} \wedge \cdots \wedge \mathbf{e}^{\mu_p} </math>

har komponenter som er de kovariante komponentene av en antisymmetrisk tensor. Tilsvarende former kan etableres på vilkårlige [[mangfoldighet]]er.  Basisformene er opprinnelige [[differensial (matematikk)|differensial]] som da opptrer som [[differensialform]]ene {{nowrap|'''e'''<sup>''&mu;''</sup>  {{=}} '''d'''''x<sup>&mu;</sup>''}}. Disse inngår som en viktig del av moderne [[differensialgeometri]].<ref name="Schutz">B.F. Schutz, ''Geometrical methods of mathematical physics'', Cambridge University Press, Cambridge UK (1980). ISBN 0-521-23271-6.</ref>

===Levi-Civita-tensoren og dualitet===

[[Levi-Civita-symbol]]et ''&epsilon;''<sub>''&mu;''<sub>1</sub>''&mu;''<sub>2</sub> ...''&mu;''<sub>''n''</sub></sub>&thinsp;   er ikke noen vanlig [[tensor]] da det under koordinattransformasjoner involverer [[determinant]]en {{nowrap|''g'' {{=}} det(''g<sub>&mu;&nu;</sub>'')}}. Det er derfor naturlig å definere

: <math> e_{\mu_1\mu_2\dots\mu_n} = \sqrt{g}\,\varepsilon_{\mu_1\mu_2\dots\mu_n} </math>

som transformerer som en vanlig tensor.<ref name = MTW/>. Det betyr at man alltid har  ''e''<sub>12 ... ''n''</sub> = &radic;''g''. Komponentene til den duale av ''p''-formen '''P''' kan nå finnes fra

: <math> (*\mathbf{P})_{\mu_{p+1}\cdots\mu_n} = {1\over p!}e_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_p\mu_{p+1}\cdots\mu_n}P^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_p}  </math>

der de kontravariante komponentene på vanlig måte er gitt som

: <math> P^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_p} = g^{\mu_1\nu_1}g^{\mu_2\nu_2}\cdots g^{\mu_p\nu_p}  P_{\nu_1\nu_2\cdots\nu_p} </math>

Det tilsvarer at dualisering av de basale hakeproduktene nå følger fra

: <math> *(\mathbf{e}^{\mu_1}\wedge\mathbf{e}^{\mu_2} \wedge \cdots \wedge \mathbf{e}^{\mu_p}) =  {1\over (n -p)!}g^{\mu_1\nu_1}g^{\mu_2\nu_2}\cdots g^{\mu_p\nu_p}e_{\nu_1\nu_2\cdots\nu_p\mu_{p+1}\cdots\mu_n}\mathbf{e}^{\mu_{p+1}}\wedge\cdots\wedge \mathbf{e}^{\mu_n}</math>

Bortsett fra de metriske komponentene har dette uttrykket samme form som i det ortogonale tilfellet. Med denne generaliseringen oppfyller fremdeles den duale av en dualisert form at <math> *\!*\!\mathbf{P} = (-1)^{p(n-p)}\mathbf{P}. </math> Når vektorrommet er utstyrt med en firedimensjonal [[Kovariant relativitetsteori#Minkowski-metrikken|Minkowski-metrikk]] som er diagonal med komponenter (1, -1, -1, -1), vil et ekstra minustegn opptre i denne formelen for dobbeltdualisering sammen med at ''g'' må erstattes med -''g''.<ref name = MTW/>

Denne formalismen er spesielt egnet for [[Riemanns differensialgeometri]] som gjelder for krumme flater og rom der den gir en koordinatuavhengig fremstilling og samtidig forenkler mange utregninger. Basisvektorene befinner seg da i et tangentrom som er forskjellig fra sted til sted på [[mangfoldighet]]en. Vektorrommet kan derfor bare benyttes lokalt og de tilsvarende basisformene varierer med posisjonen i rommet. De må derfor beskrives som [[differensialform|differensielle former]] som automatisk inneholder de antisymmetriske egenskapene bygget inn i tensorene som beskriver rommets krumning.<ref name = Schutz/>

==Grassmann-tall==

[[Kvantefeltteori]] omhandler to klasser av [[elementærpartikkel|elementærpartikler]], nemlig [[boson]]er og [[fermion]]er. mens den første klassen kan beskrives ved bruk av reelle eller komplekse tall, må fermioner beskrives av tall som [[kommutativ lov|atantikommuterer]] med hverandre. De skyldes at slike partikler må oppfylle [[Paulis eksklusjonsprinsipp]]. For deres matematiske beskrivelse benyttes da ''Grassmann-tall'' som danner en Grassmann-algebra.<ref name="PS">M.E. Peskin and D.V. Schroeder, ''An Introduction to Quantum Field Theory'', Addison-Wesley, Reading MA (1995). ISBN 978-0-2015-0397-5.</ref>

I denne sammenhengen ser man bort fra det opprinnelige, geometriske bildet av vektorene '''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, ... ,'''e'''<sub>''n''</sub> som basis i et ''n''-dimensjonalt rom. Mest vanlig er det da å betegne dem med greske bokstaver som ''&theta;''<sub>1</sub>, ''&theta;''<sub>2</sub>, ... ,''&theta;''<sub>''n''</sub>. De skal da antikommutere som

: <math>\theta_i \theta_j = -\theta_j \theta_i </math>

da det her ikke er vanlig å benytte symbolet for hakeproduktet. Den totale algebraen har dermed fremdeles dimensjon 2<sup>''n''</sup>. Mer generelt dropper man noen ganger indeksene og betegner dem som ''&alpha;'', ''&beta;'', ... , ''&theta;'' eller andre greske bokstaver.

Dette er nå en slags tall da de og deres produkt kan adderes og multipliseres med hverandre. Man kan da danne [[polynom]]er av dem og tenke seg [[funksjon (matematikk)|funksjoner]] av disse størrelsene som antas å ha en [[Taylor-rekke|Taylor-utvikling]]. Denne vil da ha bare to ledd hvis funksjonen inneholder bare et slikt tall,

: <math> f(\theta) = a + b\,\theta </math>

da ''&theta;''<sup>&thinsp;2</sup> = 0. Likedan vil en funksjon av to Grassmann-tall gi fire ledd i en Taylor-utvikling,

: <math> f(\theta_1,\theta_2) = a + b\,\theta_1 + bc\,\theta_2 + d\,\theta_1\theta_2 </math>

[[Eksponentialfunksjon]]en av ''&theta;'' har derfor bare to ledd, ''e<sup>&theta;</sup>'' = 1 + ''&theta;''.

===Derivasjon og integrasjon===

For slike funksjoner av Grassmann-tall kan man også benytte [[derivasjon]] og [[integral (matematikk)|integrasjon]].<ref name="Labelle">P. Labelle, ''Supersymmetry demystified'', McGraw-Hill, New York (2010). ISBN 978-0-07-163641-4.</ref> Disse defineres ut fra antagelsene

: <math> {d\over d\theta} \theta = 1, \;\;\; {d\over d\theta} 1 = 0 </math>

hvor operasjonen ''d''&thinsp;/''d&theta;'' skal virke fra venstre. For en funksjon ''f''(''&theta;,&phi;'') = ''a'' + ''b&theta;'' + ''c&phi;'' + ''d&theta;&phi;'' vil da

: <math> {df\over d\theta} = b + d\phi, \;\;\;  {df\over d\phi} = c - d\theta </math>

da ''&theta;&phi;'' = - ''&phi;&theta;&thinsp;'' og ''d''&thinsp;/''d&phi;'' virker fra venstre.

Ifølge [[analysens fundamentalteorem]] skal derivasjon og integrasjon av en funksjon være knyttet sammen med hverandre slik at den ene operasjonen opphever den andre. For funksjoner av Grassmann-tall har man en tilsvarende sammenheng uttrykt ved de to fundamentale integralene

: <math> \int d\theta\, \theta =  {d\over d\theta} \theta  = 1, \;\;\; \int d\theta\, 1 = {d\over d\theta} 1 = 0 .</math>

Dette er konsistent med at i integralet

: <math> \int d\theta f(\theta) = \int d\theta (a + b\,\theta) = b </math>

skal man kunne skifte integrasjonsvariabel ''&theta;'' &rarr;  ''&theta;'' + ''&phi;&thinsp;'' uten at det skifter verdi.<ref name = Labelle/>

===Gauss-integral===

Ved bruk av reelle og komplekse tall er [[Gauss-integral]]et ofte av betydning. Det spiller også en sentral rolle kvantefeltteori.<ref name = PS/>  Med Grassmann-tall er det analoge integralet

: <math> \int d\theta \, \exp(-{1\over 2} a\theta^2) = 0 </math>

da ''&theta;''<sup>&thinsp;2</sup> = 0. Men når man har to slike tall kan man danne  det tilsvarende integralet

: <math> I = \int d\theta \, \exp(-{1\over 2}\theta^TA\,\theta)  </math>

der ''A'' er en 2&times;2 [[matrise]] og ''&theta;<sup>T</sup>'' = (''&theta;''<sub>1</sub>,''&theta;''<sub>2</sub>). Skriver man da ut eksponenten ''&theta;<sup>T</sup>A&theta;'', ser man at bare den antisymmetriske delen av matrisen ''A'' vil bidra, det vil si at bare elementene {{nowrap|''A''<sub>12</sub> {{=}} - ''A''<sub>21</sub>}} vil bidra. Integralet reduseres dermed til

: <math> I = \int d\theta_1d\theta_2 \big( 1 - A_{12}\theta_1\theta_2\big) = A_{12} </math>

og kan skrives som

: <math>  \int d\theta \, \exp(-{1\over 2}\theta^TA\,\theta)  = (\det A)^{1/2} </math>

Dette resultatet kan lett generaliseres til at  ''A'' er en ''N''&thinsp;&times;''N'' matrise hvor ''N'' må være et like tall. Det er det grunnleggende integralet som ligger til grunn for all bruk av Grassmann-tall i kvantefeltteori for fermionfelter.<ref name = PS/>

Hvis man i tillegg antar en [[supersymmetri]] blandt elementærpartiklene der fermioner og bosoner kombineres, er den også formulert ved bruk av slike antikommuterende tall. Denne utvidete symmetrien tilsvarer at det firedimensjonale [[tidrom]]met har et tilsvarende antall ekstra koordinater som er Grassmann-tall og sammen med de opprinnelige koordinatene beskriver et ''superrom''.<ref name = Labelle/>

==Referanser==
<references/>

==Eksterne lenker==

* E.W. Weisstein, [https://mathworld.wolfram.com/ExteriorAlgebra.html ''Exterior Algebra''], Wolfram MathWorld
* J. Browne, [https://grassmannalgebra.com/index.htm ''Grassmann algebra''], intro for bok med samme navn.

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Lineær algebra]]