Vis kilden til Greens identitet

'''Greens identitet''' kommer i flere utgaver og er [[teorem]] i [[vektoranalyse]] som forbinder [[integral|volumintegral]] over et lukket område med integralet over den flaten som omslutter volumet. De ble formulert av den engelske matematiker [[George Green]] på begynnelsen av 1800-tallet. Han utledet dem direkte fra [[divergensteorem]]et.

Identiteten ble brukt av Green til å løse spesielle problem i [[elektrostatikk]]en. Metoden viste seg snart å være svært anvendelig for andre lignende både teoretiske og mer praktiske problemstillinger. I dag blir den omtalt som bruk av en [[Green-funksjon]].

==Utledning==

La ''U'' være et lukket område av det tredimensjonale rommet med overflate &part;''U'' som har [[Normal (geometri)|normalvektor]] '''n''' som peker ut av området. [[Divergensteorem]]et sier da at

: <math> \int_U\! \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A} \,dV = \int_{\partial U}\!  \mathbf{A}\cdot \mathbf{n}\, dS   </math>

[[Vektorfelt]]et '''A''' uttrykkes nå ved to glatte funksjoner ''&psi;'' og ''&phi;'' som '''A''' = ''&psi;''&thinsp;'''&nabla;'''&thinsp;''&phi;'' Ved å benytte  [[Vektoranalyse|vektoridentiteten]]

: <math>\mathbf{\nabla} \cdot (\psi \boldsymbol{\nabla} \phi ) = \psi \nabla^2 \phi + \boldsymbol{\nabla} \psi \cdot \nabla \phi , </math>

vil man dermed ha at

: <math>\int_U \left( \psi \nabla^{2} \phi + \boldsymbol{\nabla} \phi \cdot \boldsymbol{\nabla} \psi\right)\, dV  = \oint_{\partial U} (\psi \boldsymbol{\nabla} \phi) \cdot \mathbf{n}\, dS . </math>

Dette resultatet blir omtalt som Greens identitet og da hans første.<ref name = Boas> M.L. Boas, ''Mathematical Methods in the Physical Sciences'', John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.</ref>

===Greens andre identitet===

Ved å bytte om ''&psi;'' og ''&phi;'' i denne første identiteten og så ta deres differens, blir resultatet

: <math> \int_U ( \psi \nabla^2 \phi - \phi \nabla^2 \psi )\, dV =  \oint_{\partial U}  (\psi \boldsymbol{\nabla} \phi - \phi \boldsymbol{\nabla} \psi) \cdot \mathbf{n} \, dS . </math>

Dermed har man Greens andre identitet.

==Greens funksjon==

Et statisk, [[elektrisk potensial]] <math> \phi = \phi(\mathbf{x}) </math> er bestemt av [[Poissons ligning]] som er ekvivalent med [[Gauss' lov]]. Den har formen

: <math> \nabla^2 \phi(\mathbf{x})  = f(\mathbf{x}) </math>

hvor funksjonen på høyre side angir fordelingen av [[elektrisk ladning]]. For å løse denne ligningen og slik bestemme potensialet overalt i rommet, antok Green at det finnes en funksjon <math> G = G(\mathbf{x},\mathbf{x}') </math> som tilfredsstiller den [[partielle differensialligninger|partielle differensialligningen]]

: <math> \nabla^2 G(\mathbf{x},\mathbf{x}')  = \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}') </math>

Her opptrer på høyre side [[Diracs deltafunksjon]] som beskriver ladningsfordelingen til en punktladning. Ved å la funksjonen <math> G(\mathbf{x},\mathbf{x}') </math> inngå for <math> \psi </math> i den andre identiteten, gir den da direkte

: <math>\begin{align} \phi(\mathbf{x}) &= \int_U\!  G(\mathbf{x},\mathbf{x}')f(\mathbf{x}') dV'  \\ &+ \oint_{\partial U}\! [\phi(\mathbf{x}')(\mathbf{n}'\cdot\boldsymbol{\nabla}')G(\mathbf{x},\mathbf{x}') - G(\mathbf{x},\mathbf{x}') (\mathbf{n}'\cdot\boldsymbol{\nabla}')\phi(\mathbf{x}')]  dS' \end{align} </math>

Dette er det generelle resultatet for anvendelser av det som senere ble kalt [[Greens funksjon]].<ref name = Jackson> J. D. Jackson, ''Classical Electrodynamics'', John Wiley & Sons, New York (1998). ISBN 0-4713-0932-X.</ref>

Potensialet har i det første leddet et direkte bidrag fra den gitte ladningsfordelingen, men får gjennom det andre leddet et indirekte bidrag fra flaten som omslutter ladningene. Det er avhengig av grensebetingelsene som må gi verdiene til potensialet og dets deriverte på denne flaten. Er denne  for eksempel metallisk og [[jording|jordet]], ville det da være konstant.

==Referanser==
<references/>

[[Kategori: Matematisk fysikk]]
[[Kategori:Teorem i differensialregning]]