Vis kilden til Jebsen-Birkhoffs teorem

[[Fil: Jebsen-Arkiv_1921.jpg|thumb|200px|Forsiden til publikasjonen i 1921 med Jebsens resultat.]]
'''Jebsen-Birkhoffs teorem''' er en konsekvens av [[Einstein]]s [[generell relativitet|generelle relativitetsteori]] som sier at [[metrikk]]en utenfor en sfærisk symmetrisk massefordeling som varierer med tiden, er den samme som når den er konstant. Da er den gitt ved [[Schwarzschilds løsning]]. Dette resultatet ble først funnet av den norske fysiker [[Jørg Tofte Jebsen]] i 1920 og av den amerikanske matematiker [[George David Birkhoff]] et par år senere. Teoremet betyr blant annet at en pulserende, kuleformet [[stjerne]] ikke vil emittere [[gravitasjonsbølge]]r.

==Fysisk betydning==

Fra [[Newtons gravitasjonslov]] følger at [[tyngdekraft]]en utenfor en sfærisk symmetrisk massefordeling er den samme som om hele massen var samlet i sentrum. Dette viktige resultatet går under navnet av [[Newtons skallteorem]]. Det betyr også at tyngdekraften innenfor et sfærisk symmetrisk skall må være null.<ref name = MTW > C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, ''Gravitation'', W. H. Freeman, San Francisco (1973). ISBN 0-7167-0344-0.</ref>

Da denne tyngdeloven og [[Coulombs lov]] i [[elektrostatikk]]en har samme form, vil man her finne lignende konsekvenser. For eksempel vil det [[elektrisk felt|elektriske feltet]] utenfor en sfærisk symmetrisk ladningsfordeling være den samme som om hele ladningen var konsentrert i sentrum. Likedan vil feltet innenfor et ladet skall være null.

Hvis denne ladningsfordelingen varierer med tiden, vil det ikke bli sendt ut noen [[elektromagnetisk stråling]], noe som alltid vil skje i det generelle tilfellet hvor der ikke er noen sfærisk symmetri. Det skyldes at en kulesymmetrisk fordeling ikke har noen [[dreieimpuls]], mens strålingen alltid vil ha det. [[Kvantemekanikk|Kvantemekanisk]] tilsvarer det at hvert [[foton]] i strålingen har spinn ''S'' = 1.

Dette er også forklaringen av Jebsen-Birkhoffs teorem. Gravitasjonsstråling består av [[graviton]]er som har spinn ''S'' = 2, mens den sfæriske massefordelingen har null spinn, selv om den varierer med tiden. Metrikken utenfor denne vil derfor være den samme som i det statiske tilfellet, det vil si være gitt ved  [[Schwarzschilds løsning|Schwarzschild-metrikken]].<ref name = Robertson> H.P. Robertson and T.W. Noolan, ''Relativity and Cosmology'', W.B. Saunders Company, Philadelphia (1968). </ref>

På samme måte er geometrien på innsiden av et kulesymmetrisk, massivt skall gitt ved [[Kovariant relativitetsteori|Minkowski-metrikken]] såfremt det ligger utenfor [[Schwarzschild-radius]] for dette systemet.

==Jebsens bevis==

Det var under sitt opphold hos professor [[Carl Wilhelm Oseen]] ved [[Universitetet i Uppsala]] i 1920 at Jepsen kom frem til sitt teorem som ble publisert året etter.<ref name = arkiv> J.T. Jebsen, ''Uber die allgemeinen kugelsymmetrischen Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen im Vakuum'', Arkiv for matematik, astronomi och fysikk, '''15''' (18), 1 - 9 (1921). </ref> På den tiden var den eksakte løsningen av [[generell relativitet|Einsteins gravitasjonsligning]] utenfor en kuleformet masse funnet av [[Karl Schwarzschild]] i 1916 av største betydning. Nesten samtidig ble en forbedret utgave av denne løsningen funnet av den nederlandske doktorgradsstudenten Johannes Droste.<ref name = Droste> J. Droste, [http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00012325.pdf ''The field of a single centre in Einstein's theory of gravitation, and the motion of a particle in that field''], Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Science '''19''' (1), 197–215 (1917).</ref> Det var dennes valg av koordinater som Jebsen gjorde bruk av da han ville undersøke hvordan løsningen så ut når man ikke lenger forlangte at den skulle være statisk.

[[George David Birkhoff|Birkhoffs]] bevis av teoremet ble publisert i 1923 i en lærebok som skulle få stor utbredelse.<ref name = Birkhoff> G.D. Birkhoff, ''Relativity and Modern Physics'', Harvard University Press, Cambridge (1923).</ref> Det var nok grunnen til at hans navn  alene i lang tid er blitt knyttet til teoremet. Men da hans bevis var mer abstrakt og i større grad basert på symmetriene i problemet, er det Jebsens mer direkte utledning som senere er den mest vanlig.<ref name = MTW/>

I beviset er det enklest å bruke koordinater slik at [[lyshastigheten]] ''c'' = 1. Disse består da av en tidskoordinat ''t'', en radiell koordinat ''r'' og to [[kulekoordinater|sfæriske koordinater]] ''&theta;'' og ''&phi;''.  [[Metrikk]]en kan da uttrykkes ved det kvadratiske linjeelementet

: <math> ds^2 = A(r,t) dt^2 - B(r,t)dr^2 - r^2 (d\theta^2 + \sin^2\!\theta \,d\phi^2) </math>
 
hvor de to funksjonene ''A'' og ''B'' må finnes fra løsning av Einsteins ligninger. Ved å se bort fra den [[kosmologisk konstant|kosmologiske konstanten]] som her ikke er viktig, kan disse ligningene utenfor den kulesymmetriske massefordelingen skrives som {{nowrap|''E<sub>&mu;&nu;</sub>'' {{=}} 0}}. Alle komponentene til Einsteins [[tensor|krumningstensor]] skal være null. Disse kan beregnes direkte fra metrikken,  og man finner<ref name = Robertson/>

: <math> E_{tt} = {A\over B r^2} \Big({r\over B}{\partial B\over\partial r} + B - 1 \Big) = 0 </math>
: <math> E_{tr} = E_{rt}  =  {1\over Br} {\partial B\over\partial t} = 0 </math>
: <math> E_{rr} =  {1\over r^2}  \Big({r\over A}{\partial A\over\partial r}  - B  + 1  \Big)   = 0 </math>

Den midterste ligningen sier med en gang at funksjonen ''B'' kun er en funksjon av den radielle koordinaten ''r''. Denne funksjonen kan så finnes fra den første ligningen som da blir den samme som for den statiske [[Schwarzschilds løsning|Schwarzschild-løsningen]], det vil si

: <math> B(r) = {1\over 1 - 2GM/r} </math>

Her er ''G'' [[gravitasjonskonstanten]] og ''M'' er den totale massen til den sfæriske massefordelingen. Brukes nå dette resultatet i den siste ligningen, finner man at den andre funksjonen må oppfylle ''AB'' = ''f''&thinsp;(''t'')&thinsp; som er en vilkårlig funksjon av tiden. Men da ''A'' opptrer foran ''dt''<sup>&thinsp;2</sup> i linjeelementet, kan den settes lik en ved å innføre en ny tidskoordinat. Derfor er ''A'' = 1/''B'' slik at metrikken i dette generelle tilfellet er gitt ved den samme, statiske  Schwarzschild-metrikken.

==Referanser==
<references />

[[Kategori: Fysikk]]
[[Kategori: Relativitetsteori]]