Vis kilden til Kurve

[[Fil:helix.svg|thumb|right|En skrulinje eller [[heliks]] er en typisk kurve.]]
En '''kurve''' i [[matematikk]] kan beskrives som et endimensjonalt geometrisk objekt, en kontinuerlig samling av [[punkt]] i det [[reelt tall|reelle]] rommet '''R'''<sup>n</sup> eller i det [[komplekst tall|komplekse]] 
rommet '''C'''<sup>n</sup>.  Kurven kan betraktes som banen til et punkt som beveger seg.  Kurven har lengde, men ikke bredde eller dybde.  Krav til en generell formell definisjon av en kurve har vært omdiskutert
gjennom historien.

Kurver har mange anvendelsesområder, både i matematikk og i andre fagområder.  Studiet av kurver inngår i mange deler av matematikk, slik som i [[matematisk analyse]], i [[geometri]] og i [[topologi]].
En lang rekke kurver har egne navn, og figuren til venstre viser en skrulinje, også kalt en [[heliks]].

En kurve i det tre-dimensjonale rommet kan lokalt karakteriseres ved en tangentretning, en krumning og en torsjon. Tangenten er en [[vektor (matematikk)|vektor]] som peker i retningen langs kurven.  
Krumningen indikerer hvor fort tangentretningen endrer seg.  Torsjonen er et mål på om kurven er plan eller om den vrir seg ut av et [[plan (matematikk)|plan]].  
Sammenhengen mellom tangent, krumning og torsjon er gitt ved Frenets formler, også kalt Frenet-Serrets formler.

Begrepet [[linje]] blir av og til brukt synonymt med en kurve (krum linje), av og til synonymt med en rett linje.  En rett linje er et spesialtilfelle av en kurve.  
Ordet «kurve» stammer fra det latinske ''curvus'', med betydning «bøyd» eller «krummet».<ref name=ETYM/>

For reelle [[Funksjon (matematikk)|funksjoner]] blir ordet kurve også brukt synonymt med [[funksjonsgraf|grafen]] til funksjonen.  Denne bruken er også reflektert i sammensetninger som «[[glemselskurve]]» og «feberkurve».

== Formell definisjon ==

Formelle definisjoner av en kurve tar utgangspunkt i en funksjon <math>F</math> fra et reelt [[intervall (matematikk)|intervall]] <math>I</math> inn i et rom <math>V</math>:

:<math> F: I \rightarrow V </math>

Hvilke krav som må stilles til funksjonen og rommet har vært omdiskutert i matematikkens historie varierer og vil variere i ulike presentasjoner.<ref name=TOP/>
Også hvilket element som refereres til som kurve har variert:  I noen definisjoner sies kurven å være [[verdimengde]]n til <math>F</math><ref name=AAS2/>, mens
andre refererer til funksjonen <math>F</math> som kurven<ref name=RUDIN/>.  I det siste tilfelle kan ulike kurver ha samme punktmengde.  I [[topologi]] kan det også
forekomme at intervallet <math>I</math> blir omtalt som en kurve.<ref name=TOP/>

For grunnleggende studier av kurver vil <math>V</math> være det todimensjonale planet '''R'''<sup>2</sup> eller det tredimensjonale rommet '''R'''<sup>3</sup>, og et 
vanlig krav er da at <math>F</math> er en kontinuerlig funksjon.<ref name=AAS2/><ref name=RUDIN/>  For å kunne bruke teori fra [[differensialgeometri]] er det
også vanlig å anta at funksjonen <math>F</math> er stykkevis kontinuerlig deriverbar.

Et strengt krav om kontinuitet vil ekskludere fra definisjonen kurver som består av adskilte deler, slik som for eksempel [[hyperbel]]en.  I vanlig språkbruk
refererer en også til en endelig union av adskilte kurver som en kurve.<ref name=AAS2/>  En vilkårlig kontinuerlig del av en kurve kan kalles en ''bue''.<ref name=COLLINS1/>

Også for mer generelle definisjoner, der rommet <math>V</math> er en topologi, var det lenge ansett som tilstrekkelig at funksjonen <math>F</math> er kontinuerlig, for å definere
det vi intuituvt forstår med en kurve.<ref name=TOP/>  I 1890 ga den italienske matematikeren [[Giuseppe Peano]] imidlertid et eksempel på en kontinuerlig [[surjektiv funksjon|surjektiv]] 
funksjon <math>F: [0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]</math>, det vil si en funksjon der verdimengden fyller et helt todimensjonalt område.  For å unngå slike patologiske kurver
kan en innføre ulike tilleggsvilkår på funksjonen <math>F</math> og rommet <math>V</math>.

== Definisjon av kurver i det euklidske rommet ==

En kurve i det [[euklidsk rom|euklidske rommet]] '''R'''<sup>3</sup> kan kalles en ''romkurve'', mens en ''plan kurve'' ligger fullt og helt i et plan.<ref name=STRUIK1/>  
Alle kurver i '''R'''<sup>2</sup> er plane kurver, inkludert kurven definert ved grafen til en reell funksjon av en variabel.

=== Parameterfremstilling ===
En romkurve kan beskrives ved hjelp av en [[parameterfremstilling]], også kalt parametrisering, på forma<ref name=TL-2/>

:<math>\mathbf{r}(t) = x(t)\mathbf{i}+ y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k} \qquad  t \in T . </math>

Parameterområdet ''T'' er et [[intervall (matematikk)|intervall]] i '''R'''.  En alternativ skriveform er

:<math>x = x(t) \qquad y = y(t) \qquad z = z(t) \qquad t \in T . </math>

Dersom en av disse funksjonene er lik null, så er kurven plan.<ref name=TL-1/>

Et eksempel på en parameterfremstilling er gitt ved definisjonen for en heliks med akse langs <math>z</math>-aksen:

:<math>x = a \cos t \qquad  y = a \sin t \qquad z = bt . </math>

Her er <math>a</math> og <math>b</math> størrelser som styrer forma på heliksen.

Det vil alltid eksistere mange valg av parametriseringer for en gitt kurve. Parameteren <math>t</math> kan for eksempel representere tiden som går når et punkt beveger seg langs kurven eller beskrive avstanden langs 
kurven fra et gitt startpunkt.

Punkt der deriverte av <math>x</math>, <math>y</math> og <math>z</math> med hensyn på <math>t</math> samtidig er lik null kalles ''singulære punkt''.  Alle andre punkt er ''regulære punkt''.

=== Implisitt definisjon===

En kurve i planet i kan defineres eksplisitt som grafen til en funksjon <math>y = f(x)</math> eller implisitt ved en enkelt ligning av typen

:<math>F(x,y) = 0 \ . </math>

En romkurve kan defineres implisitt ved hjelp av to ligninger

:<math>F_1(x,y,z) = 0 \qquad F_2(x,y,z) = 0. </math>

Hver av ligningene definerer en flate i rommet, og kurven er dermed definert som samlingen av punkt som ligger på begge flatene, det vil si langs skjæringslinjen mellom flatene.  
Da to flater kan ha flere adskilte skjæringslinjer, trenger ikke en implisitt definisjon være entydig.

=== Naturlige ligninger og fundamentalteoremet for romkurver ===

En kurvedefinisjon basert på en parameterframstilling eller en implisitt formulering vil generelt være avhengig av det valgte koordinatsystemet.  Alternativt kan en kurve defineres på en måte som er
uavhengig av koordinatsystemet, ved å spesifisere krumning og torsjon til kurven.  Se avsnitt under for definisjon av disse to størrelsene.  Ved å spesifisere krumning og torsjon som funksjon av buelengden
vil en kurve være entydig bestemt, bort sett fra startpunktet og orientering i rommet.  Dette er formulert i det såkalte fundamentalteoremet for romkurver:<ref name=STRUIK3/>

Gitt to vilkårlige kontinuerlige funksjoner  <math>\kappa = \kappa(s)</math> og <math>\tau = \tau(s)</math>,  der <math>s</math> er positiv.  Da eksisterer det én og kun én romkurve, 
entydig bestemt bortsett fra posisjon og orientering i rommet, som har buelengden <math>s</math>, krumningen <math>\kappa</math> og torsjon lik <math>\tau</math>   
En plan kurve har null torsjon og er derfor entydig gitt ved funksjonen <math>\kappa(s)</math>.

Ligningene  <math>\kappa = \kappa(s)</math> og <math>\tau = \tau(s)</math> kalles de ''naturlige ligningene'' til romkurven.

En heliks er definert som en kurve med konstant positiv krumning og torsjon.  En [[klotoide]] er en plan kurve der krumningen endrer seg lineært med buelengden.

=== Geometrisk definisjon ===

En kurve kan defineres geometrisk, for eksempel kan en ellipse defineres som det [[geometrisk sted|geometriske sted]] for et punkt der avstanden til to definerte punkt har en gitt konstant sum.  
En romkurve kan også defineres som en skjæringslinje mellom to flater.

== Kurvetyper og egenskaper ==
[[Fil:Piecewise_smooth_curve.jpg|thumb|right|En stykkevis glatt curve]]
En kurve er ''lukket'' dersom startpunktet og endepunktet er det samme.  En sirkel er eksempel på en lukket kurve.

En plan, lukket kurve som ikke krysser seg selv kalles en ''Jordan-kurve''.  En slik kurve deler et plan i en innside og en utside, et resultat som er formulert i ''Jordans kurveteorem''.

En ''glatt kurve'' er en kurve der parameterfunksjonene <math>x(t)</math>, <math>y(t)</math>  og <math>z(t)</math> alle har kontinuerlige deriverte. En glatt kurve har ingen spisse hjørner.  
Kurven er ''stykkevis glatt'' dersom den er glatt overalt, bortsett fra i et endelig antall punkt, der den kan ha knekkpunkt.  En ''gren'' av kurven er en del mellom to påfølgende knekkpunkt.  
Det engelske ordet «cusp» («spydspiss») blir brukt for å betegne et knekkpunkt der tangentretningene til kurven på hver side av knekkpunktet har sammenfallende retning i grenseverdien når en nærmer seg knekkpunktet.

=== Kjeglesnitt ===

[[Kjeglesnitt]] er en familie av plane kurver som framkommer som skjæringslinjer når et plan skjærer en [[kjegle]]flate.  Familien av kjeglesnitt omfatter 
[[sirkel]]en, [[ellipse]]en, [[parabel]]en og [[hyperbel]]en.  Typen kurve avhenger av hvordan planet som snitter forholder seg til kjegleflaten.

=== Algebraiske kurver ===

En [[algebraisk kurve]] er en kurve definert implisitt som skjæringskurven mellom to algebraiske [[flate]]r. Når en slik flate har grad <math>n</math>, er definert ved en ligning <math>p(x,y,z) = 0</math>, 
der <math>p</math> er et [[polynom]] av grad <math>n</math>.  En kurve som ikke er algebraisk, er en ''transcendental kurve''.

Dersom de to algebraiske flatene har grad henholdsvis ''m'' og ''n'', så defineres graden til den algebraiske kurven å være lik produktet (''mn'').

Mer formelt kan en algebraisk kurve defineres som en endimensjonal [[varietet (matematikk)|varietet]].{{tr}}

Den enkleste formen for en algebraisk kurve er en rett linje.  Kjeglesnittene er algebraiske kurver av grad 2.  Noen [[Lissajous-figur|lissajouskurver]] er av grad 3.

=== Rasjonale kurver ===

En ''rasjonal kurve'' eller en ''unikursal kurve'' er en plan algebraisk kurve som kan defineres ved en parameterfremstilling <math>x = \phi(t), y = \psi(t)</math> der de to funksjonene er [[rasjonal funksjon|rasjonale]], 
det vil si brøker av polynom i parameteren <math>t</math>.<ref name=TL-1/>

Matematisk tilsvarer det at de er kurver med [[genus (matematikk)|genus]] ''g'' = 0.{{Klargjør}}

Alle kjeglesnitt er unikursale.  En sirkel med sentrum i [[origo]] og radius 1 kan for eksempel parametriseres ved hjelp av ligningene

: <math> x(t) = {2t\over 1 + t^2}, \qquad y(t) = {1 - t^2\over 1 + t^2} </math>

Hyperbelen <math>x^2 - y^2 = 1</math> kan parametriseres ved

: <math> x(t) = {1 + t^2\over 2t}, \qquad y(t) = {1 - t^2\over 2t} </math>

=== Geodetiske kurver ===

En [[geodetisk kurve]] er en kurve som følger den korteste vei mellom to punkt på en kurvet flate.<ref name=STRUIK4/> På en [[kule (geometri)|kuleflate]] vil en geodetisk kurve ligge på en [[storsirkel]].

Kurver på en kuleflate kalles generelt ''sfæriske kurver''.  Geodetiske kurver er også definert for andre flater enn kuleflater.

== Buelengde og tangentvektor ==
[[Fil:Tecna_kruznice.svg‎|thumb|right|Sirkel med tangent]]
[[Buelengde]]n til en kurve er avstanden langs kurven fra et gitt startpunkt.  Dersom kurven er gitt ved en parametrisering <math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)</math> og startpunktet er  <math>\mathbf{r}(a)</math>, 
så er buelengden definert ved<ref name=TL-2/>

:<math>s(t) = \int \limits_a^t  \sqrt { \mathbf{r}' \cdot  \mathbf{r}' } \; dt  = \int \limits_a^t \sqrt{ x'^2 + y'^2 +  z'^2} \; dt \ . </math>

Her betyr merket den deriverte med hensyn på parameteren <math>t</math>, det vil si <math>\mathbf{r}' = d\mathbf{r} / dt</math>.

Det er vanlig å bruke buelengden som parameter i beskrivelsen av en kurve, i det som kalles en ''naturlig parametrisering''. Mange matematiske formler får da en enklere form.

En [[tangent (matematikk)|tangent]] er en rett linje som berører kurven i et punkt og som har samme gradient som kurven i punktet.  En tangentvektor er definert ved uttrykket

:<math>\mathbf{t} = \frac{d\mathbf{r}}{ds} \ , </math>
 
der parameteren <math>s</math> er buelengden. Fra definisjonen av buelengden følger det at <math>ds^2 = d\mathbf{r} \cdot d\mathbf{r}</math>, og tangentvektoren <math>\mathbf{t}</math> er derfor en enhetsvektor:

:<math>
\mathbf{t} \cdot \mathbf{t} = 1 \ .
</math>

== Normalvektor og krumning ==
Deriverer en begge sidene i ligningen <math>\mathbf{t} \cdot \mathbf{t} = 1</math> resulterer dette i en ny ligning

:<math>
\mathbf{t} \cdot {d\mathbf{t} \over ds} = 0 \ .
</math>

Den deriverte av tangent med hensyn på buelengden er derfor normal eller [[vinkelrett]] til tangenten og definerer ''krumningsvektoren'' 

:<math>\mathbf{k}= \frac{d\mathbf{t}}{ds} = \kappa \mathbf{n} \ , </math>

Enhetsvektoren <math>\mathbf{n}</math> kalles ''normalvektoren'' eller ''prinsipalnormalen'', og <math>\kappa</math> er [[krumning]]en til kurven. 
Fortegnet til normalen og krumningen er ikke definert ut fra ligningen, og det er mulig å bruke en definisjon der krumningen alltid er positiv. Det er også mulig å knytte et fortegn til krumningen, 
for å skille mellom konvekse og konkave deler, for eksempel relativt til en koordinatakse.<ref name=STRUIK2/>

Krumningen sier noe om hvor raskt tangentvektoren skifter retning langs kurven.  Det følger fra <math>\kappa = \mathbf{n} \cdot (d \mathbf{t} / ds)</math> når man benytter definisjonen av den deriverte som grensen

: <math> \kappa = \lim_{\Delta s\to 0} \mathbf{n}\cdot {\mathbf{t}(s + \Delta s) - \mathbf{t}(s)\over\Delta s} = \lim_{\Delta s\to 0} |\mathbf{t}| {\Delta\phi\over\Delta s} = {d\phi\over ds} </math>

da tangentvektoren <math>\mathbf{t}</math> er en enhetsvektor, og <math>\Delta \phi</math> er den lille vinkelen den dreier seg i planet normalt til <math>\mathbf{n}</math> over et lite veistykke 
<math>\Delta s</math>.

[[Fil:FrenetTN.svg|thumb|right|400px|Tangentvektor '''T''' til en plan kurve har en litt annen retning i et nærliggende punkt. Forskjellen kan uttrykkes ved normalvektoren '''N''' og kurvens krumning.]]

Absoluttverdien til krumningen er gitt ved lengden til krumningsvektoren, <math> |\kappa| = |\mathbf{k}| </math>. Den inverse verdien  kalles ''krumningsradien'',

:<math> \rho = \frac{1}{|\kappa|}  </math>.

For en sirkel er denne lik sirkelradien.  En rett linje har krumningsradius lik uendelig.

Prinsipalnormalen er en enhetsvektor, slik at <math>\mathbf{n} \cdot \mathbf{n} = 1</math>. Ved derivasjon av dette uttrykket finner man at tangentvektoren må oppfylle

:<math>
\mathbf{n} \cdot {d\mathbf{n} \over ds} = 0 \ .
</math>

Den deriverte av normalen står altså vinkelrett på normalen.

===Krumning av en plan kurve===

For en plan kurve med en vilkårlig parameterfremstilling

:<math>\mathbf{r}(x) = x(t) \mathbf{i}+ y(t)\mathbf{j}  </math>

er tangenten definert ved

:<math> {d \mathbf{r} \over dt} = x' \mathbf{i} + y' \mathbf{j}</math>

Dens lengde er gitt ved den deriverte av [[buelengde]]n til kurven,

:<math> s' = {ds\over dt} = \sqrt{x'^2 + y'^2}</math>

Enhetstangenten finnes nå ved normalisering,

:<math> \mathbf{t} = {d\mathbf{r}\over ds} = {d\mathbf{r}\over dt}{dt\over ds}   = {x' \over s'}  \mathbf{i} + {y' \over s'} \mathbf{j}</math>

Prinsipalnormalen står normalt på denne og blir

:<math>\mathbf{n} = -{y' \over s'}  \mathbf{i} + {x' \over s'} \mathbf{j}</math>

Krumningen til kurven kan derfor beregnes fra

: <math> \kappa =   \mathbf{n}\cdot {d\mathbf{t}\over ds} = {1\over s'} \mathbf{n}\cdot {d\mathbf{t}\over dt} = {x' y'' - x'' y'\over (x'^2 + y'^2)^{3/2}} </math>

I det spesielle tilfellet at kurven er gitt som <math>y = f(x)</math>, forenkles uttrykket til<ref name=TL-1/>

: <math> \kappa = {f''\over  (1 + f'^2)^{3/2}} </math>

===Krumningssenter===
[[Fil:Osculating circle.svg|thumb|300px|Krumningssirkelen tangerer  kurven ''C'' i punktet ''P''.]]
I et punkt '''r''' på kurven hvor krumningen ''&kappa;'' er forskjellig fra null, er den konkav i en retning. Tenker man seg en sirkel på denne siden som tangerer kurven og har samme krumning som kurven, kalles  denne sirkelen for kurvens ''krumningssirkel'' og dens senter for kurvens ''krumningssenter''. Den har derfor radius ''&rho;'' = 1/''&kappa;''. Betegnes dette med vektoren '''c''', er det derfor gitt ved ligningen

: <math> \mathbf{c} = \mathbf{r} + \rho\mathbf{n} </math>

hvor '''n''' er kurvens normal.<ref name=TL-1/>

Fra uttrykket for krumningen til en plan kurve '''r''' = (''x''(''t''&thinsp;), ''y''(''t''&thinsp;)) er derfor koordinatene til dens krumningssenter gitt som

: <math>\begin{align} x_c &= x - {x'^2 + y'^2\over x'y'' - x''y'}y' \\ y_c &= y + {x'^2 + y'^2\over x'y'' - x''y'}x' \end{align}</math>

Når parameteren ''t'' varierer, vil krumningssenteret til kurven vanligvis flytte seg. Det beskriver en ny kurve som kalles dens [[evolute]]. Man kan vise at den er [[omhyllingskurve]]n til normalene til den gitte kurven. Bare for en [[sirkel]] ligger krumningssenteret i ro, og evoluten er et punkt.<ref name=TL-2/>

===Eksempel===
[[Fil:Evolute-parab-1-e.svg|thumb|300px|Et punkt ''P'' på parabelen i <span style="color:blue;">blått</span> har krumningssenter i ''C'' som ligger på parabelens evolute i <span style="color:red;">rødt </span>.]]

En [[parabel]] med akse langs ''y''-aksen er gitt ved ligningen ''x''<sup>&thinsp;2</sup> = 2''ay'', der konstanten ''a'' angir formen. Man kan da velge koordinaten ''x'' som den fri parameter for kurven. Da er ''x'&thinsp;'' = 1 og ''x"&thinsp;'' = 0. Fra ligningen til parabelen vil da på samme måte ''y'&thinsp;'' = ''x''/''a'' og ''y"&thinsp;'' = 1/''a''. Koordinatene til krumningssenteret blir nå 

: <math>\begin{align} x_c &= x - {1 + y'^2\over y''} y' = x - {1\over a}\big(a^2 + x^2\big) {x\over a} = - {x^3\over a^2} \\ 
y_c &= y + {1 + y'^2\over y''} x' = y + {1\over a}\big(a^2 + x^2\big) = a + {3 \over 2a} x^2  \end{align}</math>

Krumningssenteret ligger dermed på kurven

: <math>  27 ax_c^2 =  8(y_c - a)^3 </math>,

som er parabelens evolute. Evoluten har en spiss på ''y''-aksen og kalles av enkelte forfattere for en ''semikubisk parabel''.<ref name = Lawrence> J.D. Lawrence, [https://archive.org/details/catalogspecialpl00lawr ''A catalog of special plane curves''], Dover Publications, New York (1972). ISBN 0-486-60288-5.</ref>

== Torsjon og binormalvektor ==

Fra normalvektoren og tangenten kan en definere en tredje vektor kalt ''binormalvektoren'' til kurven,

:<math>\mathbf{b} = \mathbf{t} \times \mathbf{n} . </math>

De tre vektorene <math>\mathbf{t}</math>, <math>\mathbf{n}</math> og <math>\mathbf{b}</math> er alle enhetsvektorer og står normalt på hverandre.  Sammen danner vektorene et bevegelig aksekors langs kurven og blir referert til som et ''trihedron''.  
For å unngå forveksling med binormalen, kan en også bruke navnet ''hovednormal'' om normalen <math>n</math>.

Planet gjennom tangentvektoren og normalvektoren kalles ''oskulasjonsplanet'' eller ''smygplanet''.  Det kan betraktes som et plan gjennom tre påfølgende punkt på kurven.

[[Fil:frenet.png|thumb|300px|right|Kurve med tangent '''T''', normal '''N''' og binormalvektor '''B'''  som står vinkelrett på oskulasjonsplanet.]]

Da binormalen er en enhetsvektor, vil produktet <math>\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}</math> være konstant lik 1 langs kurven. Ved derivasjon av ligningen <math>\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 1</math> følger det at den deriverte av binormalen må oppfylle <math>
\mathbf{b} \cdot (d\mathbf{b}/ds) = 0 </math>.  Binormalen står samtidig vinkelrett på tangenten, slik at <math>
\mathbf{t} \cdot \mathbf{b} = 0 </math>. Derivasjon av dette kravet gir at <math> \mathbf{t} \cdot (d\mathbf{b}/ds) = 0 </math>, når man benytter at <math>\mathbf{n} \cdot \mathbf{b} = 0 </math>. Vektoren  <math>d\mathbf{b}/ds </math> står derfor vinkelrett både på binormalen <math>\mathbf{b}</math> og på tangenten <math>\mathbf{t}</math> og må ha samme retning som normalen <math>\mathbf{n}</math>.  Dermed kan man skrive

:<math>\frac{d\mathbf{b}}{ds} = - \tau \mathbf{n} \ , </math>

hvor koeffisienten <math>\tau</math> kalles ''torsjonen'' til kurven. Den er et mål for hvor raskt oskulasjonsplanet dreier seg langs kurven. 
I motsetning til krumningen, er fortegnet til torsjonen entydig bestemt, og torsjonen kan være både positiv og negativ.<ref name=STRUIK5/>.  

En kurve er plan hvis og bare hvis den har torsjon lik null. Da er binormalen en konstant vektor, oskulasjonsplanet er det samme langs hele kurven, og kurven ligger fullt og helt i dette planet.

===Frenets formler===

Variasjonen av normalen <math>\mathbf{n} = \mathbf{b} \times \mathbf{t}</math> langs kurven er gitt ved den deriverte

: <math> 
\begin{alignat}{2}
{d\mathbf{n}\over ds} &= {d\mathbf{b}\over ds} \times \mathbf{t} + \mathbf{b} \times {d\mathbf{t}\over ds} \\
&= - \tau \mathbf{n}\times \mathbf{t} + \mathbf{b} \times (\kappa \mathbf{n}) \\
&= \tau \mathbf{b} - \kappa \mathbf{t}
\end{alignat}
</math>

Her er benyttet uttrykkene for deriverte av tangenten og binormalen samt relasjonen mellom de tre vektorene i trihedronet.

De tre ligningene som beskriver hvordan vektorene <math>\mathbf{t}</math>, <math>\mathbf{n}</math> og <math>\mathbf{b}</math> varierer langs kurven, kalles for ''Frenets formler''<ref name=TL-2/>.  Ligningene kan sammenfattes slik

:<math>
\begin{alignat}{2}
\frac{d\mathbf{t}}{ds} &= \kappa \mathbf{n} \\[5pt]
\frac{d\mathbf{n}}{ds} &= - \kappa \mathbf{t} + \tau \mathbf{b} \\[5pt]
\frac{d\mathbf{b}}{ds} &= - \tau \mathbf{n} 
\end{alignat}
</math>

Alternativt blir også navnet ''Frenet-Serrets formler'' benyttet, oppkalt etter de to franske matematikerne [[Jean Frédéric Frenet]] og [[Joseph Alfred Serret]].

=== Totalkrumning ===

Torsjon kan også omtales som en type krumning, og krumningen <math>\kappa</math> og torsjonen <math>\tau</math> kalles av enkelte forfattere for henholdsvis første og andre krumning.<ref name=STRUIK6/>  Størrelsen

: <math> K = \sqrt{\kappa^2 + \tau^2} </math>

omtales også som ''tredje krumning'' eller ''totalkrumning''.<ref name=TL-2/><ref name=STRUIK6/>  Fra Frenets formler ser en at denne svarer til lengden 
av den deriverte av hovednormalen, og totalkrumningen er et mål for hvor raskt normalen endrer seg langs kurven.  

En plan kurve kan ha krumning, mens både torsjon og totalkrumning er uttrykk for krumning i rommet.
For en plan kurve der torsjonen er null, er totalkrumningen lik krumningen ''&kappa;''.

Navnet totalkrumning brukes også om et integral av krumningen <math>\kappa</math> med hensyn på buelengden.{{tr}}

==Eksempler==

=== Heliks ===
Et punkt på en [[heliks]] er gitt ved posisjonsvektoren

:<math>
\mathbf{r}(t) = a \cos t \, \mathbf{i}+ a \sin t \, \mathbf{j} + b t \mathbf{k} \ ,
</math>

der <math>a</math> og <math>b</math> er positive koeffisienter.  Derivasjon av posisjonsvektoren gir

:<math>
\mathbf{r}'(t) = - a \sin t \, \mathbf{i}+ a \cos t \, \mathbf{j} + b \mathbf{k} \ .
</math>

som viser at buelengden øker proporsjonalt med parameteren ''t'' da  <math> s' =  \sqrt{a^2 + b^2} </math> er konstant. Enhets-tangentvektoren er dermed gitt ved

: <math> 
\mathbf{t} = {1\over s'}\Big(-a\sin t \, \mathbf{i} + a\cos t \, \mathbf{j} + b\mathbf{k}\Big)  </math>

Prinsipalnormalen til kurven finnes fra den deriverte av tangenten

:<math>
{d \mathbf{t} \over dt} = - {a \over s'}\Big( \cos t \, \mathbf{i} +  \sin t \, \mathbf{j} \Big)
</math>

slik at normalen er

:<math> 
\mathbf{n} = -\cos t \, \mathbf{i} - \sin t \, \mathbf{j} \ . 
</math>

Videre er krumningen gitt ved

: <math> \kappa = {1\over s'} \mathbf{n}\cdot {d\mathbf{t}\over dt} = {a\over a^2 + b^2} </math>

som er konstant langs kurven. Binormalen kan bestemmes fra kryssproduktet

: <math> \mathbf{b} =  \mathbf{t} \times \mathbf{n} = {1\over s'}\Big(b\sin t \, \mathbf{i} - b\cos t \, \mathbf{j} + a\mathbf{k}\Big) \ . </math>

Den deriverte av binormalen er gitt ved

: <math> {d \mathbf{b} \over dt} = {b\over s'}\Big(\cos t \, \mathbf{i} + \sin t \, \mathbf{j} \Big) \ . </math>

For torsjonen gir dette

: <math> \tau = {1\over s'} \mathbf{n}\cdot {d\mathbf{b}\over dt}  = {b\over a^2 + b^2} </math>

som viser at den også er konstant. I grensen <math>b = 0</math> er torsjonen null, og heliksen har degenerert til en sirkel.

===Partikkelbaner===
Et [[materielt punkt]] er et legeme som er slik at posisjonen kan beskrives ved hjelp av ett enkelt punkt i et koordinatsystem.<ref>{{Kilde bok |forfatter = Oddvar Bjørgum |utgivelsesår=1963 |tittel =Dynamikk |utgivelsessted=Bergen |url = http://urn.nb.no/URN:NBN:no-nb_digibok_2017051148015 | side =1ff }}</ref>  Dersom et slikt punkt eller partikkel beveger seg, vil posisjonen være en funksjon av tiden <math>t</math>:

:<math>\mathbf{r}(t) = x(t)\mathbf{i} + y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k}</math>

Partikkelbanen kalles også ''trajektorien'' til det materielle punktet.  Fra partikkelbanen kan en utlede grunnleggende egenskaper til bevegelsen.  Den vektorielle [[hastighet]]en er tangent til trajektorien:

: <math> \mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot{\mathbf{r}} = \frac{d\mathbf{r}}{ds} \dot{s} = v\mathbf{t} \ .</math>

Her er brukt en vanlig konvensjon med at et prikk over en størrelse betegner derivasjon med hensyn på tiden.
Den skalare størrelsen <math>v = \dot {s} = |\mathbf{v}|</math> er [[fart]]en. Både den og tangentvektoren <math>\mathbf{t}</math> vil i alminnelighet variere under bevegelsen. [[Akselerasjon]]en er definert som den tidsderiverte av hastigheten:

: <math> \mathbf{a} =  \dot{\mathbf{v}} = \dot{v} \mathbf{t} + v \dot{\mathbf{t}} =  \dot{v}\mathbf{t} + v^2 \frac{d\mathbf{t}}{ds} \ .</math>

Ved å bruke Frenets første ligning <math> d\mathbf{t}/ds = \kappa\mathbf{n} </math>, har man dermed for akselerasjonen

: <math> \mathbf{a} =  \dot{v}\mathbf{t} + \kappa v^2 \mathbf{n} \ . </math>

I denne sammenhengen er det vanlig å definere krumningen <math>\kappa</math> som alltid positiv, slik at den kan erstattes med krumningsradien <math>\rho</math>:

: <math> \mathbf{a} =  \dot{v}\mathbf{t} + {v^2\over\rho}\mathbf{n} \ . </math>

Akselerasjonen består av to komponenter, en komponent langs tangenten til partikkelbanen og en komponent langs hovednormalen.  Komponenten langs tangenten avhenger av tidsendringen i farten og kalles tangentialakselerasjonen. 
Komponenten langs hovednormalen er [[sentripetalakselerasjon]]en og skyldes at bevegelsen skifter retning. For en ren sirkelbevegelse med konstant hastighet er tangentialakselerasjonen lik null, og kun sentripetalakselerasjonen bidrar.<ref name=TL-1/>

== Historie ==

Interessen for kurver og geometriske oppsto lenge før de ble objekter for systematisk matematisk behandling.  Kurver ble brukt til dekorasjon av potter og andre gjenstander langt tilbake i oldtiden.  
Den rette linjen og sirkelen har vært kjent like lenge som vi har skriftlige kilder.

Grekeren [[Hippias fra Elis|Hippias]] levde i det femtre århundre, på samme tid som [[Sokrates]], og er kjent som den første til å beskrive en kurve utenom den rette linjen og sirkelen.<ref name=BOYER1/>  
Kurven ble brukt til å løse problemet med [[vinkelens tredeling]] og ble derfor tidligere kalt ''trisektrisen til Hippias'', men kalles i dag en [[kvadratrise]].  Kjeglesnittene ellipse, hyperbel og parabel ble først
beskrevet av [[Menaikhmos]] (født ca 360 f.Kr.)<ref name=BOYER2/>

[[Evklid|Euklid]] (født ca 300 f.Kr.) definerte i læreverket [[Euklids Elementer|Elementer]] en linje som «en lengde uten bredde», men uttrykket hadde antagelig oppstått før Euklid, i [[Platon]]s skole.

[[Arkimedes]] (født ca 287 f.Kr.) regnes som en av de viktigste vitenskapsmennene i [[antikken]] og også som en grunnlegger av matematisk fysikk.  I læreverket ''Om spiraler'' studerer han en [[spiral]] i planet, definert
som banen til et punkt som beveger seg med konstant fart langs en [[Linje#stråle|stråle]], samtidig som strålen roterer med konstant fart. Her beskriver han også et konsept tilsvarende det vi i dag
kaller tangenten til kurven.  Arkimedes gir æren til vennen Konon fra Aleksandria for å ha introdusert spiralen.  Motivasjonen bak studiet av kurven var tredelingen av vinkelen og også [[sirkelens kvadratur]].

Arkimedes kan ha innført begrepet «parabel», i et verk som er kalt ''Kvadrering av parabelen'', men det er uvisst om originalversjonen brukte dette ordet.  Her bestemmer Arkimedes arealet under et 
segment av en parabel, ved å dele arealet opp i trekanter.  [[Apollonios fra Perge]] (født 262 f.Kr.) brukte alle de tre ordene ellipse, hyperbel og parabel i boka ''Kjeglesnitt''.  Her viser han at alle
tre typer kurver vil opptre når et plan skjærer en rett kjegle, ved å variere helningen på planet. Han innførte også bruken av en dobbelt kjegle, slik at kurvene kan få to adskilte greiner.

Romerne brukte ordet «linea» om en tråd spunnet av [[lin]].<ref name=ETYM/> Siden en tråd kan anta alle slags former, så ble ordet også brukt om det vi i dag kaller en kurve.  Begrepene «rett linje»
og «bøyd linje» ble brukt for å skille ulike former, der «curvus» er latin for «bøyd».

Mye av gresk matematikk gikk i glemmeboken i Europa, men ble reddet at matematikere fra Arabia og Persia.  Oversettinger fra arbisk til latin førte igjen gresk kunnskap til Europa.  Fire utgaver
''Kjeglesnitt'' av Appolonius hadde likevel overlevd, og en utgave ble trykket i Venezia i 1537.<ref name=BOYER3/>

Innføringen av koordinater og analytisk geometri av [[René Descartes]] i det syttende århundre skapte grunnlaget for den moderne beskrivelsen av kurver.

== Liste over kurver ==
*[[Bézier-kurve]]
*[[Ellipse]]
*[[Heliks]]
*[[Hyperbel]]
*[[Kjedelinje]]
*[[Klotoide]]
*[[Kvadratrise]]
*[[Lemniskate]]
*[[Parabel]]
*[[Sirkel]]
*[[Spiral]]
*[[Spline]]
*[[Superellipse]]
*[[Sykloide]]
*[[Traktrise]]

==Referanser==
<references>

<ref name=ETYM>{{Kilde bok
| ref=
| forfatter= Steven Schwartzman
| redaktør= 
| utgivelsesår=1994
| artikkel=
| tittel=The words of mathematics.  An etymological dictionary of mathematical terms used in English.
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted=Washington, DC
| forlag=The Mathematical Association of America
| side=
| isbn= 0-88385-511-9
| id=
| kommentar= 
| url= }}
</ref>

<ref name=TOP>{{Kilde bok
| ref=
| forfatter= John G. Hocking, Gail S. Young
| redaktør= 
| utgivelsesår=1988
| artikkel=
| tittel=Topology
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= 
| forlag= Dover Publications
| side=
| isbn= 0-486-65676-4
| id=
| kommentar= 
| url= }}
</ref>

<ref name=RUDIN>{{Kilde bok
| ref=
| forfatter= Walter Rudin
| redaktør= 
| utgivelsesår=1976
| artikkel=
| tittel=Principles of mathematical analysis
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= Singapore
| forlag=McGraw-Hill Book Company
| side=
| isbn= 0-07-085613-3
| id=
| kommentar= 
| url= }}
</ref>

<ref name=AAS2>{{Kilde bok
| forfatter= Hans-Fredrik Aas
| utgivelsesår=1974
| tittel=Forelesningsreferater i matematisk analyse
| bind=II
| utgivelsessted= Bergen
| forlag=Matematisk institutt, Universitetet i Bergen
| url=http://urn.nb.no/URN:NBN:no-nb_digibok_2012021608121 }}
</ref>

<ref name=TL-1>
{{Kilde bok
| ref=                                              
| forfatter=R. Tambs Lyche
| redaktør=
| utgivelsesår=1961
| artikkel=
| tittel=Matematisk Analyse, Bind I
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted=Oslo
| forlag=Gyldendal Norsk Forlag
| side=
| isbn=
| id=
| kommentar=
| url= }}
</ref>

<ref name=TL-2>
{{Kilde bok
| ref=                                              
| forfatter=R. Tambs Lyche
| redaktør=
| utgivelsesår=1961
| artikkel=
| tittel=Matematisk Analyse, Bind II
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted=Oslo
| forlag=Gyldendal Norsk Forlag
| side=
| isbn=
| id=
| kommentar=
| url= }}
</ref>

<ref name=COLLINS1>{{Kilde bok
| ref=                                                 
| forfatter=E.J.Borowski, J.M.Borwein
| redaktør=
| utgivelsesår=1989
| artikkel=
| tittel=Dictionary of mathematics
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted=Glasgow
| forlag=Collins
| side=
| isbn=0-00-434347-6
| id=
| kommentar=
| url= }}  ''Arc''
</ref>

<ref name=STRUIK1>[[#STRUIK|D.J. Struik: ''Lectures on classical differential geometry'']], s.12</ref>
<ref name=STRUIK2>[[#STRUIK|D.J. Struik: ''Lectures on classical differential geometry'']], s.15</ref>
<ref name=STRUIK3>[[#STRUIK|D.J. Struik: ''Lectures on classical differential geometry'']], s.29</ref>
<ref name=STRUIK4>[[#STRUIK|D.J. Struik: ''Lectures on classical differential geometry'']], s.127ff</ref>
<ref name=STRUIK5>[[#STRUIK|D.J. Struik: ''Lectures on classical differential geometry'']], s.16</ref>
<ref name=STRUIK6>[[#STRUIK|D.J. Struik: ''Lectures on classical differential geometry'']], s.26</ref>

<ref name=BOYER1>[[#BOYER|C.B. Boyer: ''A history of mathematics'']], s.75f</ref>
<ref name=BOYER2>[[#BOYER|C.B. Boyer: ''A history of mathematics'']], s.103f</ref>
<ref name=BOYER3>[[#BOYER|C.B. Boyer: ''A history of mathematics'']], s.330</ref>
</references>

== Litteratur ==

*{{Kilde bok
| ref=STRUIK                                           
| forfatter= D.J. Struik
| redaktør=
| utgivelsesår=1961
| artikkel=
| tittel=Lectures on classical differential geometry
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted=New York
| forlag=Dover Publications
| side=
| isbn=0-486-65609-8
| id=
| kommentar=
| url= }}

*{{Kilde bok
| ref=CBB
| forfatter= C.B.Boyer
| redaktør= 
| utgivelsesår=1968
| artikkel=
| tittel=A history of mathematics
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= Princeton, USA
| forlag= John Wiley & Sons, Inc
| side=
| isbn= 0-691-02391-3 
| id=
| kommentar= 
| url= }}

== Eksterne lenker ==
* [http://www.2dcurves.com/ www.2dcurves.com] Inneholder oversikt over nesten tusen plane kurver (Engelsk). Besøkt 7. desember 2019.
* [http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Curves.html mathshistory.st-andrews.ac.uk] Oversikt og historie for en del kjente kurver (Engelsk). Besøkt 7. desember 2019.

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Kurver| ]]