Vis kilden til Legendre-polynom

[[Fil:Mplwp legendreP05.svg|thumb|400px|Grafisk fremstilling av de fem første Legendre-polynomene ''P<sub>n</sub>''(''x'').]]
'''Legendre-polynom''' er [[polynom]] av en variabel som er av stor viktighet i [[matematikk]] og [[fysikk]]. De ble oppdaget av [[Adrien-Marie Legendre]] i 1782 i forbindelse beregning av [[Newtons gravitasjonslov|gravitasjonskrefter]] mellom [[planet]]er. Kort deretter viste [[Pierre-Simon Laplace]] at de kunne generaliseres til [[sfærisk harmonisk funksjon|sfærisk harmoniske funksjoner]] som etter etableringen av [[kvantemekanikk]]en har fått stor betydning i [[atomfysikk]]en.

De kan defineres på mange forskjellige måter. Hvilken definisjon man benytter, er avhengig av hvilken bruk man gjør av dem eller i hvilken sammenheng de opptrer.

==Egenskaper==

I mange sammenhenger opptrer Legendre-polynomene som løsninger av [[Laplace-ligning]]en {{nowrap|&nabla;<sup>&thinsp;2</sup>&Phi; {{=}} 0}} som blant annet [[gravitasjonspotensial]]et utenfor en [[masse]] må oppfylle. Ved bruk av [[kulekoordinater]] vil potensialet i allminnelighet avhenge av to vinkler ''&theta;'' og ''&phi;''. I det spesielle tilfellet at løsningen skal være uavhengig av den [[asimut|asimutale]] vinkelen ''&phi;'',  vil den resterende vinkelavhengigheten være beskrevet ved en løsning av '''Legendres differensialligning'''

: <math> \frac{d}{dx}\left[\left(1-x^2\right) \frac{dP_n(x)}{dx}\right] + n(n+1) P_n(x) = 0\,. </math>

hvor den variable ''x'' = cos''&theta;&thinsp;'' tar verdier mellom -1 og +1. Ligningen kan løses ved en [[rekke (matematikk)|rekkeutvikling]] i [[potens]]er av ''x''. Denne vil inneholde et endelig antall ledd når parameteren ''n'' er et helt tall {{nowrap|''n'' {{=}} 0,1,2,3 etc}}. Disse spesielle løsningene er Legendre-polynom og betegnes som ''P<sub>n</sub>''(''x''&thinsp;).<ref name = AS> M. Abramowitz and I.A. Stegun,  ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover, New York (1972).</ref>

===Ortogonalitet===
Legendre-polynomene danner et [[ortogonalitet|ortogonalt]] sett av funksjoner. De er normert slik at deres [[indreprodukt]] har verdien

: <math>\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\mathop{}\! dx = {2 \over {2n + 1}}\delta_{mn}</math>

hvor ''&delta;<sub>mn</sub>&thinsp;'' er [[Kronecker-delta]]et som tar verdien 1 eller 0 avhengig av om ''m = n'' eller ikke.<ref name="Boas">  M.L. Boas, ''Mathematical Methods in the Physical Sciences'', John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.</ref>

Dette settet av polynomer er «fullstendig» på den måten at en vilkårlig funksjon ''f''(''x'') kan skrives som en uendelig og konvergent rekke

:<math> f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n P_n(x)</math>

hvor koeffisientene er

: <math> a_n = \frac{2n + 1}{2} \int_{-1}^1 f(x) P_n(x)\,dx.</math>

Dette har mange praktiske anvendelser og danner grunnlaget for [[multipolutvikling]]en av et aksialsymmetrisk potensial eller funksjon.

===Rodrigues' formel===

Noen år etter at Legendre hadde funnet disse polynomene og etablert mange av deres egenskaper, ble det vist at de kan alle utregnes fra det kompakte uttrykket

: <math>P_n(x) = {1\over 2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n  </math>

som kalles '''Rodrigues' formel'''.<ref name = AS/> Herav kan man også vise at Legendre-polynomene oppfyller [[rekursjon]]sformelen

: <math> (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)\,. </math>

Ved å definere ''P''<sub>0</sub>(''x'') = 1 og ''P''<sub>1</sub>(''x'') = ''x'', kan man generere alle polynomene. De neste blir da

: <math>\begin{align}
P_2(x) &= \frac{1}{2}(3x^2 - 1)\\
P_3(x) &= \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)\\
P_4(x) &= \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3)\\
P_5(x) &= \frac{1}{8}(63x^5 - 70x^3 + 15x)\\
P_6(x) &= \frac{1}{16}(231x^6 - 315x^4 + 105x^2 - 5)\end{align} </math>

==Genererende funksjon==
[[Fil:Point axial multipole.png|thumb|300px|Forskjellige variable som inngår i beregningen av [[gravitasjonspotensial]]et i punktet P for et asymmetrisk plassert massepunkt.]]
Historisk oppsto Legendre-polynomene i forbindelse med utregningen av [[gravitasjonspotensial]]et utenfor en aksialsymmetrisk massefordeling.<ref name="Kline-2"> M. Kline, ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'', Volume 2, Oxford University Press, Oxford (1972). ISBN 978-0-19-506136-9.</ref> Det enkleste eksempel på en slik fordeling er når et massepunkt er plassert slik at det ligger utenom [[origo]] til [[koordinatsystem]]et. Potensialet &Phi; i et punkt P vil da avta omvendt proporsjonalt med avstanden ''R''  til massepunktet der

: <math> R = \sqrt{a^2 + r^2 - 2ar\cos\theta} </math>

når man gjør bruk av [[cosinussetningen]]. Her er ''a'' avstanden til massepunktet fra origo der ''&theta;'' er vinkelen mellom retningene til dette og feltpunktet P.  Ved å innføre ''x'' = cos''&theta;'' og ''t'' = ''a''/''r'', kan man nå benytte [[binomialformelen]] til å utvikle kvadratroten i potenser av ''t'' for avstander ''r > a'' der ''t'' < 1. Koeffisientene i denne uendelige [[rekke (matematikk)|rekken]] blir da Legendre-polynom

: <math> \frac{1}{\sqrt{1 + t^2 - 2xt}} = \sum_{n=0}^\infty t^n P_n(x) \,.</math>

slik at uttykket på venstre side kalles den '''genererende funksjonen''' for disse polynomene.

Potensialet skapt av den asymmetriske massefordelingen blir dermed

:<math>\Phi(r, \theta) = {1\over R} = \frac{1}{r} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{a}{r} \right)^n P_n(\cos \theta), </math>

for avstander  ''r > a''. Dette er det aller enkleste eksempelet på en [[multipolutvikling]] der koeffisientene (''a''&thinsp;/''r''&thinsp;)<sup>''n''</sup> er størrelsen til den ''n''-te multipol.<ref name="Jackson">  J.D. Jackson, ''Classical Electrodynamics'', John Wiley & Sons, New York (1975). ISBN 0-471-43132-X.</ref>

==Assosierte Legendre-polynom==
De er løsninger av '''Legendres generaliserte differensialligning'''

: <math> \frac{d}{dx}\Big[\left(1-x^2\right) \frac{dP_\ell^m (x)}{dx}\Big] +  \Big[\ell (\ell + 1) - \frac{m^2}{1 - x^2} \Big]P_\ell^m(x) = 0 </math>

hvor indeksene  ℓ and ''m'' er [[heltall]]. Den første kalles for polynomets «grad» og er alltid positiv eller null, mens den andre er dens «orden» og må ligge i intervallet {{nowrap|- ℓ ≤ ''m'' ≤ ℓ}} for å ha regulære løsninger. Denne indeksen tar derfor 2ℓ + 1 forskjellige verdier. 

Differensialligningen oppstår naturlig når [[Laplace-ligning]]en eller [[Schrödinger-ligning]]en løses i [[kulekoordinater]]. Bare når ''m'' er et like tall, vil løsningene være polynom. Derfor benyttes ofte det mer korrekte navnet «assosierte Legendre-funksjoner».

Den generaliserte differensialligningen til Legendre oppstår ved å [[derivasjon|derivere]] den opprinnelig ''m'' ganger. På den måten blir det klart at de assosierte polynomene kan utledes ved derivasjon av de vanlige Legendre-polynomene. En meget benyttet definisjon er<ref name = AS/>

: <math> P_\ell^{m}(x) = (-1)^m (1-x^2)^{m/2} \frac{d^m P_\ell}{dx^m}  </math>,

Faktoren foran kalles «Condon-Shortley-konvensjonen» og er spesielt benyttet i [[kvantemekanikk]]en for å forenkle formlene der. Ved bruk av Rodrigues' formel, har man dermed 

: <math>\begin{align} P_\ell^{m}(x) &= \frac{(-1)^m}{2^\ell \ell!} (1-x^2)^{m/2}\  \frac{d^{\ell+m}}{dx^{\ell+m}}(x^2-1)^\ell \\ &= {1\over 2^\ell \ell !} \frac{(\ell + m)!}{(\ell - m)!} (1-x^2)^{-m/2}\  \frac{d^{\ell - m}}{dx^{\ell - m}}(x^2-1)^\ell \ \end{align} </math>

som gjør det mulig å beregne disse nye funksjonene direkte.  Denne sammenhengen betyr at de kan finnes også for ''m'' < 0 siden

:<math> P^{-m}_\ell(x) = (-1)^m \frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!} P^{m}_\ell(x) </math>

Når 0&nbsp;&le;&nbsp;''m''&nbsp;&le;&nbsp;ℓ oppfyller de [[ortogonalitet]] på formen

:<math>\int_{-1}^{1}\!dx P_\ell^{m}(x) P_{\ell'}^{m}(x) dx = \frac{2 (\ell+m)!}{(2\ell+1)(\ell-m)!}\ \delta _{\ell\ell'}</math>

===Eksempel===
Disse funksjonene er mest hensiktsmessig fremstilt ved å benytte den variable ''x'' = cos''&theta;''.  For grad ℓ < 4 tar de formen

:<math>
\begin{align}
P_0^0(\cos\theta) & = 1 \\[8pt]
P_1^0(\cos\theta) & = \cos\theta \\[8pt]
P_1^1(\cos\theta) & = -\sin\theta \\[8pt]
P_2^0(\cos\theta) & = \tfrac{1}{2} (3\cos^2\theta-1) \\[8pt]
P_2^1(\cos\theta) & = -3\cos\theta\sin\theta \\[8pt]
P_2^2(\cos\theta) & = 3\sin^2\theta \\[8pt]
P_3^0(\cos\theta) & = \tfrac{1}{2} (5\cos^3\theta-3\cos\theta) \\[8pt]
P_3^1(\cos\theta) & = -\tfrac{3}{2} (5\cos^2\theta-1)\sin\theta \\[8pt]
P_3^2(\cos\theta) & = 15\cos\theta\sin^2\theta \\[8pt]
P_3^3(\cos\theta) & = -15\sin^3\theta \\[8pt]
\end{align}
</math>

===Kuleflatefunksjoner===

[[Sfærisk harmonisk funksjon|Sfærisk harmoniske funksjoner]] som ofte omtales som '''kuleflatefunksjoner''', er i stor grad bygget opp av assosierte Legendre-polynom. Den vanligste definisjonen som blir brukt i kvantemekanikken, er<ref name="BJ"> B.H. Brandsen and C.J. Joachain, ''Quantum Mechanics'', Harlow, England (2000). ISBN 0-582-35691-1.</ref>

:<math> Y_{\ell m}(\theta, \phi) =  \sqrt{\frac{(2\ell+1)}{4\pi}\cdot\frac{(\ell - m)!}{(\ell + m)!}} \, P_\ell^{m}(\cos \theta)\ e^{im\phi}\qquad -\ell \le m \le \ell </math>

Disse funksjonene er [[komplekst tall|komplekse]]. Med de konvensjonene som er benyttet her, er 

:<math> Y_{\ell m}^*(\theta, \phi) = (-1)^m Y_{\ell, -m}(\theta, \phi) </math>

Som funksjoner av kuleflatekoordinatene (''&theta;'',''&phi;'') gir de direkte den romlige fordeling av [[elektron]]ene i et [[atom]] som beskrevet av [[Schrödinger-ligning]]en. Det fører til å innordne elektronene i forskjellige [[elektronskall]] som i stor grad bestemmer deres [[elektronkonfigurasjon|kjemiske egenskaper]].<ref name="Atkins"> P.W. Atkins, ''Physical Chemistry'', Oxford University Press, Oxford (2005). ISBN 0-19-879285-9.</ref>

==Referanser==
<references />

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Polynomer]]
[[Kategori: Funksjoner]]
[[Kategori: Matematiske rekker]]