Vis kilden til Linje

{{andrebetydninger}}

[[Fil:FuncionLineal01.svg|290px|thumb|Den røde og den blå linja i denne grafen har det samme [[stigningstall]]et, mens den røde og den grønne linja har det samme konstantleddet (krysser [[Kartesisk koordinatsystem|y-aksen]] i det samme punktet).]] 
[[Fil:1D line.svg|290px|thumb|En representasjon av et [[linjestykke]].]]

Begrepet''' linje''' ble introdusert av oldtidens matematikere til å representere rette objekter med ubetydelig bredde og dybde. Linjer er en idealisering av et slike objekter og ble klart definert i [[Euklids Elementer]]. Vanligvis brukes ordet kun i betydningen '''rett linje''', slik som her. En ''kurvet linje'' kalles gjerne bare en [[kurve]].

En linje er en kontinuerlig rekke med [[punkt]]er som kan være vannrett, loddrett eller diagonal. Den er entydig bestemt ut ifra enten to punkter eller et punkt og en [[vektor (matematikk)#Geometriske vektorer|vektor]]. Linjer finnes i alle [[geometri|geometrier]] som i [[Euklidsk rom]] eller i [[kovariant relativitetsteori|Minkowski-rom]] for [[relativitetsteori]]en. Generelt kan de beskrives i [[affint rom|affine rom]]. I [[ikke-euklidsk geometri|ikke-euklidsk rom]] erstattes de av [[geodetisk kurve|geodetiske kurver]].

Per definisjon er en linje [[uendelig]]. Hvis den er begrenset av to punkter i hver ende, kalles det et [[linjestykke]]. Hvis den kun er begrenset av et punkt i den ene enden og går mot uendelig i den andre, kalles det en ''stråle''.

==Stråle==
En '''stråle''' er en del av en linje som er avgrenset av et punkt i den ene enden og er uavgrenset i den andre. Gitt en linje og et vilkårlig punkt ''A'' på linja, kan vi se på det som at ''A'' deler opp linja i to stråler. Punktet ''A'' ses vanligvis på som en del av strålen.

En stråle kan bestemmes entydig av to punkter ''A'' og ''B'' der strålen starter i ''A'' og går gjennom ''B''. Et punkt ''P'' på linjen i et generelt, [[affint rom]] kan da skrives som

: <math> P = (1 - t)A + tB </math>

hvor ''t'' er en kontinuerlig parameter. For ''t'' = 0&thinsp; blir ''P = A&thinsp;'' og for ''t'' = 1&thinsp; er ''P = B''. Ved å la ''t'' > 1&thinsp; finner man da punkter på strålen utenfor ''B'', mens for ''t'' < 0&thinsp; fremkommer punkt utenfor ''A''.

Velger man et punkt ''O'' som [[origo]] i dette rommet, blir ligningen for denne strålen

: <math> \mathbf{r} = (1 - t) \mathbf{r}_A  + t \mathbf{r}_B </math>

hvor '''r''' = ''P - O&thinsp;'' er posisjonsvektoren til punktet ''P'' på samme måte som {{nowrap|'''r'''<sub>''A''</sub> {{=}} ''A - O&thinsp;''}} og {{nowrap|'''r'''<sub>''B''</sub> {{=}} ''B - O&thinsp;''}} er posisjonsvektorene til de to, gitte punktene. 

Innfører man vektoren {{nowrap|'''v''' {{=}} ''B - A&thinsp;''}} som forbinder punktene ''A'' og ''B'', kan ligningen skrives på den mer vanlige formen {{nowrap|'''r''' {{=}} '''r'''<sub>''A''</sub> + '''v'''''t''}}. Den beskriver en stråle som starter i punktet ''A&thinsp;'' og peker i retning '''v'''. Den er gyldig uansett hva dimensjonen til rommet er.

==Linjer i det kartesiske planet==
I et [[kartesisk koordinatsystem]] har posisjonsvektoren {{nowrap|'''r''' {{=}} '''r'''<sub>''A''</sub> + '''v'''''t''}} for hvert punkt på linjen koordinatene (''x,y'').
Vektoren '''v''' ligger langs linjen. Ved å innføre vektoren '''n''' med komponentene (''a,b'') som står vinkelrett på denne slik at '''n'''&sdot;'''v''' = 0, kan linjen beskrives algebraisk som den [[lineært ligningssystem|lineære ligningen]]

: <math> ax + by + c = 0 </math>

Her angir konstanten ''c'' =  - '''n'''&sdot;'''r'''<sub>''A''</sub> hvor langt linjen ligger fra [[origo]] til koordinatsystemet. Mer kompakt kan derfor ligningen for linjen skrives som {{nowrap|'''n'''&sdot;'''r''' + ''c'' {{=}} 0}}.

Hvis {{nowrap|''b'' &ne; 0}}, er linjen ikke parallell med ''y''-aksen og den kan da forenkles til

: <math> y = kx + l </math>

Her er ''k'' = - ''a''/''b''&thinsp; [[stigningstall]]et til linjen, mens  ''l'' = - ''c''/''b''&thinsp; angir hvor den skjærer ''y''-aksen og kalles for ''konstantleddet''.

To linjer ''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0 og ''a'x'' + ''b'y'' + ''c'&thinsp;'' = 0 som står [[vinkelrett]] på hverandre, vil ha normaler {{nowrap|'''n''' {{=}} (''a,b'')}} og {{nowrap|'''n'''' {{=}} (''a',b'&thinsp;'')}} som oppfyller {{nowrap|'''n'''&sdot;'''n'&thinsp;''' {{=}} 0}}. Da dette betyr at {{nowrap|''aa'&thinsp;'' + ''bb'&thinsp;'' {{=}} 0}}, vil de to stigningstallene {{nowrap|''k'' {{=}} - ''a''/''b''}} og {{nowrap|''k'&thinsp;'' {{=}} - ''a'&thinsp;''/''b'&thinsp;''}} være relatert som {{nowrap|''kk'&thinsp;'' {{=}} - 1}}.

For en linje som går gjennom to punkt ''A'' = (''x''<sub>''A''</sub>,''y''<sub>''A''</sub>) og ''B'' = (''x''<sub>''B''</sub>,''y''<sub>''B''</sub>), er stigningstallet

: <math> k = {y_B - y_A\over x_B - x_A} </math>

Ligningen for denne linjen er da gitt ved koordinatene til disse to punktene og kan skrives som {{nowrap|''y'' {{=}} ''k''(''x'' − ''x''<sub>''A''</sub>) + ''y''<sub>''A''</sub>}}. Setter man her inn uttrykket for ''k'', kan ligningen uttrykkes ved en [[determinant]] som

:<math> \det\begin{pmatrix}x & x_A & x_B \\ y & y_A & y_B \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}  = 0. </math>

På denne formen kan man lett finne ut om tre punkter i planet ligger på en rett linje.

==Avstand mellom punkt og linje==
[[Fil:vectorpoint-to-line.svg|thumb|220px|Avstanden mellom en linje og et punkt ''P'' kan beregnes ved å innføre et vilkårlig punkt ''Q'' på linjen.]]

For å finne avstanden mellom linjen  {{nowrap|'''n'''&sdot;'''r''' + ''c'' {{=}} 0}} og et punkt ''P'' med koordinater (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>) kan man betrakte et vilkårlig punkt ''Q'' =  ''Q''(''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>) på linjen. Avstanden ''d'' er da gitt ved projeksjonen av [[Vektor (matematikk)|vektoren]] '''u''' = ''P - Q'' på vektoren '''n''' normalt på linjen som vist i figuren. Den er derfor gitt ved uttrykket ''d'' = '''u'''&sdot;'''n'''&thinsp;/|'''n'''&thinsp;| hvor lengden av normalvektoren er |'''n'''&thinsp;| = {{nowrap|&radic;(''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup>)}}. Da vektoren '''u''' har komponentene {{nowrap|(''x''<sub>0</sub> - ''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>0</sub> - ''y''<sub>1</sub>),}} er produktet {{nowrap|'''u'''&sdot;'''n''' {{=}} ''a''(''x''<sub>0</sub> - ''x''<sub>1</sub>) + ''b''(''y''<sub>0</sub> - ''y''<sub>1</sub>)}}. Benytter man nå at punktet ''Q'' skal ligge på linjen, vil {{nowrap|''ax''<sub>1</sub> + ''by''<sub>1</sub> + ''c'' {{=}} 0}}. Med denne betingelsen oppfylt, kan avstanden mellom ''P'' og linjen skrives på den enklere formen

: <math> d = {ax_0 + by_0 + c\over \sqrt{a^2 + b^2}} </math>

Herav ser man også direkte at om ''P'' ligger på selve linjen, er avstanden lik null. På samme måte er den positiv eller negativ avhengig om punktet ligger over eller under linjen. 

Dette resultatet kan direkte generaliseres til å gjelde for avstanden mellom et punkt og et [[plan (matematikk)|plan]] i tre dimensjoner eller mellom et punkt og et [[plan (matematikk)#Generaliseringer|hyperplan]] i et rom med høyere dimensjoner

==Linjer i rommet==

Linjer i rommet med kartesiske koordinater (''x,y,z'') kan ikke beskrives like enkelt. Men man kan alltid benytte den generelle [[parameterfremstilling]]en {{nowrap|'''r''' {{=}} '''r'''<sub>0</sub> + '''v'''''t''}} hvor [[Vektor (matematikk)|vektoren]] '''v''' er parallell til linjen,  '''r'''<sub>0</sub> angir et vilkårlig punkt på den og ''t'' er en parameter. Skal den gå gjennom to gitte punkt {{nowrap|''A'' {{=}} (''x''<sub>''A''</sub>,''y''<sub>''A''</sub>,''z''<sub>''A''</sub>)}} og {{nowrap|''B'' {{=}} (''x''<sub>''B''</sub>,''y''<sub>''B''</sub>,''z''<sub>''B''</sub>)}}, er koordinatene til punktene på linjen gitt ved ligningene

:<math> x = x_A + (x_B - x_A)t \,</math>
:<math> y = y_A + (y_B - y_A)t \,</math>
:<math> z = z_A + (z_B - z_A)t\,</math>

Man kan her eventuelt bestemme parameteren ''t&thinsp;'' fra en ligning, og man står da igjen med to ligninger mellom de tre ukjente koordinatene.

Alternativ kan en linje i rommet defineres som skjæringslinjen mellom to [[plan (matematikk)|plan]] i rommet. Hvert plan er gitt ved en lineær ligning med den generelle formen {{nowrap|''ax'' + ''by'' + ''cz'' + ''d'' {{=}} 0}}&thinsp; hvor de tre koeffisientene ''a'', ''b'' og ''c'' angir komponentene til vektoren {{nowrap|'''n''' {{=}} (''a,b,c'')}} som står normalt på planet. 

To slike plan med normaler '''n'''<sub>1</sub> og '''n'''<sub>2</sub> er da beskrevet ved det [[lineært ligningssystem|lineære ligningssystemet]]
:<math>\begin{alignat}{2}
a_1 x & + b_1 y& \; + \; c_1 z & + d_1 = 0 \\
a_2 x& + b_2 y& \;+ \; c_2 z & + d_2 = 0 \\
\end{alignat}</math>
Løses dette ligningsettet med hensyn på de uavhengige variable ''x'', ''y'' og ''z'', finnes koordinatene til punktene som de to planene har felles, det vil si for punkter på skjæringslinjen mellom planene såfremt disse ikke er parallelle med hverandre. Vektoren {{nowrap|'''v''' {{=}} '''n'''<sub>1</sub> &times; '''n'''<sub>2</sub>}} er da parallell til skjæringslinjen og kan så benyttes til å beregne denne.

==Linjekoordinater==

For en linje beskrevet ved ''y = kx + l&thinsp;'' kan de to tallene (''k,l''&thinsp;) sies å være koordinatene til linjen i planet. Alternativt kan ligningen skrives som {{nowrap|''ax'' + ''by'' + ''c'' {{=}} 0}} hvor de tre tallene (''a,b,c'') spesifiserer linjen. Men disse er ikke uavhengige av hverandre. Man kan multiplisere dem alle med en konstant uten at linjen forandres. Det betyr at den er likså godt beskrevet ved tallene (''a''/''c'', ''b''/''c'', 1) eller (''a'&thinsp;'',''b'&thinsp;'',1). De tre tallene sies derfor å være '''homogene koordinater''' for linjen. Slike [[linjekoordinater]] benyttes i det [[projektivt plan|projektive planet]].

En linje er med koordinatene  (''k,l''&thinsp;) består av alle punkt  (''x,y''&thinsp;) som oppfyller ligningen ''y = kx + l&thinsp;''. Alternativt kan man si at for et gitt punkt  (''x,y''&thinsp;) vil alle løsninger av den samme ligningen gi koordinatene (''k,l''&thinsp;) for alle linjer som går gjennom dette punktet.

For linjer i det tredimensjonale rommet  som er bestemt ved to punkt, behøves i utgangspunktet seks koordinater. Men av disse er bare fire uavhengige av hverandre. Det kan man forstå ved at linjens retning kan angis ved to koordinater. I tillegg må man angi et punkt som den går gjennom. Til det trenges det bare to nye koordinater da dette punktet kan ligge hvor som helst på linjen. Dette er bakgrunnen for de kjente [[linjekoordinater|linjekoordinatene]] til [[Julius Plücker]].

==Geodetiske linjer==

En linje i det [[euklidsk rom|euklidiske rommet]] er den [[kurve]]n som gir den korteste avstand mellom to punkter. Dette definerer en [[geodetisk kurve]]. I rom med [[ikke-euklidsk geometri]] kan man også snakke om linjer når disse er definert som geodetiske kurver. For eksempel, i [[sfærisk geometri]] på en kuleflate er disse storsirkler som går gjennom to diametralt motsatte punkt på kuleflaten. Alternativt kan man si at disse geodetiske kurvene fremstår som skjæringspunktet mellom kuleflaten og et plan gjennom kulens sentrum.

Ifølge [[generell relativitetsteori|Einsteins generelle relativitetsteori]] vil masse og energi gi [[romtid|tidrommet]] en [[ikke-euklidsk geometri]] slik at lyset ikke lenger vil bevege seg langs rette linjer. I stedet følger det geodetisk kurver som har [[kurve|krumning]] slik at lyset blir avbøyet. Dette ble først eksperimentelt verifisert av den engelske astrofysiker [[Arthur Eddington|Eddington]] ved en total solformørkelse i [[1919]] og benyttes i dag til å utforske [[gravitasjonslinse]]r som dannes av store [[galakse]]r og [[mørk materie]] i Universet.

==Se også==
* [[Vektor (matematikk)|Vektor]]
* [[Kurve]]
* [[Lineær funksjon]]
* [[Kartesisk koordinatsystem]]

==Litteratur==

* A. Søgaard og R. Tambs Lyche, ''Matematikk for den høgre skolen'', vol. III, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Elementær geometri]]
[[Kategori:Kurver]]