Vis kilden til Lp-rom

{{DISPLAYTITLE:''L''<sup>''p''</sup>-rom}}
Innen [[matematikk]] er {{math|'''''L''<sup>''p''</sup>'''}}'''-rommene''' [[funksjonsrom]] definert som en naturlig generalisering av [[Norm (matematikk)|p-normen]] for endeligdimensjonale [[vektorrom]]. De kalles også for '''Lesbesgue-rom''', navngitt etter [[Henri Lebesgue]]. {{math|''L''<sup>''p''</sup>}}-rom er også [[Banachrom]], og utgjør en viktig klasse av [[topologisk vektorrom|topologiske vektorrom]] innen [[funksjonalanalyse]]. De spiller en nøkkelrolle i matematisk analyse av [[målrom|mål-]] og [[sannsynlighetsrom]], og er derfor også viktig for det teoretiske grunnlaget for og diskusjonen rundt problemer innenfor blant annet fysikk, statistikk og finans.

==Definisjon==
La <math>(\Omega, A, \mu)</math> være et [[målrom]] og <math>0 < p \leq \infty</math> kan man definere en [[norm (matematikk)|norm]] gitt ved
:<math>|| f ||_p = ( \int_{\Omega} |f|^p d\mu)^{1/p}</math>
for <math>p < \infty</math>, og
:<math>|| f ||_\infty = inf \{M : |f| \leq M \}</math>
[[nesten overalt]] (med hensyn til målet <math>\mu</math>). Da er det korresponderende L<sup>p</sup>-rommet er definert som mengden av A-målbare funksjoner der dette [[integrasjon|integralet]] [[konvergens|konvergerer]] (er endelig).<ref name="mw">[[#MW|McDonald og Weiss, ''A course in real analysis'']], side 475–478.</ref>

Man kan tenke på <math>L^p</math>-rom som en generalisering av ''<math>L^2</math>-rom'', mengden av [[kvadratisk integrerbar funksjon|kvadratiske integrerbare funksjoner]], der disse er definert som mengden av funksjoner hvis 
:<math>| f |_2 = ( \int_{\Omega} |f|^2 d\mu )^{1/2}</math>
er endelig. Dette tilsvarer normen indusert av det generelle [[indreprodukt]]et
:<math>\langle f, g \rangle = \int_{X} f \overline{g} d\mu</math>
definert over et [[funksjonsrom]].

===L<sup>p</sup>-rom over <math>\mathbb{R}^n</math>===
Dersom <math>\Omega \subseteq \mathbb{R}^n</math> er det vanlig å referere til <math>L^p</math>-rommet som <math>L^p (\Omega)</math>.<ref name="mw" />

===L<sup>p</sup>-rom over følgerom===
Dersom <math>\mu</math> er [[tellemål]]et er det vanlig å referere til <math>L^p</math>-rommet som <math>\mathcal{l}^p (\Omega)</math>, eller bare <math>\mathcal{l}^p</math>.<ref name="mw" />

==Egenskaper==
===Grunnleggende egenskaper===
For alle L<sup>p</sup>-rom gjelder følgende:<ref name="mw" />
#For alle <math>f \in L^p</math> og alle skalarer <math>\alpha</math> gjelder
#:<math>|| \alpha f ||_p = |\alpha| || f ||_p</math>
#<math>L^{p}</math> er et [[vektorrom]]
# For alle <math>f \in L^p</math> finnes det en følge av enkle funksjoner <math>\{ s_n \}_{n=1}^{\infty}</math> i L<sup>p</sup> som konvergerer til f nesten overalt:
## <math>s_n \to f</math>
## <math>|| f - s_n ||_{p} \to 0</math>
## <math>\int_{\Omega} |s_n|^p d\mu \to \int{\Omega} |f|^p d\mu</math>

===Hölders ulikhet===
Hvis p og q er to (utvidet reelle) tall, slik at <math>1 \leq p \leq \infty</math> og <math>1 \leq p \leq \infty</math>, og slik at <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, og <math>f, g</math> to A-målbare funksjoner, har vi at
:<math>|| fg ||_1 = \int_{\Omega} | f g | d\mu \leq || f ||_p ||g ||_p</math>
med likhet for p > 1 hvis og bare hvis det finnes to konstanter <math>\alpha, \beta</math> som ikke begge er 0, slik at
:<math>\alpha|f|^p = \beta|g|^q</math>.<ref name="mw" />

Dette kalles for [[Hölders ulikhet]], og hvis <math>p = q = 2</math> får vi [[Cauchy–Schwarz’ ulikhet]].

Dersom vi jobber med funksjonsrom over <math>\mathbb{R}</math>, der <math>\Omega</math> f.eks. kan være et interval <math>[a, b]</math> kan ulikheten uttrykkes som
:<math>\int_a^b | f g | dx \leq || f ||_p ||g ||_p.</math>

===Minkowskis ulikhet===
La <math>1 \leq p \leq \infty</math> igjen. Da gjelder 
:<math>||f + g||_p \leq ||f||_p + ||g||_p</math>
for alle <math>f, g \in L^p (\mu)</math>.<ref name="mw" />

Dette kalles for [[Minkowskis ulikhet]].

===Riesz' teorem===
For <math>1 \leq p \leq \infty</math> er <math>(L^p(\mu), || \cdot ||_p)</math> et komplett metrisk rom med hensyn på normen gitt ved <math>|| \cdot ||_p</math>, altså et [[Banach-rom]].<ref name="mw" />

Dette kalles for [[Riesz' teorem]]. For <math>0 < p < 1</math> har vi at <math>L^p</math> fortsatt er et vektorrom, men {{matte|{{norm}}<sub>p</sub>}} er ikke lenger en norm – derimot kan man vise at det er en [[metrikk (matematikk)|metrikk]], så for <math>0 < p < 1</math> er <math>L^p</math> et [[metrisk rom]].<ref name="mw" /> For <math>p = 2</math> er <math>L^p</math> også et [[Hilbertrom]].

==Referanser==
<references />

==Litteratur==
* {{ Kilde bok
 | ref=MW
 | forfatter = John. N McDonald og Neil A. Weiss
 | utgivelsesår = 2013
 | tittel = A Course in Real Analysis
 | forlag = Elsevier
 | isbn = 978-0-123-87774-1
}}

==Eksterne lenker==
*{{MathWorld|url=Lp-Space|title=Lp-space}}

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Normerte rom]]
[[Kategori:Målteori]]