Vis kilden til Mengde

En '''mengde''' i [[matematikk]] er en veldefinert samling med ulike objekter. Begrepet er et av de viktigste og mest grunnleggende i moderne matematikk, og teori for mengder kalles [[mengdelære]], siden mange andre matematiske objekter og strukturer kan bli redefinert i form av mengder.

Mengdelæren går tilbake til slutten av 1800-tallet, med [[Georg Cantor]] som en viktig bidragsyter. Hans definisjon av en mengde er «en samling av bestemte, forskjellige objekter, betraktet som noe helt». Men slike enkle og intuitive definisjoner av mengder fører til paradokser, som for eksempel [[Cantors paradoks]] og [[Russells paradoks]]. Derfor finnes det flere ulike og mer kompliserte definisjoner for mengder med ulike [[aksiom]]er som brukes i [[Matematisk bevis|matermatisk bevis]].

== Elementene i en mengde ==
En mengde inneholder visse objekter, kalt ''elementer''. Elementene kan i prinsippet være hva som helst, for eksempel tall, personer, biler, eller andre mengder. En mengde må være ''veldefinert'': for ethvert objekt må det være mulig å avgjøre om objektet er med i mengden eller ikke. Hvis ''x'' er et element i mengden ''M'', skriver man 

:<math>x \in M </math>

At ''x'' ikke er et element i ''M'' kan skrives som

:<math>x \notin M </math>

En mengde kan inneholde mer enn ett eksemplar av et element, men det andre eksemplaret vil være overflødig.  Altså vil {a, b, b} være den samme mengden som {a, b}. Mengden kan inneholde et endelig eller et uendelig antall elementer.  

Definisjonen av en mengde skrives ofte som et sett av klammeparenteser {}, med en beskrivelse av mengden mellom parentesene.  Beskrivelse kan være en opplisting av elementene i mengden:

:<math>M = \lbrace 1,2,3,4 \rbrace </math>

Flere etterfølgende punktum kan brukes istedenfor å liste alle elementene:

:<math>M = \lbrace 1,2,3, ... ,100 \rbrace </math>

Alternativ kan mengden beskrives ved en regel ''P''(''x'') som definerer elementene ''x'':

:<math>M = \lbrace x \, | \, P(x) \rbrace </math>

Definisjonen kan leses som «Mengden ''M'' består av elementene ''x'' som oppfyller ''P''».  Et kolon blir også brukt som alternativ til den vertikale streken.  Dersom en vil spesifisere en større mengde ''A'' som elementene tilhører, så kan definisjonen skrives som

:<math>M = \lbrace x \in A \, | \, P(x) \rbrace </math>

Eksempler på regeldefinisjoner:

* [[Naturlig tall|Naturlige tall]] mindre enn 100:

:<math> M = \lbrace n \in N \,  | \, n < 100 \rbrace </math>

* [[Rasjonalt tall|Rasjonale tall]]: 

:<math>Q = \lbrace \frac{m}{n}  \, | \,  m,n \in Z, n \ne 0 \rbrace </math>

* Definisjon ved operasjon mellom mengder: 

:<math>M = \lbrace x \, | \, x \in A \cup B \rbrace </math>

En mengde kan også defineres [[rekursjon|rekursivt]]:  0 ∈ ''M'', og hvis ''x'' ∈ ''M'', så er ''x''+1 ∈ ''M''.

Mengden som ikke inneholder noen elementer, kalles [[den tomme mengden]] eller ''nullmengden'' og blir betegnet med ∅.  En mengde som inneholder minst ett element er ''ikketom''.

== Delmengder ==
[[File:Venn A subset B.svg|150px|right|A er en delmengde av B]]
Hvis ''A'' og ''B'' er mengder, og ethvert element i ''A'' også er et element i ''B'', så kalles ''A'' en [[delmengde]] eller en ''undermengde'' av ''B'', og man skriver ''A'' ⊂ ''B''.  Dersom ''B'' i tillegg inneholder elementer som ikke er i ''A'' og ''A'' er ikke-tom, så er ''A'' er en ''ekte delmengde''.    Mengden {1, 2} har fire delmengder, den tomme mengden, {1}, {2} og {1, 2}.   Bare {1} og {2} er ekte delmengder.  

Hvis ''B'' også er en delmengde av ''A'', må begge mengdene inneholde nøyaktig de samme elementene. Per definisjon er da ''A'' lik ''B'', og man skriver ''A'' = ''B''.

To delmengder er [[disjunkte mengder|disjunkte]] dersom de ikke inneholder felles element.  Mengdene {1,2} og {3,4} er disjunkte.  

Mengder er ofte betraktet som elementer av en større fast mengde, kalt ''universalmengden''.<ref name=RDM1/>

En [[partisjon (mengdelære)|partisjon]] av en mengde ''M'' er en oppdeling av mengden i disjunkte ikke-tomme delmengder, slik at alle elementene i ''M'' er medlem av én og kun én delmengde.  

== Operasjoner på mengder ==

Flere [[binær operasjon|binære operasjoner]] kan defineres for mengder:  Snitt, union, komplement og kartesisk produkt.<ref name=RDM2/>   
=== Snitt ===
[[Fil:Venn0001.svg|150px|thumb|right|Snittet av mengdene ''A'' and ''B'']]
Mengden av elementer som er felles for ''A'' og ''B'' kalles [[snitt (mengdelære)|snittet]] av ''A'' og ''B'' og betegnes ''A'' ∩ ''B''.

:<math>A \cap B = \lbrace x \, | \, x \in A \land x \in B \rbrace  </math> 

Symbolet <math>\land</math> betegner  «og».   Snittet av mengdene {1,2,3} og {2,3,4} er lik {2,3}.

Snittet er en [[assosiativ lov|assosiativ]] og [[kommutativ lov|kommutativ]] operasjon:

:<math>
\begin{alignat}{2}
(A \cap B ) \cap C &= A \cap ( B  \cap C )  \\
A \cap B  &= B \cap A  \\
 \end{alignat} 
</math> 

Dersom ''A'' og ''B'' er disjunkte, så er snittet lik den tomme mengden.

=== Union ===
[[Fil:Venn0111.svg|150px|thumb|right|Unionen av mengdene ''A'' and ''B'']]
Mengden av elementer som enten er med i ''A'' eller i ''B'' (eller i begge) kalles [[union (mengdelære)|unionen]] av ''A'' og ''B'' og betegnes ''A'' ∪ ''B'':

:<math>A \cup B = \lbrace x \, | \, x \in A \lor x \in B \rbrace  </math> 

Symbolet <math>\lor</math> betegner  «eller».   Unionen av mengdene {1,2,3} og {3,4} er lik {1,2,3,4}.

Unionen er en [[assosiativ lov|assosiativ]] og [[kommutativ lov|kommutativ]] operasjon:

:<math>
\begin{alignat}{2}
(A \cup B ) \cap C &= A \cup ( B  \cup C )  \\ 
A \cup B &= B \cup A   \\
 \end{alignat} 
</math> 

=== Komplement ===
[[File:Venn0010.svg|150px|thumb|right|Det relative komplementet til ''A'' (venstre sirkel) i ''B'' (høyre sirkel)]]
[[Komplement (mengdelære)|Komplementet]] til mengden ''A'' refererer til elementer som ''ikke'' er med i ''A''.  Det relative komplementet til mengden ''A'' i ''B'' er mengden av elementer i ''B'' som ikke tilhører ''A'':

:<math>B \smallsetminus A = \{ x\in B \, | \, x \notin A \}. </math>

Komplementoperasjonen kan betraktes som en differanseoperasjon for mengder.  Det relative komplementet til mengden {1,2,3} i {3,4,5} er mengden {4,5}.  Mengden av [[irrasjonalt tall|irrasjonelle tall]] er det relative komplementet til mengden av [[rasjonalt tall|rasjonale tall]] i mengden av reelle tall:

:<math>J = R \smallsetminus Q. </math>

Dersom ''A'' tilhører en universalmengde ''M'', så er det absolutte komplementet - eller bare komplementet - alle elementer som ligger i ''M'', men ikke i ''A''.  Komplementet til ''A'' kan skrives ''A''<sup>C</sup> eller ''A'''.

=== Kartesisk produkt ===

Produktmengden eller det [[kartesisk produkt|kartesiske produktet]] av to mengder ''A'' og ''B'' er mengden av alle [[ordnede par]] av elementer, ''(a,b)'', der ''a'' &isin; ''A'' og ''b'' &isin; ''B''.<ref name=HFA1/>  Produktet skrives ''A'' × ''B'':

:<math>A \times B = \{(a,b)\, | \, a \in A, b \in B\}.</math>

Definisjonen kan generaliseres til et endelig antall mengder:  ''A'' × ''B'' × ''C'' × ''D''.

Det todimensjonale rommet '''R'''<sup>2</sup> kan defineres som det kartesisiske produktet av de reelle tallene '''R''' med seg selv:  '''R'''<sup>2</sup> = '''R''' × '''R'''.

Det kartesiske produktet er ikke kommutativt, det vil si at ''A'' × ''B'' generelt ikke er lik ''B'' × ''A''.

Det kartesiske produktet er oppkalt etter den franske matematikeren [[René Descartes]] (1596-1650).

=== Relasjon mellom operasjoner ===

Det finnes mange satser og teorem som sier hvordan operasjonene relaterer seg til hverandre.<ref name=HFA2/>  Dersom ''A'', ''B'' og ''C'' alle er mengder, så gjelder [[distributiv lov|distributive lover]]: 

: <math>
\begin{alignat}{2}
A\cap ( B\cup C) &= (A\cap B) \cup ( A \cap C ) \\
A\cup ( B\cap C ) &= (A\cup B) \cap ( A \cup C) \\
\end{alignat}
</math>

Dersom ''M'' også er en mengde, så gjelder også ''De Morgans lover'':

: <math>
\begin{alignat}{2}
M  \smallsetminus ( A\cup B) &= (M \smallsetminus A) \cup ( M \smallsetminus B ) \\
M \smallsetminus ( A\cap B ) &= (M \smallsetminus A) \cap ( M \smallsetminus B) \\
\end{alignat}
</math>

== Ordnede mengder ==
I en ''ordnet mengde M'' er det definert en [[binær relasjon]] betegnet med < , med de to følgende egenskapene:<ref name=WR1/>

* Dersom både ''x'' og''y'' er elementer i ''M'', så er ett og kun ett av de følgende utsagnene riktige:

:<math>x < y  \qquad x = y \qquad x > y </math>

* Dersom ''x'', ''y'' og ''z'' alle er elementer i ''M'', og i tillegg  ''x'' < ''y'' og ''y'' < ''z'', da er ''x'' < ''z''.  

Mengden av rasjonale tall ''Q'' er en ordnet mengde, der relasjonen ''x'' < ''y'' er definert til å bety at differansen ( ''y'' - ''x'' ) er positiv.

== Venndiagram ==

Mengder og deres egenskaper kan også illustreres ved et såkalt [[Venn-diagram|Venndiagram]].  I dette blir universalmengden illustrert med en firkant, men denne blir også ofte utelatt.  Ulike mengder og forholdet mellom disse blir illustrert ved areal innenfor universalmengden.  

Venndiagram har blitt brukt over til å illustrere union, snitt og komplement.  Illustrasjonsmåten ble introdusert omkring 1880 av engelskmannen [[John Venn]] (1834-1923).

==Tallmengder ==

De viktigste ''tallmengdene'' er

* <math>\mathbb{N}</math>, mengden av [[naturlig tall|naturlige tall]]
* <math>\mathbb{Z}</math>, mengden av [[heltall|hele tall]]
* <math>\mathbb{Q}</math>, mengden av [[rasjonalt tall|rasjonale tall]]
* <math>\mathbb{R}</math>, mengden av [[reelt tall|reelle tall]]
* <math>\mathbb{C}</math>, mengden av [[komplekst tall|komplekse tall]]
* <math>\mathbb{H}</math>, mengden av [[kvaternion]]er
* <math>\mathbb{O}</math>, mengden av [[oktonion]]er

Dersom elementene i en tallmengde kan kombineres ved [[multiplikasjon]] og [[divisjon (matematikk)|divisjon]], og resultatet er definert i samme mengden, så danner mengden en [[kropp (matematikk)|tallkropp]]. 
Mengden av reelle tall er en tallkropp.  
Mengden av naturlige tall er derimot ''ikke'' en kropp, da man ikke generelt kan dividere to hele tall med hverandre slik at resultatet også er et helt tall.

==Se også==

* [[Relasjonsalgebra]]

== Referanser ==

<references>
<ref name=WR1>[[#WR|W.Rudin, 1976]], s.3</ref>
<ref name=RDM1>[[#RDM|R.D.Milne, 1980]], s.4</ref>
<ref name=RDM2>[[#RDM|R.D.Milne, 1980]], s.5</ref>
<ref name=HFA1>[[#HFA|H.F.Aas, 1974]], s.6</ref>
<ref name=HFA2>[[#HFA|H.F.Aas, 1974]], s.4</ref>
</references>

== Litteratur ==
*{{Kilde bok
| ref =WR
| forfatter= Walter Rudin
| redaktør= 
| utgivelsesår=1953, 1964, 1976
| artikkel=
| tittel=Principles of mathematical analysis
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= Singapore
| forlag= McGraw-Hill International Book Co.
| side=
| isbn= 0-07-085613-3
| id=
| kommentar= 
| url= }}

*{{Kilde bok
| ref =HFA
| forfatter= Hans Fredrik AAs
| utgivelsesår=1974
| tittel=Forelesningsreferater i matematisk analyse.
| bind=I
| utgivelsessted= Bergen
| forlag= Matematisk Institutt, Universitetet i Bergen
| url=http://urn.nb.no/URN:NBN:no-nb_digibok_2012021608107 }}

*{{Kilde bok
| ref=RDM
| forfatter= Ronald Douglas Milne
| redaktør= 
| utgivelsesår=1980
| artikkel=
| tittel=Applied functional analysis, an introductory treatment
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= London
| forlag= Pitman Publishing Limited
| side=
| isbn=0-273-08404-6
| id=
| kommentar= 
| url= }}

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Mengdelære]]