Vis kilden til Peanos aksiomer

{{Uoversatt}}
'''Peano-aksiomene''' fra 1889, også kjent som '''Dedekind-Peano-aksiomene''' eller '''Peano-postulatene''', er en liste av [[aksiom]]er for de [[naturlige tall]]ene som ble utarbeidet av den italienske matematikeren [[Giuseppe Peano]]. De faller inn under feltet [[matematisk logikk]]. Disse aksiomene har blitt brukt i et antall metamatematiske undersøkelser, inkludert forskning i fundamentale spørsmål rundt konsistens og kompletthet av [[tallteori]].

Behovet for en formalisert aritmetikk ble ikke verdsatt før arbeidet til [[Hermann Grassmann]], som i 1860-årene viste at mange aritmetiske fakta kunne utledes fra mere grunnleggende kjennskap til etterfølger-operasjonen og [[matematisk induksjon]]. [[Charles Sanders Peirce]] gav en aksiomatisering av aritmetikk med naturlige tall i 1881. I 1888 foreslo [[Richard Dedekind]] en samling av aksiomer for tallene, og i 1889 publiserte Peano mer presist formulerte versjoner av disse aksiomene i boken «Aritmetikkens prinsipper ved en ny metode» ([[Latin]]: Arithmetices principia, nova methodo exposita).

Peanoaksiomene inneholder tre typer påstander. Det første aksiomet erklærer eksistensen av minst ett element i mengden «tall». De neste fire er generelle påstander om [[Equality (mathematics)|equality]]; I moderne fremstillinger blir disse ofte ikke tatt med som en del av Peanoaksiomene, men heller betraktet som aksiomer i den «underliggende logikken».<ref>van Heijenoort 1967:94</ref> De neste tre aksiomene er [[first-order logic|first-order]] er påstander om naturlige tall som uttrykker fundamentale egenskaper ved etterfølgeroperasjonen. Det niende og siste aksiomet er en [[second-order logic|second order]] påstand som uttrykker prinsippet for [[matematisk induksjon]] over de naturlige tallene. Et svakere første-ordenssystem som kalles '''Peanoaritmetikk''' fås ved å eksplisitt legge til symboler for addisjon og multiplikasjon, og erstatte det niende aksiomet med et førsteordens [[aksiomskjema]].

== Aksiomene ==
[[File:Domino effect visualizing exclusion of junk term by induction axiom.jpg|thumb|Mengden av naturlige tall kan illustreres ved den uendelige kjeden av dominobrikker av lyst tre, hvor den første svarer til null, og hver brikke har oversiden vendt mot etterfølgeren. Men, aksiomene 1-8 er også oppfylt av den usammenhengende strukturen som består av brikker av både lyst og mørkt tre. Aksiom 9, induksjonsaksiomet svarer til kravet at hvis den første brikken av lyst tre faller, så vil til slutt hver eneste brikke falle («dominoeffekt»); dette er tilfredsstilt bare i fravær av de mørke brikkene.]]

Da Peano formulerte sine aksiomer, var språket til [[matematisk logikk]] i sin barndom. Systemet for logisk notasjon som han skapte for å presentere aksiomene ble ikke populært, selv om det underligger den moderne notasjonen for [[mengdelære|elementrelasjonen]] (∈, som kommer fra Peanos ε) og [[logisk implikasjn]] (⊃, som kommer fra Peanos omvendte 'C'.) Peano var nøyaktig med å trekke et skarpt skille mellom matematiske og logiske symboler, noe som da var uvanlig i matematikk; et slikt skille ble først innført i [[Begriffsschrift]] av [[Gottlob Frege]], publisert i 1879.<ref>Van Heijenoort 1967, p. 2</ref> Peano kjente ikke til Freges arbeider, og gjenskapte sitt logiske apparat helt uavhengig. Han baserte dette på arbeidene til [[George Boole|Boole]] og [[Ernst Schröder|Schröder]].<ref name="Heijenoort s83">Van Heijenoort 1967, p. 83</ref>

Peanoaksiomene definerer de aritmetiske egenskapene til ''[[naturlige tall]]'', vanligvis representert som en mengde [[Sett (mengdelære|mengde]] ''N'' eller <math>\mathbb{N}.</math> [[signatur (mathematisk logikk)|signatur]] (et formelt språks [[ikke-logisk symbol]]er) for aksiomene inkluderer et konstant symbol 0 og et [[unært]] funksjonssymbol ''S''. 

Konstanten 0 blir antatt å være et naturlig tall:
{{Ordered list|start=1
|1= 0 er et naturlig tall.
}}
De neste fire aksiomene beskriver [[likhet(matematikk)|likhet]] og [[Binær relasjon|relasjon]]er. Siden de er logisk gyldige i førsteordenslogikk med likhet, blir de ikke betraktet som en del av peanoaksiomene i moderne fremstillinger.<ref name="Heijenoort s83" /> {{Ordered list|start=2
|2= For ethvert naturlig tall ''x'', ''x'' = ''x''. Det vil si at likhet er [[refleksiv relasjon|refleksiv]].
|3= For alle naturlige tall ''x'' og ''y'', hvis ''x'' = ''y'', så er ''y'' = ''x''. Det vil si at likhet er [[symmetrisk relasjon|symmetrisk]].
|4= For alle naturlige tall ''x'', ''y'' og ''z'', hvis ''x'' = ''y'' og ''y'' = ''z'', så er ''x'' = ''z''. Det vil si at likhet er [[transitiv relasjon|transitiv]].
|5= For alle ''a'' og ''b'', hvis ''a'' er et naturlig tall og ''a'' = ''b'', så er ''b'' også et naturlig tall. Med andre ord, de naturlige tallene er [[Lukning (matematikk)|lukket]] under likhet.
}}
Resten av aksiomene definerer aritmetiske egenskaper ved de naturlige tallene. Mengden av naturlige tall antas å være [[Lukning (algebra)|lukket]] under en envaluert (eller unær) «[[Etterfølgerfunksjonen|etterfølger]]» [[funksjon (matematikk)|funksjon]] ''S''. 
{{Ordered list|start=6
|6=For ethvert naturlig tall ''n'', så er ''S''(''n'') et naturlig tall.
}}
Peanos opprinnelige formulering av aksiomene brukte 1 istedenfor 0 som det «første» naturlige tallet. Dette valget er vilkårlig, ettersom aksiom 1 ikke tillegger konstanten 0 noen spesielle egenskaper. Men, siden 0 er (det additive) [[Binær operasjon# Egenskaper til binære operasjoner # Enhetselement |identitetselementet]] i aritmetikk, så starter de fleste moderne formuleringene av peanoaksiomene fra 0. Aksiom 1 og 6 definerer en [[unært tallsystem|unær]] representasjon av de naturlige tallene: tallet 1 kan representeres som ''S''(0), 2 as ''S''(''S''(0)) (som også er ''S''(1)), og, generelt, ethvert naturlig tall ''n'' som et resultat av n gangers repetert anvendelse av funksjonen ''S'' til 0, skrevet som ''S''<sup>''n''</sup>(0). De neste to aksiomene definerer egenskapene til denne representasjonen. 
{{Ordered list|start=7
|7=For ethvert naturlig tall ''n'' er ''S''(''n'') = 0 usann . Det betyr at det ikke finnes noe naturlig tall som etterfølges av 0.
|8=For alle naturlige tall ''m'' og ''n'', hvis ''S''(''m'') = ''S''(''n''),  så er ''m'' = ''n''. Det betyr at ''S'' er en [[injective function|injection]].
}}
Aksiomene 1, 6 , 7 og 8 impliserer at mengden av naturlige tall inneholder de ulike elementene 0, ''S''(0), ''S''(''S''(0)), og videre at {0, ''S''(0), ''S''(''S''(0)), …} ⊆ ''N''. Dette viser at mengden av de naturlige tallene er en uendelig mengde. Men, for å kunne vise at ''N'' = {0, ''S''(0), ''S''(''S''(0)), …}, så må det vises at ''N'' ⊆ {0, ''S''(0), ''S''(''S''(0)), …}; dvs, det må vises at alle naturlige tall er inkludert i {0, ''S''(0), ''S''(''S''(0)), …}. For å kunne gjøre dette trengs det et tilleggsaksiom, som enkelte ganger kalles ''induksjonsaksiomet''. Dette aksiomet gir oss en metode for å kunne tenke om mengden av alle de naturlige tallene. 

{{Ordered list|start=9
|9=Hvis ''K'' er en mengde slik at:
* ''0'' er element i ''K'', og
* for ethvert naturlig tall ''n'', hvis ''n'' er i ''K'', så er''S''(''n'') i ''K'',
så vil ''K'' inneholde ethvert naturlig tall. 
}}

Induksjonsaksiomet kan formuleres slik: 
{{Ordered list|start=9
|9=Hvis φ er et unært [[predikat (matematikk)|predikat]] slik at:
* φ(0) er sann, og 
* for ethvert naturlig tall ''n'', hvis φ(''n'') er sann, så er φ(''S''(''n'')) sann,
da er φ(''n'') sann for ethvert naturlig tall ''n''.
}}

I Peanos opprinnelige formulering er induksjonsaksiomet et [[second-order logic|second-order axiom]]. Det er nå vanlig å erstatte dette annenordensprinsippet med et svakere [[first-order logic|first-order]] induksjonsskjema. Det er viktige forskjeller mellom førsteordens og andreordens-formuleringene, som diskutert i avsnittet [[#Modeller|Modeller]] under.

== Aritmetikk ==
Peanoaksiomene kan utvides med operasjonene [[addisjon]] og [[multiplikasjon]] og den vanlige [[linjær ordning|lineære ordningen]] på de naturlige tallene [[natural numbers#Notation|''N'']]. De respektive funksjonene og [[Binær relasjon|relasjon]]ene konstrueres i annenordens-logikk, og kan vises å være entydig bestemte ved å bruke peanoaksiomene. 

=== Addisjon ===
[[Addisjon]] er en funksjon som [[Avbildning (matematikk)|tilordner]] to naturlige tall (to elementer i ''N'') til et annet naturlig tall. Den er definert [[rekursjon|rekursivt]] som:
:<math>\begin{align}
a + 0 &= a ,\\
a + S (b) &= S (a + b).
\end{align}</math>
For eksempel,
:''a'' + 1 = ''a'' + ''S''(0) = ''S''(''a'' + 0) = ''S''(''a'').
[[Structure (mathematical logic)|structure]] (''N'', +) er en [[kommutativ]] [[semigruppe]] med identitetselement 0. (''N'', +) er også en [[cancellation property|cancellative]] [[magma (algebra)|magma]], og derfor [[embedding|embeddable]] i en [[group (Gruppe (matematikk)|gruppe]]. Den minste gruppen som inneholder ''N'' er de [[Hele tall|hele tallene]].

=== Multiplikasjon ===
På tilsvarende måte er [[multiplikasjon]] en funksjon som sender to naturlige tall til et annet. Gitt addisjon, så kan den defineres rekursivt som:
:<math>\begin{align}
a \cdot 0 &= 0, \\
a \cdot S (b) &= a + (a \cdot b).
\end{align}</math>
Det er lett å se at å sette b lik 0 gir det multiplikative [[identity element|enhetselemen]]et:
:''a'' · 1 = ''a'' · ''S''(0) = ''a'' + (''a'' · 0) = ''a'' + 0 = ''a''
Videre, multiplikasjon [[distributive law|distribuerer over]] addisjon:
:''a'' · (''b'' + ''c'') = (''a'' · ''b'') + (''a'' · ''c'').
Så, (''N'', +, 0, ·, 1) er en kommutativ [[semiring]]. 

=== Ulikheter ===
Den vanlige [[total order]] [[Binær relasjon|relasjonen]] ≤ på de naturlige tallene kan defineres som følger, idet vi antar at 0 er et naturlig tall:
:For alle ''a'', ''b'' ∈ ''N'', ''a'' ≤ ''b'' hvis og bare hvis det finnes en ''c'' ∈ ''N'' slik at ''a'' + ''c'' = ''b''.
Denne relasjonen er stabil under addisjon og multiplikasjon: for <math> a, b, c \in N </math>, hvis ''a'' ≤ ''b'', så:
* ''a'' + ''c'' ≤ ''b'' + ''c'', and
* ''a'' · ''c'' ≤ ''b'' · ''c''.
Følgelig er strukturen (''N'', +, ·, 1, 0, ≤) en [[ordered ring|ordered semiring]]; fordi det ikke finnes noe naturlig tall mellom 0 og 1, er den en diskret ordnet semiring. Induksjonsaksiomet formuleres noen ganger på den følgende ''sterke'' måten, som gjør bruk av ordningen ≤:
:For enhver [[predicate (mathematics)|predicate]] φ, hvis
:* φ(0) er sann, og
:* for enhver ''n'', ''k'' ∈ ''N'', if ''k'' ≤ ''n'' implies ''φ''(''k'') er sann, så er φ(''S''(''n'')) sann,
:da for enhver ''n'' ∈ ''N'', så er φ(''n'') sann.
Denne formen på induksjonsaksiomet er en enkel konsekvens av standardformuleringen, men er ofte bedre egnet til å resonnere om ordenen ≤. For eksempel, for å vise at de naturlige tallene er [[well-order|velordnet]]—enhver [[empty set|ikketom]] [[delmengde]] av ''N'' har ett [[least element|minste element]]—så kan en tenke som følger. La en ikketom ''X'' ⊆ ''N'' være gitt og anta at ''X'' ikke har noe minste element.
* Siden 0 er det minste elementet i ''N'', så må vi ha at 0 ∉ ''X''.
* For enhver ''n'' ∈ ''N'', anta at for enhver ''k'' ≤ ''n'', ''k'' ∉ ''X''. Da ''S''(''n'') ∉ ''X'', for ellers ville det vær det minste elementet i ''X''.
Så, ved det sterke induksjonsprinsippet, for enhver ''n'' ∈ ''N'', ''n'' ∉ ''X''. Thus, ''X'' ∩ ''N'' = ∅, som [[contradiction|motsier]] at ''X'' er en ikketom delmengde av ''N''. Derfor har ''X'' et minste element.

== Førsteordensaritmetikk ==

=== Ekvivalente aksiomatiseringer ===

== Modeller ==

=== Ikkestandardmodeller ===

=== Mengdeteoretiske modeller ===

=== Kategoriteoretiske tolkninger ===

== Konsistens ==

==Se også==
* [[Foundations of mathematics]]
* [[Gentzen's consistency proof]]
* [[Goodstein's theorem]]
* [[Paris–Harrington theorem]]
* [[Presburger arithmetic]]
* [[Robinson arithmetic]]
* [[Second-order arithmetic]]
* [[Non-standard model of arithmetic]]
* [[Set-theoretic definition of natural numbers]]
* [[Frege's theorem]]

== Fotnoter ==
<references/>

== Litteratur ==
* [[Martin Davis]], 1974. ''Computability''. Notes by Barry Jacobs. [[Courant Institute of Mathematical Sciences]], [[New York University]].
* {{Cite book| author=Richard Dedekind| authorlink=Richard Dedekind| title=Was sind und was sollen die Zahlen? (What are and what should the numbers be?)| year=1888| publisher=Vieweg| url=http://digisrv-1.biblio.etc.tu-bs.de:8080/docportal/servlets/MCRFileNodeServlet/DocPortal_derivate_00005731/V.C.125.pdf;jsessionid=FB796823C290377DAA1A50426E5B7E53| accessdate=31. oktober 2013| url-status=dead| archiveurl=https://web.archive.org/web/20160514060707/http://digisrv-1.biblio.etc.tu-bs.de:8080/docportal/servlets/MCRFileNodeServlet/DocPortal_derivate_00005731/V.C.125.pdf%3Bjsessionid%3DFB796823C290377DAA1A50426E5B7E53| archivedate=2016-05-14}} {{Wayback|url=http://digisrv-1.biblio.etc.tu-bs.de:8080/docportal/servlets/MCRFileNodeServlet/DocPortal_derivate_00005731/V.C.125.pdf;jsessionid=FB796823C290377DAA1A50426E5B7E53 |date=20160514060707 }}. To oversettelser til engelsk:
** 1963 (1901). [http://www.gutenberg.org/files/21016/21016-pdf.pdf ''Essays on the Theory of Numbers'']. Beman, W. W., ed. and trans. Dover.
** 1996. In ''From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics'', 2 vols, Ewald, William B., ed. Oxford University Press: 787–832.
* [[Gerhard Gentzen|Gentzen, G.]], 1936, ''Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie.'' ''Mathematische Annalen'' 112: 132–213. Trykket i Engelsk oversettelse i hans 1969 ''Collected works'', M. E. Szabo, ed. Amsterdam: North-Holland.
* {{Cite journal| author=Kurt Gödel|authorlink=Kurt Gödel| title=Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I| journal=Monatshefte für Mathematik| year=1931| volume=38| pages=173–198| url=http://www.w-k-essler.de/pdfs/goedel.pdf}}. Se [[On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems]] for detaljer om oversettelser til Engelsk.
* --------, 1958, "Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes," ''Dialectica'' 12: 280–87. Utgitt i Engelsk oversettelse i 1990. Gödel's ''Collected Works'', Vol II. [[Solomon Feferman]] et al., eds. Oxford University Press.
* {{Cite book| author=Hermann Grassmann| title=Lehrbuch der Arithmetik (A tutorial in arithmetic)| year=1861| publisher=Enslin| url=http://www.uni-potsdam.de/u/philosophie/grassmann/Werke/Hermann/Lehrbuch_der_Arithmetik_1861.pdf| access-date=2014-08-07| archive-date=2013-11-03| archive-url=https://web.archive.org/web/20131103151021/http://www.uni-potsdam.de/u/philosophie/grassmann/Werke/Hermann/Lehrbuch_der_Arithmetik_1861.pdf}}
* Hatcher, William S., 1982. ''The Logical Foundations of Mathematics''. Pergamon. Derives the Peano axioms (called '''S''') from several [[axiomatic set theories]] and from [[category theory]].
* [[David Hilbert]],1901, "Mathematische Probleme". ''Archiv der Mathematik und Physik'' 3(1): 44–63, 213–37. English translation by Maby Winton, 1902, "[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html Mathematical Problems,]" ''Bulletin of the American Mathematical Society'' 8: 437–79.

* Kaye, Richard, 1991. ''Models of Peano arithmetic''. Oxford University Press. ISBN 0-19-853213-X.
<!-- * [[Charles Sanders Peirce|Peirce, C.&nbsp;S.]] (1881), "On the Logic of Number", ''American Journal of Mathematics'' v.&nbsp;4, pp. [http://books.google.com/books?id=LQgPAAAAIAAJ&jtp=85 85-95]. Reprinted (CP&nbsp;3.252-88), (W&nbsp;4:299-309). -->
* Mendelson, Elliott, 1997. ''Introduction to Mathematical Logic'', 4th ed. Chapman & Hall.
* {{Cite news|last=Peirce|first=C.&nbsp;S.|authorlink=Charles Sanders Peirce|title=On the Logic of Number |url=http://books.google.com/books?id=LQgPAAAAIAAJ&jtp=85|journal=American Journal of Mathematics|volume=4|year=1881
|number=1–4|pages=85–95|doi=10.2307/2369151|mr=1507856 |jstor=2369151}} Reprinted (CP&nbsp;3.252-88), (W&nbsp;4:299-309).
* Paul Shields. (1997), "Peirce's Axiomatization of Arithmetic", in Houser ''et al.'', eds., ''Studies in the Logic of Charles&nbsp;S. Peirce''.
* [[Patrick Suppes]], 1972 (1960). ''Axiomatic Set Theory''. Dover. ISBN 0-486-61630-4. Derives the Peano axioms from [[ZFC]].
* [[Alfred Tarski]], and Givant, Steven, 1987. ''A Formalization of Set Theory without Variables''. AMS Colloquium Publications, vol. 41.
* [[Edmund Landau]], 1965 ''Grundlagen Der Analysis''. AMS Chelsea Publishing. Derives the basic number systems from the Peano axioms. English/German vocabulary included. ISBN 978-0-8284-0141-8
* {{Cite book| author = [[Jean van Heijenoort]], ed.| coauthors = | title = From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931| edition = 3. | publisher = Harvard University Press | location = Cambridge, Mass| origyear = 1967 | year= 1976 | isbn = 0-674-32449-8}} Inneholder oversettelser av de følgende to artiklene, med verdifulle kommentarer:
** [[Richard Dedekind]], 1890, "Letter to Keferstein." pp.&nbsp;98–103. On p.&nbsp;100, he restates and defends his axioms of 1888.
** [[Giuseppe Peano]], 1889. ''Arithmetices principia, nova methodo exposita'' (The principles of arithmetic, presented by a new method), pp.&nbsp;83–97. An excerpt of the treatise where Peano first presented his axioms, and recursively defined arithmetical operations.
{{PlanetMath attribution|id=3301|title=PA}}

==Eksterne lenker==
* [[Internet Encyclopedia of Philosophy]]: "[http://www.utm.edu/research/iep/p/poincare.htm Henri Poincare]" by Mauro Murzi. Includes a discussion of Poincaré's critique of the Peano's axioms.
* [http://www.ltn.lv/~podnieks/gt3.html First-order arithmetic], a chapter of a book on the [[incompleteness theorem]]s by Karl Podnieks.
* {{Springer|title=Peano axioms|id=p/p071880}}
* {{Planetmath reference|id=2789|title=Peano arithmetic}}
* {{MathWorld| urlname=PeanosAxioms | title=Peano's Axioms}}
* [http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/scav/dedek/dedek.html What are numbers, and what is their meaning?: Dedekind] {{Wayback|url=http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/scav/dedek/dedek.html |date=20221026225838 }} commentary on Dedekind's work, Stanley N. Burris, 2001.
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Matematikklister]]
[[Kategori:Matematikkens historie]]