Vis kilden til Periferivinkel

[[Fil:InscribedAngle 1ChordDiam.svg|thumb|200px|Periferivinkelen ψ ligger i punktet V og spenner over sirkelbuen AB.]]
En '''periferivinkel''' er en [[vinkel]] med toppunkt på [[periferi]]en (omkretsen) til en [[sirkel]]. Dens bein kan bestå enten av to [[sekant]]er eller en sekant  og en [[tangent (matematikk)|tangent]]. Er begge beinene tangenter, danner de en rett linje og periferivinkelen er 180°.

Størrelsen til en periferivinkel er halvparten så stort som gradtallet av den sirkelbuen som ligger mellom vinkelens bein. Dette er lett å forstå i det spesielle tilfellet at en av vinkelens bein går gjennom sirkelens sentrum som vist i figuren. [[Trekant]]en VOA er nå likesidet da sidene OV og OA er like store. Da er sentralvinkelen ''&theta;'' lik summen ''2ψ'' av de to andre vinkelene i trekanten. Dermed er

: <math> \psi  = {1\over 2}\,\theta </math>

hvor gradtallet til buen AB er det samme som for vinkelen ''&theta;''.

[[Fil:Animated illustration of thales theorem.gif|thumb|200px|Når sirkelbuen AC er 180°, vil periferivinkelen i B alltid være 90°.]]
En periferivinkel som spenner over en halvsirkel er derfor 90°. Og det gjelder uansett hvor på sirkelen den ligger. Dette er vist i animasjonen til høyre hvor periferivinkelen på 90° ligger i punktet B og spenner over halvsirkelen AC. Trekanten ABC er da alltid en rettvinklet [[trekant]] hvor [[hypotenus]]en er sirkelens [[diameter]] som går gjennom dens sentrum O. 

Dette resultatet går under navnet [[Tales’ teorem]]. En anekdote forteller at da [[Tales fra Milet|Tales]] gjorde denne oppdagelsen, ble han så begeistret at han ofret en okse til gudene.

==Generelt tilfelle==
[[Fil:Angle centre dem.svg|right|thumb|500 px|En generell periferivinkel er summen eller differansen til to periferivinkler som hver har samme [[diameter]] som ett bein.]]
I alminnelighet vil ingen av de to beina til en periferivinkel gå gjennom sirkelens sentrum. Men likevel vil dens størrelse alltid være halvparten av sirkelbuen som de spenner over. Det kan man se ved å betrakte de tre tilfellene i figuren. Når et bein går gjennom sentrum som i figuren til venstre, er periferivinkelen i punktet M halvparten av sirkelbuen AD. Blir vinkelen større som i den midtre figuren, er perferivinkelen i punktet M summen av perferivinklene AMD og DMB. Men nå er periferivinkelen AMD halvparten av sirkelbuen AD og periferivinkelen DMB er halvparten av sirkelbuen DB da for begge disse vinklene går et bein gjennom sentrum. Den totale periferivinkelen AMB er derfor halvparten av sirkelbuen AB.

Når sirkelbuen AB er mindre enn sirkelbuen AD som i figuren til høyre, ser man på samme måte at peiferivinkelen AMB er halvparten av sirkelbuen AB. På den måten er størrelsen til en periferivinkel alltid like stor som halvparten av sirkelbuen som dens to bein spenner over. Dette er også tilfelle når et av beinene går over til å bli en [[tangent (matematikk)|tangent]] til sirkelen.

===Potensens til et punkt===
Hvis kryssningspunktet mellom to [[sekant]]er ligger innenfor eller utenfor sirkelen, vil fremdeles vinkelen mellom dem være gitt på en tilsvarende måte som halvparten av summen eller differensen av de to sirkelbuene som sekantene spenner over. Produktet av lengdene til de to delene av hver sekant som ligger mellom deres kryssningspunkt og de to skjæringspunktene med sirkelen, er det samme for hver sekant som går gjennom kryssningspunktet. Dette produktet definerer [[potens til et punkt|potensen]] til dette punktet. For en periferivinkel ligger kryssningspunktet på omkretsen og potensen for punktet er lik null.

==Litteratur==
* A. Søgaard og R. Tambs Lyche, ''Matematikk for den høgre skolen'', vol II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).

==Eksterne lenker==
* [http://www.mathopenref.com/circleinscribed.html Inscribed angle], Math Open Reference.
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Vinkler]]
[[Kategori:Sirkler]]