Vis kilden til Poisson-ligningen

[[Fil:MogCampoGrav26.7.jpg|thumb|280px|[[Kartesisk koordinatsystem]] for beregning av [[gravitasjonspotensial]]et i punktet  ''P'', angitt ved [[vektor (matematikk)|vektoren]] '''r''', som skyldes en mikroskopiske masse ''dm'&thinsp;'' i punktet '''r'&thinsp;''' innen den kontinuerlige massefordelingen.]]
'''Poisson-ligningen''' er en [[partiell differensialligning]] som har en sentral rolle i [[matematikk]] og [[fysikk]]. For en [[funksjon (matematikk)|funksjon]]  ''U''(''x'')&thinsp; skrives den som

: <math> \nabla^2 U(x)  = f(x) </math>

der &nabla;<sup>&thinsp;2</sup> er [[Laplace-operator]]en og ''f''(''x'')&thinsp; er en gitt funksjon. Når denne er null, forenkles ligningen til [[Laplace-ligning]]en.  Denne ble funnet på slutten av 1700-tallet av [[Pierre-Simon Laplace]] til å gjelde for [[gravitasjonspotensial]]et utenfor en kontinuerlig massefordeling.

Men i 1812 viste [[Siméon Denis Poisson]] at Laplace-ligningen ikke gjelder inne i massefordelingen og måtte utvides med et inhomogent ledd på høyre side som var proporsjonalt med den lokale massetettheten. Da [[Gauss]] i 1839 offentliggjorde sitt bevis for [[divergensteoremet]], fikk Poisson-ligningen et mer solid grunnlag og inntok dermed også en sentral plass i [[elektrostatikk]]en. [[Gauss' lov]] for det [[elektrisk potensial|elektriske potensialet]] er en omskrivning av Poisson-ligningen på [[integral (matematikk)|integralform]].

==Opprinnelse==
[[Gravitasjonspotensial]]et i et punkt '''r'''&thinsp; utenfor en kontinuerlig massefordeling med tetthet ''&rho;''('''r'''') i punktet '''r'''', er  ifølge [[Newtons gravitasjonslov]] gitt ved [[integral (matematikk)|integralet]]

: <math> \Phi(\mathbf{r}) = - G \int\!d^3x' {\rho(\mathbf{r'}) \over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} </math>

der ''G&thinsp;'' er [[gravitasjonskonstanten]].<ref name = LL>J.R. Lien og G. Løvhøyden, ''Generell fysikk for universiteter og høgskoler, Bind 1'', Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 978-8-2150-0005-3.</ref> Da [[Laplace-operator]]en &nabla;<sup>&thinsp;2</sup> = '''&nabla;'''&sdot;'''&nabla;''', finner man ved å bruke denne differensialoperatoren under integraltegnet at

: <math> \nabla^2\Phi(\mathbf{r}) =  G \int\!d^3x' \rho(\mathbf{r'})\boldsymbol{\nabla}\cdot{\mathbf{r} - \mathbf{r'}\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^3} </math>

Ved direkte utregning i [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]] av [[divergens]]en som her opptrer, finner man at

: <math> \boldsymbol{\nabla}\cdot{\mathbf{r} - \mathbf{r'}\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^3}= \begin{cases} 0  \; \; \; \text{hvis} \; \; \mathbf{r} \neq \mathbf{r'}\\ {0\over 0}   \; \; \text{hvis}  \; \; \mathbf{r} = \mathbf{r'}  \end{cases}</math>

Så lenge feltpunktet ligger utenfor massefordelingen slik at '''r'''&thinsp; &ne; '''r'''', er derfor {{nowrap|&nabla;<sup>&thinsp;2</sup>&Phi; {{=}} 0&thinsp;}} og [[Laplace-ligning]]en er oppfylt. Men for et feltpunkt inne i fordelingen, vil integralet være ubestemt da det inneholder en faktor 0/0&thinsp; som kan være hva som helst.

[[Siméon Denis Poisson|Poisson]] klarte å overvinne dette problemet ved å anta at massetettheten ''&rho;''('''r'''') var konstant.<ref name = Kline-2>M. Kline, ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'', Volume 2, Oxford University Press, Oxford (1972). ISBN 978-0-19-506136-9.</ref> For dette tilfellet fant han da at potensialet tilfredsstiller [[differensialligning]]en

: <math> \nabla^2\Phi = 4\pi G\rho </math>

som siden har får sitt navn etter han.

===Skallteoremet===

Innholdet av Poissons ligning er tett knyttet til [[Newtons skallteorem]] for beregning av gravitasjonspotensialet fra sfærisk symmetriske massefordelinger. Det sier at [[gravitasjonsfelt]]et utenfor denne er det samme som om hele massen er konsentrert i sentrum av fordelingen. Innenfor massefordelingen skyldes feltet i et punkt kun massen som ligger innenfor dette punktet.

Hvis massetettheten er konstant, er massen innenfor en radius ''r&thinsp;'' lik med {{nowrap|''M''(''r'') {{=}} (4''&pi;''&thinsp;/3)''&rho;r''<sup>3</sup>}}. Gravitasjonsfeltet i dette punktet er dermed

: <math> g(r) = G{M(r)\over r^2} = {4\pi\over 3}G\rho r </math>

Da feltet er den deriverte av gravitasjonsponsialet, finnes det derfor direkte ved integrasjon å være

: <math> \Phi(r) = {2\pi\over 3}G\rho r^2 + C </math>

der ''C&thinsp;'' er en  integrasjonskonstant som tilsvarer potensialet i punktet ''r'' = 0. Når man så lar Laplace-operatoren virke, blir

: <math> \nabla^2\Phi =  {2\pi\over 3}G\rho \Big({\partial^2\over\partial x^2} +{\partial^2\over\partial y^2} + {\partial^2\over\partial z^2}\Big) (x^2 + y^2 + z^2) = 4\pi G\rho </math>

som er Poissons ligning for dette spesielle tilfellet med konstant tetthet. Men for den generelle utledning av ligningen behøver man matematiske metoder som på Poissons tid ennå ikke var utviklet. De tilsvarer bruk av mer moderne [[vektoranalyse]].

===Vektoranalyse===

Med bruk av [[divergensteoremet]] til [[Gauss]] kan Poissons ligning for gravitasjonspotensialet utledes i det generelle tilfellet. I uttrykket for {{nowrap|&nabla;<sup>&thinsp;2</sup>&Phi;&thinsp;}} kan integrasjonen over hele ladningsfordelingen reduseres til et mindre volum ''V&thinsp;'' som omslutter kildepunktet  '''r'''' da kun denne delen vil gi et bidrag forskjellig fra null. Man lar nå dette volumet være en kule med punktet '''r''' som sentrum og med så liten radius at tettheten ''&rho;''('''r'''') kan anses som konstant i volumet. Da blir

: <math>\begin{align} \nabla^2\Phi(\mathbf{r}) &=  G\rho(\mathbf{r}) \int_V\!d^3x'\boldsymbol{\nabla'}\cdot{\mathbf{r'} - \mathbf{r}\over |\mathbf{r'} - \mathbf{r}|^3} \\
  &= G\rho(\mathbf{r}) \int_{\partial V}\!d\mathbf{S'}\cdot{\mathbf{r'} - \mathbf{r}\over |\mathbf{r'} - \mathbf{r}|^3}  = 4\pi G\rho(\mathbf{r}) \end{align} </math>

når integrasjonspunktet '''r'''' er på kuleoverflaten &part;''V'', slik at |'''r'''' - '''r'''| = ''R'' er radius i kulen med overflate ''S'&thinsp;'' = 4''&pi;&thinsp;R''<sup>2</sup>. For et slikt lite integrasjonsvolum ''V'' er dette resultatet ikke så mye en konsekvens av det generelle divergensteoremet, men heller en direkte følge av definisjonen av [[divergens]]en til et [[vektorfelt]].<ref name = Siegel>M. R. Spiegel, ''Vector Analysis'', Schaum's Outline Series, New York, (1959).</ref>

Den ubestemte divergensen under integraltegnet for {{nowrap|&nabla;<sup>&thinsp;2</sup>&Phi;&thinsp;}} er nå bestemt. Sammenligner man med definisjonen for [[Diracs deltafunksjon]],
ser man at

: <math> \boldsymbol{\nabla}\cdot{\mathbf{r} - \mathbf{r'}\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^3} =  - \nabla^2{1\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} = 4\pi\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r'}) </math>

Massetettheten for en [[kontinuitetsligning#Punktpartikler|punktpartikkel]] med masse ''m'' i punktet '''r'''' kan ved hjelp av deltafunksjonen derfor skrives {{nowrap|''&rho;''('''r''') {{=}} ''m&delta;''('''r''' - '''r'''')}}. Mange slike punktmasser ''m<sub>i</sub>&thinsp;'' i posisjoner '''r'''<sub>''i''</sub>&thinsp; kan beskrives ved en resulterende massetetthet

: <math>  \rho(\mathbf{r}) = \sum_i m_i\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_i) </math>

På tilsvarende måte kan man angi [[elektrisk ladning]]stetthet for punktpartikler i [[elektrostatikk]]en.

==Gauss' divergensteorem==

[[Gravitasjonsfelt]]et i et punkt er gitt ved [[gradient]]en '''g''' = - '''&nabla;'''&thinsp;&Phi;. Integrerer man dette over en lukket flate ''S'' = &part;''V'' som omslutter volumet ''V'', sier [[divergensteoremet]] at

: <math> \int_{\partial V}\! d\mathbf{S}\cdot\mathbf{g} =  \int_V\!dV\,\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{g} = - 4\pi G M </math>

hvor

: <math> M =  \int_V\!dV\rho(\mathbf{r}) </math>

er massen innesluttet i volumet ''V''. Dette følger fra Poissons ligning når den skrives på formen '''&nabla;'''&sdot;'''g''' = - 4''&pi;&thinsp;G&rho;''. Dette tilsvarer [[Gauss' lov]] i [[elektrostatikk]]en hvor det [[elektrisk felt|elektriske feltet]] '''E''' inngår i stedet for '''g''', [[Coulombs konstant]] 1/4''&pi;&thinsp;&epsilon;''<sub>0</sub> erstattes med gravitasjonskonstanten - ''G'' og den elektriske ladningstettheten med massetettheten.

På denne formen er Gauss' divergensteorem en direkte generalisering av [[Newtons skallteorem]].

==Referanser==
<references />

==Litteratur==

* R.D. Richtmyer,  ''Principles of advanced mathematical physics'', Springer-Verlag, New York (1978). ISBN 0-387-08873-3.

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Partielle differensialligninger]]
[[Kategori:Matematisk analyse]]