Vis kilden til Sfærisk harmonisk funksjon

[[Fil:Harmoniques spheriques positif negatif.png|thumb|240px|Illustrasjon av hvordan verdiene til den sfærisk harmoniske funksjonen {{nowrap|''Y''<sub>ℓ''m''</sub>(''&theta;,&phi;'')&thinsp;}} for ℓ = 3 varierer på kuleflaten.]]

'''Sfærisk harmoniske funksjoner''' er spesielle [[Funksjon (matematikk)|funksjoner]] definert på overflaten til en [[kule]]. De kalles derfor ofte for '''kuleflatefunksjoner'''. Når [[Laplace-operator]]en uttrykkes i [[kulekoordinater]], er de egenfunksjoner til den vinkelavhengige delen av operatoren. På den måten spiller de en viktig rolle i løsning av mange [[partiell differensialligning|partielle differensialligninger]]. Dette gjelder også for løsninger av [[Schrödinger-ligning]]en slik at funksjonene dermed bidrar til forståelse av egenskapene til [[atom]]er og [[molekyl]]er.

[[Trigonometrisk funksjon|Trigonometriske funksjoner]] er periodiske i vinkelkoordinaten på en sirkel. De kalles derfor alternativt for «sirkelfunksjoner». På tilsvarende vi er de sfærisk harmoniske funksjonene periodiske i de to koordinatene på en kuleflate. Betegnelsen «harmonisk» skyldes at de opptrer i løsningene av [[Laplace-ligningen]]  når denne uttrykkes i [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]] ''x'', ''y'' og ''z''. Løsningene av denne ligningen er da [[Laplace-ligning#Tre dimensjoner|homogene polynom]] i disse tre variable og sies å være harmoniske. De sfærisk harmoniske funksjonene fremkommer når disse polynomene uttrykkes i [[kulekoordinater]] ''r'', ''&theta;'' og ''&phi;''  som også omtales som «sfæriske koordinater».

Rent matematisk danner funksjonene grunnlaget for representasjoner av [[Lie-gruppe|rotasjonsgruppen]] SO(3) i tre dimensjoner. Mer fysisk fremkommer de på tilsvarende vis ved [[Kvantisert dreieimpuls|kvantisering av dreieimpuls]] i [[kvantemekanikk]]en.

==Definisjon==

De [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinatene]] ''x'', ''y'' og ''z&thinsp;'' kan uttrykkes ved [[kulekoordinater]] <math> (r, \theta, \phi)</math> som <math> x = r \sin\theta \cos\phi, </math> <math> y = r \sin\theta \sin\phi </math> og  <math> z = r \cos\theta. </math> [[Laplace-operator]]en i tre dimensjoner tar dermed formen 

: <math>\begin{align} \nabla^2 &= {\partial^2 \over \partial x^2} + {\partial^2 \over \partial y^2} + {\partial^2 \over \partial z^2}  \\ &= {\partial^2\over\partial r^2} + {2\over r}{\partial\over\partial r} + {1\over r^2}\!\left[{1\over\sin\theta} {\partial\over\partial\theta}\left(\sin\theta{\partial\over\partial\theta}\right) + {1\over\sin^2\theta} {\partial^2\over\partial\phi^2}\right] \end{align} </math>

Løsninger av [[Laplace-ligning]]en <math> \nabla^2 F(x,y,z) = 0 </math>  kan da skrives som et produkt <math> F(r,\theta,\phi) = R(r)Y(\theta,\phi) </math> av en radiell del  og en angulær del. Hvis denne siste delen skal være kontinuerlig og periodisk i begge sine koordinater, må den oppfylle den [[partiell differensialligning|partielle differensialligningen]]

: <math> \left[{1\over\sin\theta} {\partial\over\partial\theta}\left(\sin\theta{\partial\over\partial\theta}\right) + {1\over\sin^2\theta} {\partial^2\over\partial\phi^2}\right] Y_{\ell m}(\theta,\phi) =  - \ell(\ell + 1) Y_{\ell m}(\theta,\phi) </math>

hvor ℓ er et [[heltall]]. Samtidig må indeksen ''m'' ligge i intervallet {{nowrap|- ℓ &le; ''m'' &le; ℓ}} og tar derfor {{nowrap|2ℓ + 1}} forskjellige verdier. Løsning av ligningen er de sfærisk harmoniske funksjonene.<ref name="MW">  J. Mathews and R.L. Walker, ''Mathematical Methods of Physics'',  W.A. Benjamin, New York (1970). ISBN 0-8053-7002-1.</ref>

==Beregning==
[[Fil:Harmoniki.png|thumb|360px|Grafisk fremstilling av realdelen til de første kuleflate-funksjonene. Rødt og grønt indikerer positive eller negative verdier, mens avstand fra origo angir størrelsen.]]
Fra formen til differensialligningen som definerer kuleflatefunksjonene, følger at dens løsninger må kunne skrives som et produkt av to funksjoner,

: <math>Y_{\ell m}(\theta,\phi) = \Theta_{\ell m}(\theta)\Phi_{m}(\phi) </math>

Disse må igjen tilfredsstille hver sin egen differensialligning. Den første er

: <math> {d^2\over d\phi^2} \Phi_m  + m^2\Phi_{m} = 0 </math>

som har løsninger av formen <math> \Phi_{m}(\phi) = e^{im\phi} </math> eller reelle kombinasjoner av to slike. For at <math> \Phi_{m}(\phi) = \Phi_{m}(\phi + 2\pi), </math> må ''m&thinsp;'' være et heltall. Samtidig må den andre funksjonen oppfylle

: <math> {1\over\sin\theta} {d\over d\theta}\left(\sin\theta \, {d\Theta_{\ell m}\over d\theta}\right) + \Big[\ell (\ell + 1) - \frac{m^2}{\sin^2\theta} \Big]\Theta_{\ell m} = 0 </math>

Denne differensialligningen definerer de [[Legendre-polynom#Assosierte Legendre-polynom|assosierte Legendre-polynomene]] <math> P_\ell^{m}(\cos \theta). </math> På denne måten finner man at de sfæriske harmoniske funksjonene kan skrives som

:<math> Y_{\ell m}(\theta, \phi) =  \sqrt{\frac{(2\ell+1)(\ell-m)!}{4\pi(\ell+m)!}}\ P_\ell^{m}(\cos \theta)\ e^{im\phi} , \quad -\ell \le m \le \ell </math>

når de normeres ved integralet

: <math> \int_0^{2\pi}\! d\phi \! \int_0^\pi \! d\theta\sin\theta \,Y_{lm}^{*}(\theta,\phi) \, Y_{l'm'}(\theta,\phi) = \delta_{l\,l'} \, \delta_{mm'} </math>

over hele kuleflaten. Da funksjonene er [[komplekst tall|komplekse]], er her konvensjonen

:<math> Y_{\ell m}^*(\theta, \phi) = (-1)^m Y_{\ell, -m}(\theta, \phi) </math>

benyttet. I litteraturen forekommer også andre konvensjoner.<ref name = AS> M. Abramowitz and I.A. Stegun,  ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover, New York (1972).</ref>

===Eksempel===

De første sfærisk harmonisk funksjoner fra ℓ = 0 til og med ℓ = 3:

{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe5"
! ''Y''<sub>ℓ''m''</sub>
!class="hintergrundfarbe5"| ℓ = 0
!class="hintergrundfarbe5"| ℓ = 1
!class="hintergrundfarbe5"| ℓ = 2
!class="hintergrundfarbe5"| ℓ = 3
|-----
!class="hintergrundfarbe5"| ''m'' = −3
|
|
|
|<math>\sqrt{\tfrac{35}{64 \pi}} \sin^{3}{\theta}\,e^{-3\mathrm i \phi}</math>
|-----
!class="hintergrundfarbe5"| ''m'' = −2
|
|
|<math>\sqrt{\tfrac{15}{32 \pi}} \sin^{2}{\theta} \, e^{-2\mathrm i \phi}</math>
|<math>\sqrt{\tfrac{105}{32\pi}} \sin^{2}{\theta}\cos{\theta}\,e^{-2\mathrm i \phi}</math>
|-----
!class="hintergrundfarbe5"| ''m'' = −1
|
|<math>\sqrt{\tfrac{3}{8 \pi}}   \sin{\theta} \, e^{-\mathrm i \phi}</math>
|<math>\sqrt{\tfrac{15}{8 \pi}}  \sin{\theta} \, \cos{\theta} \, e^{-\mathrm i \phi}</math>
|<math>\sqrt{\tfrac{21}{64 \pi}} \sin{\theta}\left( 5 \cos^{2}{\theta} - 1\right)\,e^{-\mathrm i \phi}</math>
|-----
!class="hintergrundfarbe5"| ''m'' = 0
|<math>\sqrt{\tfrac{1}{4 \pi}}</math>
|<math>\sqrt{\tfrac{3}{4 \pi}}   \cos{\theta}</math>
|<math>\sqrt{\tfrac{5}{16 \pi}}  \left( 3 \cos^{2}{\theta} - 1 \right)</math>
|<math>\sqrt{\tfrac{7}{16 \pi}}  \left( 5 \cos^{3}{\theta} - 3 \cos{\theta}\right)</math>
|-----
!class="hintergrundfarbe5"| ''m'' = 1
|
|<math>-\sqrt{\tfrac{3}{8 \pi}}  \sin{\theta} \, e^{\mathrm i \phi}</math>
|<math>-\sqrt{\tfrac{15}{8 \pi}} \sin{\theta} \, \cos{\theta} \, e^{\mathrm i \phi}</math>
|<math>-\sqrt{\tfrac{21}{64\pi}} \sin{\theta}\left( 5 \cos^{2}{\theta} - 1\right)\,e^{\mathrm i \phi}</math>
|-----
!class="hintergrundfarbe5"| ''m'' = 2
|
|
|<math>\sqrt{\tfrac{15}{32 \pi}}  \sin^{2}{\theta} \, e^{2\mathrm i \phi}</math>
|<math>\sqrt{\tfrac{105}{32 \pi}} \sin^{2}{\theta}\cos{\theta}\,e^{2\mathrm i \phi}</math>
|-----
!class="hintergrundfarbe5"| ''m'' = 3
|
|
|
|<math>-\sqrt{\tfrac{35}{64 \pi}} \sin^{3}{\theta}\,e^{3\mathrm i \phi}</math>
|}

==Noen egenskaper==

På en kuleflate med koordinater <math> \theta, \phi </math> danner de sfærisk harmoniske funksjoner et «komplett sett». Det betyr at en vilkårlig funksjon <math> f(\theta, \phi) </math> kan utvikles i en uendelig rekke som

: <math> f(\theta,\phi) = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell C_{\ell m} \, Y_{\ell m} (\theta,\phi) </math>

hvor koeffisientene ''C''<sub>ℓ''m''</sub> kan finnes fra integralet

: <math> C_{\ell m} = \int_0^{2\pi}\!d\phi \int_0^\pi\! d\theta\,\sin\theta\, f(\theta,\phi)Y_{\ell m}^* (\theta,\phi) </math>

Dette tilsvarer å utvikle en funksjon på sirkelen som en uendelig [[Fourier-analyse|Fourier-rekke]] med ledd som involverer de [[trigonometrisk funksjon|trigonometriske funksjonene]] [[sinus]] og [[cosinus]].<ref name="Boas"> M.L. Boas, ''Mathematical Methods in the Physical Sciences'', John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.</ref>

===Addisjonsteorem===

En variant av den vanlige [[cosinussetning]]en i [[planet]] eksistrer også på en kuleflate med [[sfærisk geometri]]. Der kan man angi et punkt med enhetsvektoren '''n''' i retning punktet (''&theta;'', ''&phi;''). For to forskjellige retninger '''n''' og '''n'&thinsp;''' som danner vinkelen ''&gamma;'', gjelder da [[Sfærisk geometri#Cosinussetningen|setningen]]

: <math> \mathbf{n}\cdot\mathbf{n}' = \cos\gamma =   \cos\theta\cos\theta' +  \sin\theta\sin\theta' \cos(\phi - \phi') </math>

Ved å benytte at kuleflatefunksjonene utgjør et fullstendig sett, kan man da utlede den viktige forbindelsen

: <math> P_\ell( \mathbf{n}\cdot\mathbf{n}' ) = \frac{4\pi}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^\ell Y_{\ell m}(\mathbf{n}) \, Y_{\ell m}^*(\mathbf{n}') </math>

med [[Legendre-polynom]]. Den kalles for ''addisjonsteoremet'' for sfærisk harmoniske funksjoner og har mange anvendelser.<ref name = MW/>

==Kvantemekanikk==

En partikkel i posisjon '''r''' og med impuls '''p''' har i klassisk mekanikk [[dreieimpuls]]en '''L''' = '''r''' &times; '''p'''. I en [[kvantemekanikk|kvantemekanisk]] beskrivelse  blir impulsen erstattet med en [[Schrödinger-ligning#Bølgefunksjoner og operatorer|operator]] '''p''' &rarr; -''iħ''&thinsp;'''&nabla;''' der ''ħ&thinsp;'' er den reduserte  [[Plancks konstant|Planck-konstanten]]. På denne måten blir også dreieimpulsen en operator

: <math> \hat{\mathbf{L}} = -i\hbar\mathbf{r}\times\boldsymbol{\nabla} </math>

Den kan [[Kvantisert dreieimpuls|kvantiseres]] ved bruk av komponentene <math> \hat{L}_\pm = \hat{L}_x \pm i\hat{L}_y </math> sammen med <math> \hat{L}_z = -i\hbar(x\partial_y - y\partial_x) .</math> Ved bruk av [[kulekoordinater]] tar disse tre operatorene formen

: <math>\begin{align} \hat{L}_\pm &= \hbar\, e^{\pm i\phi} \left(\pm \frac{\partial}{\partial\theta} + i\cot\theta \frac{\partial}{\partial\phi} \right) \\  \hat{L}_z &= -i\hbar {\partial\over\partial\phi} \end{align} </math>

Kvadratet av den totale dreieimpuls finnes da som

: <math>\begin{align} \hat{\mathbf{L}}^2 &= \hat{L}_-\hat{L}_+  + \hat{L}_z^2 + \hbar\hat{L}_z\\ &= -\hbar^2\left[{1\over\sin\theta} {\partial\over\partial\theta}\left(\sin\theta{\partial\over\partial\theta}\right) + {1\over\sin^2\theta} {\partial^2\over\partial\phi^2}\right] \end{align}</math>

Fra definisjonen av kuleflatefunksjonene ser man herav at de er egenfunksjoner til de to operatorene <math> \hat{\mathbf{L}}^2 </math> og <math> \hat{L}_z, </math>

: <math>\begin{align}  \hat{\mathbf{L}}^2 Y_{\ell m} &= \hbar^2\ell(\ell + 1) Y_{\ell m}\\ \hat{L}_z Y_{\ell m} &=  \hbar m Y_{\ell m} \end{align} </math>

Indeksen ℓ er derfor et [[kvantetall]] som angir størrelsen tilden totale, kvantiserte dreieimpuls. Den blir derfor ofte omtalt som det «orbitale kvantetallet». Da indeksen ''m'' samtidig gir egenverdien til dreieimpulsen langs ''z''-aksen som ofte sammenfaller med retningen til et ytre [[magnetfelt]], kalles denne vanligvis for det «magnetiske kvantetallet».<ref name="Abers"> E.S. Abers, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education, New Jersey (2004). ISBN 0-13-146100-1. </ref>

===Rotasjonsmatriser===

En egentilstand til dreieimpulsoperatoren kan skrives som en [[Dirac-formalisme|ketvektor]] <math> |\ell,m\rangle .</math> De sfærisk harmoniske funksjonene kan da betraktes som [[bølgefunksjon]]er

: <math> Y_{\ell m}(\theta, \phi) = \langle \theta,\phi | \ell, m\rangle </math>
 
i en [[Kvantemekanikk#Posisjonsbasis|posisjonsbasis]] dannet av punkter på kuleflaten. En [[rotasjon]]  av dette koordinatsystemet er nå gitt ved den kvantemekaniske [[Kvantemekanikk#Rotasjoner og dreieimpuls|rotasjonsoperatoren]]

: <math> \hat{R} (\boldsymbol{\alpha}) = e^{-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat\mathbf{L}/\hbar} </math>

hvor '''&alpha;''' = (''&alpha;'',''&beta;'',''&gamma;'') er de tre [[Eulervinkler|eulervinklene]] som definerer rotasjonen. Bølgefunksjonene til systemet vil da forandres og finnes fra

: <math>\begin{align} Y_{\ell m}(\theta, \phi) &= \langle \theta',\phi' |\hat{R}(\boldsymbol{\alpha}) |\ell,m\rangle\\ &= \sum_{m' = -\ell}^\ell Y_{\ell m'} (\theta', \phi') D_{m' m}^{(\ell)} (\boldsymbol{\alpha}) \end{align}</math>

etter å ha innført [[rotasjonsmatrise]]ne 

: <math>  D_{m' m}^{(\ell)} (\boldsymbol{\alpha}) = \langle \ell,m' | \hat{R} (\boldsymbol{\alpha}) |\ell, m \rangle </math>

til [[Eugene Wigner]]. De kan eksplisitt beregnes for hver verdi av det orbitale kvantetallet ℓ og har [[dimensjon]] (2ℓ +1)&times;(2ℓ + 1). For ℓ = 1 kan de finnes uten bruk av kvantemekanikk da de tilsvarer rotasjon av en [[tredimensjonal]] vektor.<ref name = Abers/>

==Se også==

* [[Laplace-ligning]]
* [[Legendre-polynom]]
* [[Kvantisert dreieimpuls]]

==Referanser==
<references />

==Eksterne lenker==
* H. Haber, [http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph116C/SphericalHarmonics_12.pdf ''The Spherical Harmonics''], Phys. 116C, UC Santa Cruz  (2012).
* Professor M, [https://www.youtube.com/watch?v=5PMqf3Hj-Aw ''The Spherical Harmonics''], YouTube video
* R.G. Littlejohn, [https://bohr.physics.berkeley.edu/classes/221/1112/notes/orbamsph.pdf ''Orbital Angular Momentum and Spherical Harmonics''], Physics 221A , UC Berkeley (2019).

[[Kategori:Polynomer]]
[[Kategori: Funksjoner]]
[[Kategori: Matematiske rekker]]