Vis kilden til Simpson-integrasjon

[[Fil:Simpsons method illustration.svg|thumb|Simpson-approksimasjonen består i å erstatte funksjonen  ''y = f''(''x'') (blå) med en parabelbuei (rød) i hvert lite intervall.]]
'''Simpson-integrasjon''' er en metode i [[numerisk analyse]] til beregning av den tilnærmete verdien for det bestemte [[integral (matematikk)|integralet]] av en funksjon. Approksimasjonen består i å utføre integrasjonen over like store intervaller hvor funksjonen erstattes med [[parabel|parabelbuer]] som går gjennom intervallenes midt- og endepunkt. 

Metoden har fått sitt navn etter den engelske matematiker [[Thomas Simpson]] som beskrev den på 1700-tallet. Men dens opphav går lenger tilbake. Vel hundre år tidligere hadde [[Kepler]] gjort bruk av den til beregning av volumet til en tønne med vin. Han antok at den krumme veggen til tønnen kunne beskrives som del av en parabel. På tysk omtales derfor denne integrasjonsmetoden som ''Keplersche Fassregel'' (Keplers tønneregel).<ref> G. Hämmerlin and K-H. Hoffmann, ''Numerical Mathematics'', Springer-Verlag, New York (1991). ISBN 978-0-387-97494-1.</ref>

==Matematisk formulering==

Forandrer funksjonen ''y = f''(''x'') seg lite i det lukkete intervallet ''a'' &le; ''x'' &le; ''b'', kan man erstatte den med kun en parabelbue. Denne har ligningen {{nowrap|''y {{=}} Ax''<sup>2</sup> + ''Bx'' + ''C''}} hvor de ukjente koeffisientene bestemmes ut fra kravet om at den skal gå gjennom endepunktene og midtpunktet ''m'' = (''a + b'')/2&thinsp; til intervallet. Legges dette i punktet ''x'' = 0, finner man dermed for parabelen

: <math> y = \Big({y_0 - 2y_1 + y_2\over 2h^2}\Big) x^2 + \Big({y_2 - y_0\over 2h}\Big) x + y_1 </math>

hvor ''y''<sub>0</sub> = ''f''(''a''), ''y''<sub>1</sub> = ''f''(''m'') og ''y''<sub>2</sub> = ''f''(''b''). Kaller man lengden til intervallet ''b - a'' = 2''h'', fremkommer den tilnærmete verdien for integralet ved å integrere denne kvadratiske funksjonen fra  -''h''&thinsp; til  ''+h''. Det gir

: <math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx  \frac{h}{3}(y_0 + 4y_1 + y_2) </math>

Når integrasjonen går over et vilkårlig stort intervall, kan dette deles opp i ''n'' mindre delintervall hvor man kan benytte dette resultatet. Ved å adderere disse bidragene, kommer man frem til formelen for Simpson-integrasjon i det generelle tilfellet,

: <math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx  \frac{h}{3}(y_0 + 4y_1 + 2y_2 + 4y_3 + \cdots  + 2y_{2n-2} + 4y_{2n-1} + y_{2n}) </math>

hvor nå lengden av et delintervall er  2''h'' = (''b - a'')/''n''. Dette resultatet kan man også komme frem til etter en [[Richardson-ekstrapolasjon]] av den verdien som kommer frem ved  [[trapesintegrasjon]].

===Nøyaktighet===

Kalles den eksakte verdien av integralet for ''I''&thinsp; og Simpson-approksimasjonen for ''S'', er feilen ''E'' = ''I - S''&thinsp; i tilnærmelsen

: <math> E = - {h^4\over180}(b-a) f^{(4)}(c) </math>

hvor ''c'' er et tall i intervallet mellom ''a'' og ''b''.<ref name = BF> R.L. Burden and D.J. Faires, ''Numerical Analysis'',  Brooks/Cole, Boston (2005). ISBN 0-538-73351-9. </ref> Approksimasjonen er derfor ikke bare eksakt for funksjoner som er [[polynom]] av andre grad, men også for tredjegradspolynom som har den fjerdederiverte ''f''<sup>&thinsp;(4)</sup> = 0. Generelt blir den bedre desto mindre intervallengden ''h'' er.

==Referanser==
<references />

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Numerisk integrasjon]]
[[Kategori:Matematisk fysikk]]