Vis kilden til Spline

[[Fil:Bezier curve.svg|thumb|250px|En spesiell type spline, [[bezier kurve]]]]

En '''spline''' er i [[matematikk]] en [[funksjon (matematikk)|funksjon]] definert stykkevis av [[polynom]].

Innen data, databasert design og [[datagrafikk]] refererer spline til en delvis parametrisk [[polynomfunksjon]]. Innen disse feltene er spline en populær måte å representere [[kurve]]r på, på grunn av dens enkle konstruksjon, som likevel gir mulighet å gjennomføre komplekse en design ved hjelp av kurvetilpassing.

Terminologien spline kommer fra utstyr brukt av skipsbyggere og tegnere for å tegne glatte og jevne former. Utstyret var et langt stivt bånd festet på forskjellige punkter for å gi en ønsket form.

'''Typer spline:'''
* B-spline
* Bezier-kurve
* Bezier-spline
* Hermite-spline
* Kubisk spline
* Naturlig spline
* Periodisk spline

Spline brukes også som navn på en slags bøyelig «linjal» for å tegne kurver. Denne typen verktøy har også navnet '''ri''' på norsk.<ref>{{Kilde www|url=https://www.apollon.uio.no/artikler/1999/splines.html|tittel=Osloalgoritmen mer vellykket enn Osloavtalen - Apollon}}</ref>

== Definisjon ==

=== Spline ===
Spline er en funksjon:

:<math>S(t):[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math>

består '''stykkevis av polynomer''':

:<math>P_{i}(t):[ t_i , t_{i+1}) \rightarrow \mathbb{R}</math>

hvor

:<math>a = t_0 < t_1 < ... < t_{k-2} < t_{k-1} = b \mathbb{}</math>

og vi får '''splinefunksjonen'''

:<math>S(t)=\begin{cases}
P_0(t) \quad &, \quad t_0 \leq t < t_1\\
P_1(t) \quad &, \quad t_1 \leq t < t_2\\
\quad ... &, \quad ...\\
P_{k-2}(t) \quad &, \quad t_{k-2} \leq t < t_{k-1}
\end{cases}
</math>

=== Skjøter ===

Alle de <math>k</math> '''skjøtene''' <math>t_i</math> (også kalt knutene) samles i en '''skjøtevektor'''

:<math>\vec{t} = (t_0, t_1, ..., t_{k-1})</math>

Hvis avstanden mellom skjøtene er spredd jevnt i intervallet <math>[a,b]</math>, sier vi at splinen er '''uniform''', ellers '''ikke-uniform'''.

=== Splinens grad ===

Hvis alle polynomene <math>P_i</math> har grad n, sier vi at splinen er av '''grad''' <math>\leq n</math>

=== Glatthet <math>C^{r_i}</math> og glatthetsvektor===

Hvis <math>S(t)\in C^{r_i}</math> befinner seg i nabolaget til <math>t_i</math>, sies splinen å være av glatthet (minst) <math>C^{r_i}</math> ved <math>t_i</math>. Dette betyr at de to delene <math>\{ P_{i-1}, P_{1} \}</math> deler felles deriverte fra orden null (funksjonsverdi) og opp til orden <math>r_i</math>.

Vektoren
:<math>\vec{r}= (r_1, r_2, ..., r_{k-2} )</math>
er slik at splinen har glatthet <math>C^{r_i}</math> ved <math>t_i</math> for <math>0 < i < k-1</math>, og kalles '''splinens glatthetsvektor'''.

==Eksempler==
Anta at intervallet [''a'',''b''] er [0,3], og delintervallene
er [0,1), [1,2), og [2,3]. Anta at de stykkvise polynomene er av
grad 2, og stykkene [0,1) og [1,2) må møtes i verdi og 1.derivert. (her må
de altså møtes ved t=1). Stykkene [1,2) og [2,3) møtes i verdi t=2 .

Dette definere en type spline <math>S(t)</math> hvor
:<math>S(t)=\begin{cases}
P_0 (t) = -1+4t-t^2 &\mbox{ , } 0 \leq t < 1\\
P_1 (t) = 2t &\mbox{ , } 1 \leq t < 2\\
P_2 (t) = 2-t+t^2 &\mbox{ , } 2 \leq t \le 3
\end{cases}
</math>
vil være medlem av den typen, og
:<math>S(t)=\begin{cases}
P_0 (t) = -2-2t^2 &\mbox{ , } 0 \le t < 1\\
P_1 (t) = 1-6t+t^2 &\mbox{ , } 1 \le t < 2\\
P_2 (t) = -1+t-2t^2 &\mbox{ , } 2 \le t \le 3
\end{cases}
</math>
vil også være medlem av typen.

(Polynomet <math>2t</math> er fortsatt av andre grad fordi det kan skrives <math>0 + 2t + 0t^2</math>)

Skjøtvektoren til denne typen av spline er her
:<math>\vec{t} = (0, 1, 2, 3)</math>

Den enkleste splinen har grad 0, og den er en '''stegfunksjon'''.

Den nest enkleste splinen har grad 1, og er også kalt en '''lineær spline'''. 

En vanlig brukt spline er den naturlige kubiske spline som har grad 3 og kontinuitet 
<math>C^2</math>.
''Naturlig'' betyr i denne sammenhengen at splinen velges slik at den andrederiverte av splinepolynomene er null på endepunktene av interpoleringens intervall
:<math>S''(a) \, = S''(b) = 0</math>.
Dette tvinger splinen til å være en rett linje utenfor intervallet og at kurven alle steder er glatt.

== Referanser ==
<references />

== Eksterne lenker ==
* [https://titan.uio.no/node/3389/ 40 år med algoritmen du ikke vet om, men som alle bruker] {{Wayback|url=https://titan.uio.no/node/3389/ |date=20190927145251 }}

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Polynomer]]
[[Kategori:Numerisk analyse]]