Vis kilden til Symmetrisk matrise

{{kildeløs}}
Ei '''symmetrisk matrise''' er ei [[matrise]] som er lik [[Matrise#Transponering|transponeringa]] si. Formelt er ei matrise M symmetrisk hvis og bare hvis <math>M=M^T</math>. Bare kvadratmatriser, altså matriser med like mange kolonner som rader, kan være symmetriske.  

== Eksempel ==
<math>
M =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 5 \\
3 & 5 & 6
\end{pmatrix}
</math>

Matrisa M er symmetrisk siden <math>M=M^T</math>.

Følgende matrise A vil derimot ikke være symmetrisk:

<math>
A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 \\
3 & 4 & 5 \\
3 & 1 & 6
\end{pmatrix}
,~~
A^T =
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 3 \\
2 & 4 & 1 \\
2 & 5 & 6
\end{pmatrix}
,~~ A \ne A^T.
</math>

== Egenskaper ==
Ei [[Reelt tall|reell]] symmetrisk matrise har noen spesielle egenskaper utover ei vanlig matrise. Følgende egenskaper følger fra [[spektralteoremet]] for symmetriske matriser
* [[Egenvektor|Egenvektorer]] tilhørende forskjellige egenverdier er [[Ortogonalitet|ortogonale]]
* Det vil være n reelle [[Egenverdi|egenverdier]] gitt at matrisa er av dimensjon n x n. 
* Dimensjonen av egenrommet for en egenverdi <math>\lambda</math> er det samme som [[Multiplisitet|multiplisiteten]] av rota <math>\lambda</math> i det [[karakteristiske polynomet]]
* Ei symmetrisk matrise vil alltid være [[Diagonalisering|diagonaliserbar]]

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Matriser]]