Vis kilden til Varians

'''Varians''' er et mål på variasjon.

== Teoretisk varians ==

''Teoretisk varians'' er et mål på den underliggende variasjonen i en [[statistisk fordeling]]. Teoretisk varians noteres ofte som <math>\sigma^2</math>. For en [[stokastisk variabel]] <math>X</math> er variansen definert som

:<math>\sigma^2 = \operatorname{Var}[X] = E[(X - E[X])^2]</math>

der <math>E[\cdot]</math> er [[forventning]]. Varians er altså forventet kvadratavvik fra forventningen.

Dersom det er flere varianser involvert i et uttrykk eller en utledning, er det normalt å notere den teoretiske variansen til <math>X</math> som for eksempel <math>\sigma_X^2</math> for å vise hvilken variabel variansen refererer til.

== Empirisk varians ==

''Empirisk varians'', også kalt ''utvalgsvarians'', er et mål på variasjonen i et [[utvalg]] fra en statistisk fordeling. Den empiriske variansen er et [[estimat]] av den teoretiske variansen. Empirisk varians noteres ofte som <math>s^2</math>. Den vanligste [[estimator]]en for varians er

:<math>{s^2} = {{\hat \sigma }^2} = \widehat {{\operatorname{Var}\nolimits} }[X] = {1 \over {n - 1}}\sum\limits_{i = 1}^n {{{({x_i} - {{\bar x}_n})}^2}}</math>

der <math>x_i</math> er hver observasjon og <math>\bar{x}_n</math> er [[gjennomsnitt]]et av de <math>n</math> observasjonene.

Dersom det er flere varianser involvert i et uttrykk eller en utledning, er det normalt å notere den empiriske variansen til <math>X</math> som for eksempel <math>s_X^2</math> for å vise hvilken variabel variansen refererer til.

I praksis regnes variansen ut ved at en først regner ut gjennomsnittet av alle observasjonene, deretter legger du sammen kvadratene av forskjellen mellom hver observasjon og dette gjennomsnittet. Denne summen deles på tallet som er én mindre enn antall observasjoner.

Dersom du derimot kjenner hele populasjonen, kan du regne ut den virkelige variansen (altså ikke et estimat) ved formelen
:<math>\sigma^2 = \operatorname{Var}[X] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x}_n)^2</math>

== Egenskaper ==

Den positive kvadratroten til variansen er [[standardavvik]]et. På mange kalkulatorer og i de fleste regneark (f.eks. OpenOffice Calc) vil det være en egen funksjon til å regne ut begge disse verdiene.

Dersom <math>a</math> og <math>b</math> er to vilkårlige konstanter og <math>X</math> er en stokastiske variabel gjelder
:<math>\operatorname{Var}[aX + b] = a^2\operatorname{Var}[X]</math>

{{statistikk}}
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Moment (matematikk)]]
[[Kategori:Statistisk avvik og spredning]]