Vis kilden til Vinkel

En '''vinkel''' er den figuren (eller formen) som formes av to [[linje#stråle|stråler]] fra et felles punkt, av to [[Plan (matematikk)|plan]] som skjærer hverandre langs en felles linje eller av en rett linje som skjærer et plan.<ref name=COLLINS/> 
I [[matematikk]] kan en vinkel også generaliseres som et abstrakt begrep, i et [[indreprodukt]]rom.

Vinkler brukes i mange praktiske anvendelser og måles da vanligvis i [[grad (vinkel)|grader]].  I matematikk studeres vinkler i emner som [[geometri]] og [[trigonometri]], og måleenheten er ofte [[radian]]er.

== Grunnleggende begrep for vinkler i planet ==

En vinkel i et plan er bestemt av to stråler, kalt ''vinkelbein''.  De to strålene starter i et felles punkt, kalt vinkelens ''toppunkt'' eller ''vinkelspiss''.

Dersom vinkelens toppunkt er ''O'', og ''A'' og ''B'' er punkt på hver av de to strålene som danner vinkelen, så betegner en i geometri vinkelen ved ''AOB'' eller <math>\angle \,</math>''AOB''.  
Er det kun én vinkel med toppunkt i ''O'', så kan vinkelen betegnes entydig med <math>\angle</math>''O''.  Vinkler kan også gis egne navn, som <math>u</math>, <math>v</math> og <math>w</math>.

I figurer markerer en gjerne vinkler ved hjelp av små sirkelbuer.  En [[rett vinkel]] markeres ved å tegne et lite kvadrat med hjørne i toppunktet og to av sidene langs vinkelbeina.

Vinkelen sies å ''spenne ut'' en sirkel[[bue]], når denne har sentrum i vinkelens toppunkt og start- og sluttpunkt på vinkelbeina.

Vinkler kan tegnes ved hjelp av ulike måleinstrumenter. I klassisk geometri tillater en kun hjelpemidlene passer og linjal<ref name=UIA/>, og 
en vinkel tegnet med disse hjelpemidlene sies å være ''konstruert''.  Ikke alle vinkler lar seg konstruere.

== Vinkelmål ==
[[Fil:Circ5.png|thumb|Vinkelen ''α'' er proporsjonal med buelengden når radien er gitt.]] 
Definisjon av måleenheter for vinkler tar utgangspunkt i en sirkelbue utspent av vinkelen.  Et generelt mål <math>\alpha</math> for en vinkel med toppunkt i ''O'' og
med vinkelbein ''OA'' og ''OB'' kan defineres med formelen

:<math> \alpha = k \frac{s}{r} ,</math>

der <math>k</math> er en konstant, <math>s</math> er lengden av den sirkelbuen ''AB'' og <math>r</math> er radien i sirkelbuen.  [[Buelengde]]n til en full sirkel er <math>2 \pi r</math>, slik at vinkel som
utspenner en brøkdel <math>b</math> av sirkelen vil ha vinkelmål

:<math> \alpha = 2 k b \pi </math>

Vinkelmålene er dermed uavhengig av radien på sirkelbuen som brukes til å bestemme vinkelen.

Ulike valg av konstanten <math>k</math> gir ulike definisjoner av måleenheten.

=== Omdreininger ===

En komplett sirkel kan defineres til å svare til en vinkel på 1 ''omdreining'', det vil si at vinkelmålet <math>\alpha = b</math> svarer til brøken mellom den utspente sirkelbuen og hele sirkellengden.

=== Radianer === 
I matematikk brukes ofte vinkelmålet [[radian]]er. For denne måleenheten er <math>k = 1</math>, og en vinkel som spenner ut en hel sirkel har vinkelmål <math>2\pi</math>:

:<math> \alpha = \frac{s}{r} </math>

Siden måleenheten ikke avhenger av en tilfeldig valgt konstant <math>k</math>, kalles radianer for et ''absolutt'' vinkelmål.<ref name=UIA/> 
Radianer er [[SI-systemet|SI]]-systemets enhet for vinkelmål.

=== Grader ===
I praktiske anvendelser måles vinkler ofte i ''[[Grad (vinkel)|grader]]'', forkortes som '''°'''.  En vinkel som spenner ut en hel sirkel er bestemt til å være 360'''°'''.  
Vinkelmål-konstanten er definert til <math>k = 360 / 2 \pi = 180 /  \pi</math>, slik at vinkelmålet er

:<math> \alpha = \frac{180s}{\pi r} .</math>

En grad kan deles inn i 60 minutter ('''&prime;'''), og et minutt kan deles inn i 60 sekunder ('''&Prime;'''). For å skille mellom vinkelmålene og tidsenhetene brukes ofte forstavelsen «bue», 
slik at enhetene blir ''[[bueminutt]]'' og ''[[buesekund]]''.

=== Gon ===
Et nyere vinkelmål er ''[[gon]]'' eller ''gradianer'', tidligere kalt ''nygrader''. Enheten forkortes som <sup>g</sup>).  En full sirkel er bestemt til å være 400 gon. 
Dette gir konstanten <math>k = 400 / 2 \pi = 200/ \pi</math>.

Motivasjonen var et ønske om å ha et vinkelmål basert på titallssystemet, med en rett vinkel svarende til 100 gon.

=== Timer ===
For måling av visse typer vinkler på himmelen brukes i [[astonomi]] en inndeling av sirkelen i 24 ''timer''.  Dette vinkelmålet brukes til himmelkoordinatene
[[timevinkel]] og [[rektascensjon]], som begge måles i timer, minutter og sekunder. 
En time tilsvarer 15'''°''' og 1'''°''' tilsvarer 4 minutter. Disse minuttene og sekundene må ikke forveksles med bueminutter og buesekunder, som er brøkdeler av én grad.

Koblingen mellom tid og vinkel kommer av at solens timevinkel tilsvarer tiden som er gått siden den sist stod i syd.

== Vinkelverktøy ==
[[Fil:Protractor Rapporteur Degrees V3.jpg|thumb|Transportør til måling og tegning av vinkler]]

En rett vinkel kan tegnes ved hjelp av en [[vinkelhake]].

Et verktøy for måling av vilkårlige vinkler kalles generelt et [[goniometer]].  Det finnes mange slike instrument laget for spesielle formål, for eksempel til bruk i medisin og i krystallografi.

Til bruk i sløyd og snekkerarbeid finnes det vinkelmålere med faste eller stillbare vinkler, for eksempel i form av en trekant.  
En ''smygvinkel'' er en stillbar vinkelhake som kan brukes til å overføre en vinkel fra en tegning til noe som en arbeider med.  I dag finnes det også et utvalg av digitale vinkelmålere.

En [[gradskive]] eller transportør er en halv- eller helsirkel i plast, tre eller metall.  Gradeinndeling gjør at denne kan brukes til å tegne eller måle vinkler.

I navigasjon kan en bruke en [[sekstant]] for å måle vinkelen mellom et himmellegeme, vanligvis sola, og horisonten.

== Vinkeltyper ==

=== Enkeltstående vinkler ===

* En ''rett'' vinkel er en vinkel på 90'''&deg;'''. 
* En ''skrå'' vinkel er en vinkel som ikke er rett.  
* En ''spiss'' vinkel er en vinkel som er mindre enn 90'''&deg;'''.
* En ''stump'' eller ''butt'' vinkel er en vinkel som er større enn 90'''&deg;'''.
* En ''konkav'' vinkel er en vinkel som er mindre en 180'''&deg;'''.<ref name=BM/>
* En ''konveks'' vinkel er en vinkel som er større en 180'''&deg;'''.<ref name=BM/>
* En ''perigon'' er en vinkel på 360'''&deg;'''.
* En ''sentralvinkel'' har toppunkt i sentrum av en sirkel.  
* En ''[[periferivinkel]]'' har toppunkt på omkretsen av en sirkel.

{|
|- style="vertical-align: top;" 
|[[Fil:Right_angle.svg|thumb|none|x150px|Rett vinkel]]
|[[Fil:Angle acute.svg|thumb|none|x150px|Spiss vinkel]]
|[[Fil:Angle obtuse.svg|thumb|none|x150px|Stump vinkel]]
|[[Fil:Reflex angle.svg|thumb|none|x150px|Konveks vinkel]]
|[[Fil:Central angle.png|thumb|none|x150px|Sentralvinkel]]
|[[Fil:Angle inscribed1.svg|thumb|none|x150px|Periferivinkel]]
|}

=== Vinkelpar ===

* ''Nabovinkler'' er to vinkler som har felles toppunkt og også et felles vinkelbein.
* ''[[Komplementvinkler]]'' er nabovinkler som til sammen utgjør 90'''°'''.  Når to vinkler ''a'' og ''b'' er komplementvinkler, så er ''a'' komplement til ''b'' og også omvendt.
* ''[[Supplementvinkler]]'' er nabovinkler som til sammen utgjør 180'''°'''.
* ''[[Eksplementvinkler]]'' er nabovinkler som til sammen utgjør 360'''°'''.
* ''Toppvinkler'' er to like vinkler som dannes av de samme to linjene, med et felles toppunkt.

{|
|- style="vertical-align: top;" 
|[[Fil:Adjacentangles.svg|thumb|x150px|Nabovinkler]]
|[[Fil:Complement angle.svg|thumb|x150px|Komplementvinkler]]
|[[Fil:Supplementary angles2.png|thumb|x150px|Supplementvinkler]]
|}

=== Vinkler knyttet til polygon ===

Til et enkelt [[polygon]] (mangekant) er det knyttet

* En ''indre'' vinkel er vinkelen mellom to sider inne i polygonet.  
* En ''ytre'' vinkel er vinkelen mellom en side og forlengningen av en annen side, målt på utsiden av polygonet.  En ytre vinkel er supplementær til en indre vinkel, og omvendt.

{|
|- style="vertical-align: top;" 
|[[Fil:Interior and exterior angle qtl1.svg|thumb|left|x150px|Indre vinkel (blå) og ytre vinkel (grønn) i en trekant]]
|}

== Positive og negative vinkler ==
[[Fil:Positive, negative angle.svg|right|thumb|Positiv og negativ vinkel]]
Definisjonen av vinkelmålet resulterer bare i ikke-negative vinkler.  Ofte tar en i bruk en tilleggskonvensjon som bestemmer et fortegn til vinkelen.  Fortegnet blir bestemt ut fra
orientering til vinkelbeina.  For matematikk i planet blir ett av vinkelbeina definert som referanse, og vinkelen er positiv dersom dette beinet må rotere  ''mot klokka'' langs sirkelbuen i vinkelen, 
for å møte det andre vinkelbeinet.  Må en rotere ''med'' klokka, så er vinkelen negativ.

I navigasjon og landmåling regnes vinkelen [[asimut]] fra nord og positiv i retning ''med'' klokka.

I mange sammenhenger er en vinkel i radianer <math>v</math> identisk med vinkelen <math>(2n\pi - v)</math>, der <math>n</math> er et vilkårlig helt tall.  I slike sammenhenger vil for eksempel
vinkelen <math>(-\pi)</math> være identisk med vinkelen <math>\pi</math>, et eksempel på [[modulær aritmetikk]].

I det tredimensjonale rommet har begrepet «rotasjon mot klokka» ingen entydig mening. Fortegnet til en vinkel kan defineres relativt til det planet som vinkelen ligger i, forutsatt at dette
planet kan orienteres på en entydig måte.

I [[analytisk geometri]] kan fortegnet til en vinkel defineres ut fra skalarproduktet mellom to vektorer som definerer vinkelbeina.

== Vinkler i euklidsk geometri ==

I [[euklidsk geometri]] i planet og rommet kan vinkelen mellom to [[vektor]]er bestemes fra [[indreprodukt|skalarproduktet]] mellom vektorene.  Gitt to vektorer i <math>\mathbf{R}^3</math> som
<math>\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)</math> og <math>\mathbf{w} = (w_1, w_2, w_3)</math>.  Vinkelen <math>\alpha</math> mellom disse er gitt ved

:<math>
\begin{alignat}{2}
\cos \alpha &= \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} } { |\mathbf{v}| |\mathbf{w}| } \\[5pt]
 &= \frac{v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3}{ \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \sqrt{w_1^2 + w_2^2 + w_3^2} }
\end{alignat}
</math>

[[Cauchy–Schwarz’ ulikhet]] sikrer at dette uttrykket alltid definerer en vinkel.

De to vektorene står normalt på hverandre når skalarproduktet er lik null: <math>\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0</math>.  Dette kan også uttrykkes som at vektorene er [[ortogonalitet|ortogonale]] 
eller perpendikulære.

=== Vinkelen mellom to kurver ===
[[Fil:Curve angles.svg|right|thumb|Vinkelen mellom to kurver definert ved tangentene i skjæringspunktet]] 
Vinkelen mellom to [[kurve]]r som skjærer hverandre i et punkt ''P'' er definert som vinkelen mellom [[tangent]]ene til de to kurvene i ''P''.

=== Vinkelen mellom en linje og et plan ===

Vinkelen mellom en linje og et plan er definert som vinkelen mellom linjen og [[projeksjon (matematikk)|projeksjonen]] av linjen i planet.  Linjen står normalt på planet dersom projeksjonen av linjen er et punkt.

=== Vinkelen mellom to plan ===

Vinkelen mellom to plan som har en felles skjæringslinje kalles [[dihedral vinkel]] og defineres til å være lik vinkelen mellom normalene til de to planene.

== Generalisering til generelle indreproduktrom ==

Vinkelbegrepet kan generaliseres til et generelt [[indreprodukt]]rom, ved at vinkelen <math>\alpha</math> mellom to vektorer i rommet <math>\mathbf{v}</math> og <math>\mathbf{w}</math> defineres ved<ref name=MILNE/>

:<math>\cos\alpha=\frac{\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle}{\|\mathbf{v}\|\|\mathbf{w}\|}</math>.

Her er <math>\langle \cdot \, ,\cdot \rangle</math> indreproduktet og <math>\| \cdot \|</math> normen i rommet.  Som for vektorer i euklidske rom sier en at vektorene er ''ortogonale'' dersom vinkelen mellom dem er lik null.

Med en vinkeldefinisjonan i et generelt indreproduktrom kan en snakke om vinkler også for andre objekter enn geometriske: det er for 
eksempel mulig å definere vinkler mellom [[Funksjon (matematikk)|funksjoner]].  Ortogonale funksjoner spiller en viktig rolle i [[interpolasjon]]steori.

== Etymologi ==
 
Ordet «vinkel» har opphav i det tyske ordet «winkel», som igjen stammer fra gammel høytysk «winkil», med betydning «være bøyet».<ref name=ETYM/>  
Ordet er i slekt med de norske ordet «vinke» og det engelse «wink» - å blinke.

Det gresek ordet «gonia» ble brukt om en vinkel eller et hjørne, og stavelsen «gon» finnes både i måleenheten for vinkler og som ledd i ord som goniometer, polygon og trigonometri.<ref name=TERM/>

Det latinske ordet «norma» betegnet en vinkelhake, brukt av håndverkere for å lage rette vinkler, og vi har arvet dette
ordet i vår bruk av «normal» om en rett linje som står vinkelrett på en annen linje.<ref name=TERM/>

== Se også ==

* [[Angrepsvinkel]]
* [[Asimut]]
* [[Stigning]]
* [[Vinkelavstand]]
* [[Vinkelfrekvens]]
* [[Vinkelhastighet]]
* [[Vinkelens tredeling]]
;Verktøy
* [[Vinkelsliper]]
* [[Vinkelhake]]

== Referanser ==

<references>

<ref name=COLLINS>{{Kilde bok
| ref=                                                 
| forfatter=E.J.Borowski, J.M.Borwein
| redaktør=
| utgivelsesår=1989
| artikkel=
| tittel=Dictionary of mathematics
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted=Glasgow
| forlag=Collins
| side=
| isbn=0-00-434347-6
| id=
| kommentar=
| url= }}  [''Angle'']
</ref>

<ref name=UIA>{{Kilde bok
| ref=UIA
| forfatter=Byrge Birkeland, Trygve Breiteig, Hans Erik Borgersen
| redaktør=
| utgivelsesår=2009
| artikkel=
| tittel=MA-132 Geometri.  Kompendium
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted=Kristiansand
| forlag=Universitetet i Agder
| side=
| isbn=
| id=
| kommentar=
| url=https://kurs.uia.no/ma-132/Kompendium2009_171208.pdf
| bot=
| besøksdato=2019-12-13
| arkiv-dato=2019-12-06
| arkiv-url=https://web.archive.org/web/20191206105911/https://kurs.uia.no/ma-132/Kompendium2009_171208.pdf
| url-status=yes
}}</ref>

<ref name=BM>{{Kilde bok
| ref=
| forfatter=
| redaktør=Bjørghild Kjelsvik
| utgivelsesår=2016
| artikkel=
| tittel=Bokmålsordboka
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted=
| forlag=Universitetet i Bergen
| side=
| isbn=
| id=
| kommentar=
| url=https://ordbok.uib.no/vinkel
|bot= 
}} [Vinkel]
</ref>

<ref name=MILNE>
{{Kilde bok
| ref=MILNE
| forfatter= Ronald Douglas Milne
| redaktør= 
| utgivelsesår=1980
| artikkel=
| tittel=Applied functional analysis, an introductory treatment
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= London
| forlag= Pitman Publishing Limited
| side=
| isbn=0-273-08404-6
| id=
| kommentar= 
| url= }} s.185
</ref>

<ref name=TERM>
{{Kilde bok
| ref=
| forfatter= Steven Schwartzman
| redaktør= 
| utgivelsesår=1994
| artikkel=
| tittel=The words of mathematics.  An etymological dictionary of mathematical terms used in English.
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= Washington, DC
| forlag= The Mathematical Association of America
| side=
| isbn= 0-88385-511-9
| id=
| kommentar= 
| url= }}
</ref>

<ref name=ETYM>
{{Kilde bok
| ref=
| forfatter=Yann de Caprona
| redaktør= 
| utgivelsesår=2013
| artikkel=
| tittel=Norsk etymologisk ordbok
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= Oslo
| forlag=Kagge forlag
| side=
| isbn=978-82-489-1054-1
| id=
| kommentar= 
| url= }}
</ref>

</references>

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Vinkler]]
[[Kategori:1000 artikler enhver Wikipedia bør ha]]