Kronecker-delta

Mal:Kildeløs Det matematiske symbolet Kronecker-delta ${\delta }_{ij}$, som var innført av Leopold Kronecker, er en funksjon av to variabler. Kalles også Kronecker-symbol og delta-funksjon.

Definisjon

Kronecker-delta er definert som:

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& \text{for }i=j\\ 0& \text{for }i\ne j\end{array}$

hvor i og j er elementer i en mengde $I$.

Egenskaper

Kronecker-delta er ofte skrevet som

$\delta ={\mathrm{1}}_D:I\times I\to \{0,1\}$,

når den står for den karakteristisk funksjonen ${\mathrm{1}}_D$ i en diagonalmengde.

$D=\{(i,j)\in I\times I:i=j\}$.

For kontinuerlige indekser går Kronecker-delta over i Diracs deltafunksjon.

Eksempel på bruk

Innen lineær algebra er symbolet brukt for å uttrykka enhetsmatrisen $n\times n$ som $({\delta }_{ij})$ med $1\le i,j\le n$. En 3x3 enhetsmatrise kan uttrykkes som:

$({\delta }_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

Kronecker-delta kan brukes for å uttrykke skalarproduktet av to orthonormale vektorer:

$e_1,\dots ,e_n$ som $⟨e_i,e_j⟩={\delta }_{ij}$.

Innen signalbehandling og reguleringsteknikk er symbolet brukt for å representere en impuls:

$\delta (n)=\{\begin{array}{cc}1,& n=0\\ 0,& n\ne 0\end{array}$