Symmetrisk matrise

Mal:Kildeløs Ei symmetrisk matrise er ei matrise som er lik transponeringa si. Formelt er ei matrise M symmetrisk hvis og bare hvis $M=M^T$. Bare kvadratmatriser, altså matriser med like mange kolonner som rader, kan være symmetriske.

Eksempel

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 5\\ 3& 5& 6\end{array}\right)$

Matrisa M er symmetrisk siden $M=M^T$.

Følgende matrise A vil derimot ikke være symmetrisk:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 3& 4& 5\\ 3& 1& 6\end{array}\right),A^T=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 3\\ 2& 4& 1\\ 2& 5& 6\end{array}\right),A\ne A^T.$

Egenskaper

Ei reell symmetrisk matrise har noen spesielle egenskaper utover ei vanlig matrise. Følgende egenskaper følger fra spektralteoremet for symmetriske matriser

• Egenvektorer tilhørende forskjellige egenverdier er ortogonale
• Det vil være n reelle egenverdier gitt at matrisa er av dimensjon n x n.
• Dimensjonen av egenrommet for en egenverdi $\lambda$ er det samme som multiplisiteten av rota $\lambda$ i det karakteristiske polynomet
• Ei symmetrisk matrise vil alltid være diagonaliserbar