Polarkoordinatsystem

To punkter med tilhørende koordinatsett angitt med polarkoordinater

Et polarkoordinatsystem er et koordinatsystem hvor hvert punkt i et plan er bestemt ut ifra avstanden fra et gitt punkt (vanligvis origo) og vinkel i forhold til X-aksen. I et vanlig kartesisk koordinatsystem blir punktene bestemt ut ifra avstanden til hver koordinatakse.

Prinsippet i polarkoordinater er at man angir alle punkter ved hjelp av følgende informasjon:

• Punktets vinkel (grader eller radianer ) i forhold til hva man ville kalle x-aksen i et rektangulært koordinatsystem, θ.
• Punktets avstand fra origo, r.

Konvertering mellom polare og kartesiske koordinater

Et diagram som viser forholdet mellom polare og karteiske koordinater.

Omregning polarkoordinater til kartesiske koordinater kan gjøres ved:

$x=r\cos \theta$

$y=r\sin \theta ,$

Mens omregningen fra karteiske koordinater til poolarkoordinater kan gjøres ved:

$r=\sqrt{y^2+x^2}$ (Gitt ved Pythagoras’ læresetning), og

$\theta =\{\begin{array}{cc}0& \text{hvis }x=0\text{ og }y=0\\ \arcsin (\frac{y}{r})& \text{hvis }x\ge 0\\ \arcsin (\frac{y}{r})+\pi & \text{hvis }x<0\end{array}$

Alle disse formlene forutsetter at referansepunktet for polarkoordinatsystemet er origo. Arcsinfunksjonen er den inverse funksjonen til sinusfunksjonen og gir en løsning i intervallet [−π/2,+π/2], så formelen for θ vil gi en løsning i intervallet [−π/2,+π/2]. Dersom man vil finne θ i intervallet [0, 2π) kan man også bruke:

$\theta =\{\begin{array}{cc}\arctan (\frac{y}{x})& \text{hvis }x>0\text{ og }y\ge 0\\ \arctan (\frac{y}{x})+2\pi & \text{hvis }x>0\text{ og }y<0\\ \arctan (\frac{y}{x})+\pi & \text{hvis }x<0\\ \frac{\pi }{2}& \text{hvis }x=0\text{ og }y>0\\ \frac{3\pi }{2}& \text{hvis }x=0\text{ og }y<0\\ 0& \text{hvis }x=0\text{ og }y=0\end{array}$

Anvendelse av polarkoordinater

En sirkel

En ligning uttrykt i polarkoordinater er kjent som en polar ligning. Normalt er disse ligningene gitt ved å definere r som en funksjon av θ. Denne definisjonen gir visse fordeler i anvendelsen av polarkoordinater i forhold til hva man kan oppnå med rektangulære. Særlig fordelaktig er det å bruke polarkoordinater hvor det inngår noe sirkulært. Det enklest tenkelige eksempel er å fremstille en sirkel. Her er definisjonen av en sirkel med radius 1.

$\begin{array}{c}x=r\cdot \cos \theta \\ y=r\cdot \sin \theta \end{array}\},r=1,\theta \in [0,2\pi ]$

Lengden til det bevegelige punktet, settes altså konstant til å være lik én, som altså er avstanden fra origo til periferien. Deretter settes vinkelen til å variere mellom 0 og 2π eksklusiv (eller 0 og 360° i vinkler), hvor hele sirklen er med.

Arkimedisk spiral

En arm av en arkimedisk spiral ligningen r(θ) = θ for 0 < θ < 6π

En arkimedisk spiral er en spiral som ble oppdaget av Arkimedes, som kan forklares med polarkoordinater. Spiralen har formelen

$r(\theta )=a+b\theta .$

Ved å forandre a vil spiralen skifte form, mens b er distansen mellom kurvene, som for en gitt spiral alltid er konstant. Den Arkimediske spiralen har to kurver, en for θ > 0 og en for θ < 0. De to kurvene starter i origo. Sett bort fra kjeglesnittene var denne kurven blant de første til å bli beskrevet. Kurven er også et godt eksempel på kurver som blir best beskrevet med polarkoordinater.

Polar rose

En polar rose med ligning: Mal:Nowrap

En polar rose er en matematisk kurve som ser ut som en blomst med kronblader, denne kan defineres som en enkel polar ligning.

$r(\theta )=a\cos (k\theta +{\varphi }_0)$

For enhver konstant ${\varphi }_0$ (Inkludert 0). Dersom k er et heltall vil disse ligningene gi kurver hvor «blomsten» har k kronblader når k er et oddetall og 2k kronblader når k er et partall. Dersom k er et rasjonalt tall, men ikke et heltall vil man også få frem en blomst hvor kronbladene overlapper hverandre. Her må imidlertid definisjonsintervallet for kurven være større enn [0, 2π) for at «blomsten» skal bli komplett. Merk at det er umulig å definere en kurve hvor man får $4n+2$, hvor n er et heltall, kronblader. Variabelen a angir lengden på kronbladene.

Kjeglesnitt

Alle kjeglesnittene kan også uttrykkes ved hjelp av polarkoordinater gjennom formelen:

$r=\frac{p}{1+e\cos \theta }$

Hvor e er eksentrisiteten og p er semi latus rectum

Derson Mal:Nowrap, vil ligningen gi en hyperbel; Mal:Nowrap gir en parabel mens Mal:Nowrap gir oss en ellipse. Spesialtilfellet Mal:Nowrap vil gi en sirkel mad radius p.

Anvendelse i tre dimensjoner

Polarkoordinater kan også anvendes til bruk i tre dimensjoner. Kulekoordinater og sylinderkoordinater inneholder begge polarkoordinatplanet, utvidet med en ekstra akse. De er viktige eksempel på mer generelle, krumlinjete koordinater.

Sylinderkoordinater

Punktet P plottet med sylinderkoordinater

Sylinderkoordinater systemet er en utvidelse av polarkoordinater med en ekstra z-akse, på samme måte som det kartesiske koordinatsytemet i tre dimensjoner. Den tredje koordinaten er vanligvis uttrykt med en h eller en z, som beskriver høyden til det øvre planet i sylinderen. Alle tre koordinatene blir da skrevet (r, θ, z).

Sammenhengen mellom de tre sylinderkoordinatene og de respektive kartesiske koordinatene blir

$\begin{array}{cc}x& =r\cos \theta \\ y& =r\sin \theta \\ z& =z.\end{array}$

Kulekoordinater

Punktet P angitt ved kulekoordinater.

Kulekoordinatsystemet er et koordinatsystem basert på polarkoordinater. Kulekoordinater skiller seg fra polarkoordinater ved at høyden fra xy-planet blir beskrevet av en vinkel φ fra z-aksen. Avstanden fra origo er ρ slik at radien i xy-planet blir r = ρ sinφ. Vinkelen φ varierer med en størrelsene 0°-180° eller 0-π radianer. De tre koordinatene blir da skrevet (ρ, θ, φ).

Sammenhengen mellom de tre kulekoordinatene og de respektive kartesiske koordinatene er dermed

$\begin{array}{cc}x& =\rho \sin \phi \cos \theta \\ y& =\rho \sin \phi \sin \theta \\ z& =\rho \cos \phi .\end{array}$

Betegnelsene for disse tre koordinatene varierer. I fysikk og mer praktiske anvendelser er det vanlig å bytte navnene til de to vinklene. Ofte blir også avstanden fra origo gitt ved r i stedet for ρ slik at de kartesiske koordinatene kan skrives som

$\begin{array}{cc}x& =r\sin \theta \cos \phi \\ y& =r\sin \theta \sin \phi \\ z& =r\cos \theta .\end{array}$

Litteratur

• J. Mathews and R.L. Walker, Mathematical Methods of Physics, W.A. Benjamin, New York (1970). ISBN 0-8053-7002-1.
• M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.

Mal:Autoritetsdata