Banach-rom

Et Banach-rom er i matematikk et komplett normert vektorrom. Banach-rom er blant de viktigste studieobjektene i funksjonalanalyse. At rommet er komplett vil si at alle Cauchy-følger konvergerer mot en grense som er inneholdt i rommet.

Eksempler og egenskaper

De endeligdimensjonale vektorrommene ${ℝ}^n$ og ${ℂ}^n$er alle Banach-rom. Mer generelt er alle Hilbert-rom også Banach-rom under normen indusert av det aktuelle indreproduktet. Et eksempel på et Banach-rom som ikke er et Hilbert-rom er

${\ell }^1(\mathbb{N})=\{(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}:\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n|<\mathrm{\infty }\}.$

Et normert rom er et Banach-rom hvis og bare hvis alle absolutt konvergente rekker konvergerer. Man kan også vite at et Banach-rom $(X,\Vert \cdot \Vert )$ er et Hilbert-rom hvis og bare hvis det tilfredsstiller parallellogramloven, som vil si at

$2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2=\Vert x-y{\Vert }^2+\Vert x+y{\Vert }^2\text{for alle }x,y\in X.$

Eksterne lenker

• Mal:MathWorld