Metrikk (matematikk)

En metrikk i matematikk er en funksjon som definerer en avstand eller distanse mellom to elementer i en mengde. En mengde med en definert metrikk kalles et metrisk rom.

I et euklidsk rom har en definert avstanden mellom to punkter på en måte som sammenfaller med vår dagligdagse bruk av avstandsbegrepet. I den matematiske definisjonen av en metrikk har en abstrahert egenskapene til avstandsbegrepet, slik at en kan definere en distanse eller metrikk mellom to vilkårlige mengde-elementer, for eksempel mellom to funksjoner.

En metrikk vil definere en topologi i mengden, men ikke alle toplogier kan defineres ut fra en metrikk. En topologi som er avledet av en metrikk sies å være metriserbar.

Formell definisjon

En metrikk for mengden V er en funksjon som for to elementer i mengden returnerer et ikke-negativ reelt tall:

$d:V\times V\to {ℝ}^{+}$

Funksjonen må oppfylle følgende krav for alle elementer x, y i V:

$\begin{array}{ccc}d(x,y)& \ge 0& \text{Ikke-negativ}\\ d(x,y)& =0⟺x=y\\ d(x,y)& =d(y,x)& \text{Symmetri}\\ d(x,y)& \le d(x,z)+d(z,y)& \text{Trekantulikheten}\end{array}$

Definisjonen formaliserer intuitive egenskaper til en distansefunksjon: En avstand kan aldri være negativ. Avstanden mellom to element kan bare være lik null dersom elementene er like. Avstanden fra x til y er like lang som fra y til x. Den korteste avstanden mellom to punkt er en rett linje.

Metrikk-eksempler

Diskrete metrikk

For en vilkårlig mengde er den diskrete metrikken er definert som følger

$\begin{array}{ccc}d(x,y)& =0& \text{dersom }x=y\\ d(x,y)& =1& \text{ellers}\\ \end{array}$

Euklidsk metrikk

Et punkt i det tredimensjonale euklidske rommet kan skrives som x = (x₁,x₂,x₃). Metrikken i dette rommet er definert ved

$d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2+(x_3-y_3{)}^2}$

Taxicab-metrikk

For det tredimensjonale rommet $R^3$ kan en bruke taxicab-metrikken definert ved

$d(x,y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|+|x_3-y_3|$.

Denne metrikken er også kjent under navnet Manhattan-metrikken.

Litteratur

• Mal:Kilde bok