Variansanalyse

Variansanalyse (ANOVA, fra det engelske «analysis of variance») er en fellesbetegnelse for en rekke statistiske metoder for å teste likhet mellom to eller flere utvalg, der én eller flere faktorer gjør seg gjeldende. Variansanalyse er i de enkle tilfellene et alternativ til Z/t-testene for å sammenligne gjennomsnitt i populasjoner.

De to grunnleggende formene for variansanalyse beskrives gjerne som 'enveis' og 'toveis' variansanalyse. I enveistilfellet hensyntar man kun én egenskap som varierer mellom gruppene, i toveistilfellet hensyntar man i tillegg egenskaper som varierer mellom individene i gruppene.

Variansanalyse med én faktor

Det enkleste tilfellet for variansanalyse er tilfellet der man har $I$ grupper med like størrelser $J$, og ønsker å sammenligne gjennomsnittene til gruppene. Den brukes gjerne der man ønsker å sammenligne forskjeller i respons på forskjellige behandlinger (treatments) i forskjellige grupper.

Hypotesen man tester er for et antall populasjoner $I$

1. $H_0:{\mu }_1={\mu }_2=\dots ={\mu }_I$
2. $H_A:$ minst to av gruppene er forskjellige.

Forutsetningene for testen er at alle observasjonene er uavhengige normalfordelte tilfeldige variable med lik varians.

Kvadratavvik og varians

De fundamentale størrelsene i variansanalysen er kvadratavvik totalt (SST), kvadratavvik mellom individ og gruppe (SSE) og kvadratavvik mellom gruppe og totalt gjennomsnitt (SSTr). Disse er definert ved
$SST=\sum _i\sum _j(x_{ij}-{\bar{x}}_{..}{)}^2=\sum _i\sum _j{x}_{ij}^2-\frac{x_{..}^2}{IJ}$
$SSTr=\sum _i\sum _j({\bar{x}}_{i.}-{\bar{x}}_{..}{)}^2=\frac{\sum _i{X}_{i.}^2}{J}-\frac{x_{..}^2}{IJ}$
$SSE=\sum _i\sum _j(x_{ij}-{\bar{x}}_{i.}{)}^2$

Sammenhengen mellom disse gir opphav til den fundamentale ANOVA-identiteten SST = SSTr + SSE. Videre har vi at
$MSTr=\frac{SSTr}{I-1}$
$MSE=\frac{SSE}{I(J-1)}$

Dette gir opphavet til det man kaller en ANOVA-tabell:

Variasjonskilde	Frihetsgrader	Kvadratavvik	Varians	f-verdi
Grupper	I - 1	SSTr	MSTr = SSTr/(I - 1)	MSTr/MSE
Error	I(J - 1)	SSE	MSE = SSE/[I(J - 1)]
Total	IJ - 1	SST

Test av nullhypotesen

For å teste nullhypotesen, bruker man ofte en f-test. Testobservatoren er gitt ved
$f=\frac{MSTr}{MSE}$

som er tilnærmet $F_{I-1,I(J-1)}$-fordelt. Forkastningsområdet for $H_0$ er $f\ge F_{\alpha ,I-1,I(J-1)}$ for ønsket signifikansnivå $\alpha$

Tukeys prosedyre

F-testen er ment for å sammenligne gjennomsnittene i flere populasjoner, men den gir ikke svar på hvilke av populasjonene som er signifikant ulike hverandre. Tukeys prosedyre bruker en Q-fordeling til å beregne hvilke intervaller gjennomsnittene i populasjonen kan ligge i for å være signifikant like hverandre. For et signifikansnivå $\alpha$ definerer vi $w$ som

$w=Q_{\alpha ,I,I(J-1)}\sqrt{MSE/J}$

De gjennomsnittene som har større differanse enn $w$ er være signifikant ulike, med signifikansnivå $\alpha$

Relasjon til t-testen

For tilfellet med to populasjoner, vil variansanalyse og en alminnelig t-test gi samme resultat for hypotesen $H_0:{\mu }_1={\mu }_2$ mot $H_A:{\mu }_1\ne {\mu }_2$. T-testen er mer fleksibel, da man og kan teste hvorvidt et gjennomsnitt er større enn, eller mindre enn et annet.

For $I>2$ kan man i prinsippet også utføre t-tester for alle kombinasjoner av grupper, men dette vil gi større sannsynlighet for type 1-feil.

Kilder

• Jay L. Devore and Kenneth N. Berk: Modern Mathematical Statistics with Applications. Thomson 2007.