Magnetisk moment

Det magnetiske momentet til en magnet er en størrelse som bestemmer dreiemomentet som et annet magnetfelt vil utøve på den. I tillegg til vanlige magneter, har en sløyfe med elektrisk strøm, et elektron og andre elementærpartikler, atomer, molekyl og de fleste planeter alle magnetiske moment. Det gir opphav til et magnetfelt som kalles et magnetisk dipolfelt. Vanligvis betegnes et magnetisk moment med symbolet m eller den greske bokstaven μ.

På samme måte som et generelt magnetfelt, er det magnetiske momentet en vektor som har både en størrelse og en retning. I en magnet er det lokalisert i dens indre med retning fra sørpol til nordpol, mens magnetens feltlinjer går utenfor fra nordpolen til sydpolen. Styrken til det magnetiske feltet som produseres av en magnet, er proporsjonalt med dens magnetiske moment.

Mer presist refererer begrepet magnetisk moment til det første leddet i en multipolutvikling av magnetfeltet fra et generelt system med elektrisk ladete partikler og strømmer. Denne dipoldelen av magnetfeltet er symmetrisk om retningen til det magnetiske momentet og avtar som den inverse kube av avstanden fra systemet.

Definisjon

Et materielt system som i et ytre magnetfelt B blir utsatt for et dreiemoment T på formen

𝐓 = 𝐦 \times 𝐁

,

sies å inneha et magnetisk moment m som er en vektor tilhørende dette systemet.^[1] Da et slikt dreiemoment måles i N⋅m hvor N er newton og B-feltet angis i tesla med størrelse Mal:Nowrap hvor A er ampere, uttrykkes det magnetiske momentet i enheter av A·m² = J/T.

Modeller

Da det ikke finnes magnetiske ladninger eller monopoler, vil ikke et magnetisk dipolmoment kunne oppstå på samme måte som en elektrisk dipol sammensatt av to motsatt ladete partikler. Men likevel kan man tenke seg eller modellere et magnetisk moment på denne måten som først foreslått av William Gilbert på begynnelsen av 1600-tallet. Dette bildet er ofte nyttig for å gi en enkel forklaring av noen magnetiske fenomen og er delvis støttet av moderne, elektromagnetisk teori.

I denne enkle modellen kan en stavmagnet med magnetisering M langs lengdeaksen, tilskrives fiktive, magnetiske ladninger Mal:Nowrap på dens endeflater hvis hver av disse har arealet A. Disse ladningene tilsvarer dens nord- og sydpol. På samme måte som for en elektrisk dipol, er da størrelsen av dens magnetiske moment lik med Mal:Nowrap = MV hvor L er lengden av magneten slik at dens volum er Mal:Nowrap. Dette er i overensstemelse med at magnetisering Mal:Nowrap er magnetisk moment per volumenhet av magneten. Da dimensjonen til M er A/m som for det magnetiske H-feltet, gir denne fenomenologiske betraktningen riktig dimensjon A·m² til det magnetiske momentet.^[1]

Ampères modell

En mer korrekt forklaring av magnetiske moment ga André-Marie Ampère på begynnelsen av 1800-tallet. Basert på egne eksperiment foreslo han at all magnetisme skyldes elektriske strømmer som går i mikroskopiske sløyfer i materiens indre. Denne idéen ble i stor grad bekreftet om lag hundre år senere med atomfysikken hvor disse ampèrske strømmer identifiseres med elektronenes runddans rundt atomkjernene.

En elektrisk leder som har form av et rektangel med sidekanter a og b og som fører en strøm I, er et enkelt eksempel på en slik strømsløyfe. Befinner denne sløyfen seg i et ytre magnetfelt B, vil hver side s bli påvirket av kraften Mal:Nowrap som derfor står vinkelrett på siden. Hvis man nå antar at magnetfeltet er rettet langs z-aksen og sidene med lengde a er parallelle med x-aksen, vil disse to sidene være påvirket av motsatt krefter rettet langs y-aksen ifølge høyrehåndsregelen og med størrelse Mal:Nowrap. I alminnelighet danner sløyfen vinkelen θ med xy-planet slik at disse to kreftene tilsammen gir et dreiemoment med størrelse Mal:Nowrap Kreftene på de to andre sidene i rektangelet virker langs samme linje og gir derfor ikke noe dreiemoment.

På vektorform kan dette resultatet skrives som N = m × B slik at det magnetiske momentet til sløyfen blir Mal:Nowrap. Her har vektoren S samme størrelse som arealet Mal:Nowrap av sløyfen og en retning vinkelrett på denne bestemt ved retningen av strømmen og høyrehåndsregelen. Størrelsen til det magnetiske momentet er strømsløyfens areal multiplisert med strømmen den fører.

Man finner det samme resultat for en sirkulær strømsløyfe.^[2] En spole med N vindinger og radius a, kan betraktes som N slike sløyfer som fører samme strøm I. Det totale, magnetiske moment til spolen er derfor Mal:Nowrap som er rettet langs dens akse og hvor nå Mal:Nowrap.

Generell strømsløyfe

I det generelle tilfellet kan dreiemomentet på en vilkårlig strømsløyfe finnes fra den differensielle kraften Mal:Nowrap som virker på hver lite linjeelement d s av sløyfen. Det totale dreiemomentet er dermed gitt ved lukkete linjeintegralet

𝐓 = I \oint 𝐫 \times (d 𝐬 \times 𝐁)

Når magnetfeltet er konstant, kan dette forenkles til formen T = m × B hvor nå det magnetiske momentet for strømsløyfen er gitt ved det generelle uttrykket

𝐦 = \frac{1}{2} I \oint 𝐫 \times d 𝐬

Dette er igjen av formen Mal:Nowrap hvor nå komponentene til vektoren S er arealene til projeksjonene av sløyfen på de tre koordinatflatene.^[3]

Atomer

Går en partikkel med elektrisk ladning q rundt i en sirkelbane med radius r med periode T, vil dette utgjøre en lukket sløyfe med strømmen q/T. Den vil dermed ha et magnetisk moment Mal:Nowrap. Foregår denne bevegelsen med konstant hastighet v, vil sirkelens omkrets Mal:Nowrap slik at Mal:Nowrap Dette kan uttrykkes ved partikkelens dreieimpuls Mal:Nowrap når den har massen m. Det magnetiske momentet for denne sirkulerende ladningen kan dermed skrives som

μ = \frac{q}{2 m} 𝐋

der dreieimpulsvektoren L = m r × v angir retningen til denne magnetiske dipolen.^[2] Dette resultatet kommer man også frem til ved å skrive Mal:Nowrap i det mer generelle uttrykket for det magnetiske momentet hvor så det lukkete linjeintegralet over dt settes lik perioden T. I sammenhengen mellom magnetisk moment og dreieimpuls kalles faktoreren Mal:Nowrap for det gyromagnetiske forholdet.

I den første utgaven av Bohrs atommodell ble det antatt at elektronene går i stabile, sirkulære baner rundt atomkjernen med kvantiserte verdier Mal:Nowrap hvor kvantetallet n = 1,2,3,.. og Mal:Nowrap er den reduserte Plancks konstant. Da elektronet har masse Mal:Nowrap og ladning Mal:Nowrap, vil dets bevegelse i atomet gi opphav til et magnetisk moment med størrelse μ = μ_B n hvor

μ_{B} = \frac{e ℏ}{2 m_{e}} = 9.274 009 994 (57) \cdot 1 0^{- 24} A m^{2} = 5.788 381 8012 (26) \cdot 1 0^{- 5} eV/T

kalles en Bohr-magneton.^[4] Det magnetiske dipolmomentet μ har en retningen som er motsatt av dreieimpulsen L på grunn av elektronets negative ladning og en størrelse som er kvantisert da n er et heltall. Dette resultatet for det orbitale, magnetiske momentet for elektronet i et atom ligger tett opp til hva som fulgte fra mer moderne kvantemekanikk noen få år senere.^[5]

Elementærpartikler

Et klassisk bilde av elektronets rundgang i et atom kan minne om bevegelsen av en planet rundt Solen. Dette gjør det nærliggende å tenke seg at elektronet også kan rotere om sin egen akse. Dermed vil det også kunne ha et intrinsikt, magnetisk moment. En korrekt, kvantemekanisk beskrivelse erstatter dette bildet av en «egenrotasjon» med å tilordne alle elementærpartikler et intrinsikt spinn S. For elektronet gir det opphav til et magnetisk moment

μ = - g_{e} \frac{e}{2 m_{e}} 𝐒

hvor det gyromagnetisk forhold eller «g-faktoren» for elektronet er g_e = 2 med stor nøyaktighet. Dette ble først forstått ved etableringen av den relativistiske Dirac-ligningen for elektronet. Da størrelsen til spinnet for et elektron er ħ/2, har det et magnetisk moment som er lik en Bohr-magneton.^[1]

Meget presise målinger har senere vist at denne g-faktoren likevel ikke er helt korrekt. Dette kan nå forklares ved kvanteelektrodynamiske effekter som til laveste orden gir resultatet

g_{e} = 2 + \frac{α}{π}

hvor α = 1/137 er finstrukturkonstanten. Til nå er slike korreksjoner beregnet til orden α⁵ og funnet å være i full overensstemmelse med alle eksperimentelle verdier.^[5]

Nukleoner

Et proton har elektrisk ladning Mal:Nowrap og spinn 1/2 som elektronet. Dets magnetiske moment skrives som

μ = g_{p} \frac{e}{2 m_{p}} 𝐒

hvor nå g-faktoren har verdien g_p = 5.59. Dette overraskende resultatet ble gjort av Otto Stern i 1933 og viste at protonet ikke kunne være en virkelig elementær partikkel.

Den naturlige enheten for dette nukleære, magnetiske momentet er

μ_{N} = \frac{e ℏ}{2 m_{p}} = 3.152 451 2550 (15) \times 1 0^{- 8} eV/T

som kalles en nukleær magneton. Da Mal:Nowrap, er denne nesten en faktor to tusen mindre enn en Bohr-magneton.^[6]

Selv om et nøytron er elektrisk nøytralt, har det et magnetisk moment som kan skrives på samme måte som for protonet. Men for denne partikkelen er g-faktoren g_n = - 3.83. Både denne verdien og den tilsvarende verdien for protonet kan forstås utfra at de er sammensatte partikler bestående av kvarker i motsetning til elektronet som virkelig kan sies å være elementært. I denne beskrivelsen av nukleonenes indre følger at g_n /g_p = -2/3 i laveste approksimasjon som stemmer bra med de målte verdiene. Dette var et av de første resultatene som bekreftet eksistensen av kvarker.^[7]

Larmor-presesjon

Et klassisk, magnetisk moment μ = γ L med det gyromagnetiske forholdet γ = q/2m som befinner seg i et ytre, magnetisk felt B, vil påvirkes av dreiemomentet Mal:Nowrap. Dette vil prøve å vri det magnetiske momentet og derved også dreieimpulsen L. Men denne tilfredsstiller bevegelsesligningen Mal:Nowrap som dermed kan omskrives til

\frac{d 𝐋}{d t} = μ \times 𝐁 = - \frac{q}{2 m} 𝐁 \times 𝐋

Det betyr at dreieimpulsen preseserer om B-feltet med den vektorielle vinkelhastigheten

ω_{L} = - \frac{q}{2 m} 𝐁

Dette kalles Larmor-presesjon etter den engelske fysiker Joseph Larmor. Størrelsen til vinkelhastigheten kan skrives som Mal:Nowrap og bærer vanligvis også Larmors navn.^[8]

Kvantemekanikk

Presesjon av kvantemekaniske spinn som befinner seg i et magnetfelt B, kan beskrives ved Schrödinger-ligningen for dette systemet. Den relevante Hamilton-operatoren kan finnes fra vekselvirkningsenergien Mal:Nowrap for det magnetiske momentet Mal:Nowrap med gyromagnetisk forhold γ. Hamilton-operatoren får derfor formen

\hat{H} = - γ \hat{𝐒} \cdot 𝐁

hvor hatten understreker at dette er en kvantemekanisk operator på samme måte som spinnet er det. Ved å bruke kommutatorene mellom de tre spinnoperatorene, kan Schrödinger-ligningen løses med det resultat at Larmor-presesjonen gjenfinnes med samme frekvens som i det klassiske tilfellet.^[9]

Dette kvantemekaniske fenomenet kan observeres i Zeeman-effekten og danner grunnlaget for kjernemagnetisk resonans (NMR). I moderne medisin benyttes dette til undersøkelse av indre organer og omtales som magnetresonanstomografi (MRI).

Se også

Referanser

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.
↑ ^2,0 ^2,1 O. Hunderi, J.R. Lien og G. Løvhøiden, Generell fysikk for universiteter og høgskoler, Bind 2, Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 978-82-1500-006-0.
↑ J.R. Reitz and F.J. Milford, Foundations of Electromagnetic Theory, Addison-Wesley Publishing Company, Reading (1960).
↑ NIST, CODATA recommended values, (2014).
↑ ^5,0 ^5,1 H.Haken, and H.C. Wolf, The Physics of Atoms and Quanta, Springer-Verlag, New York (2000). ISBN 3-540-67274-5.
↑ NIST, CODATA recommended values, (2014).
↑ D. Griffiths, Introduction to Elementary Particles, John Wiley & Sons, New York (1987). ISBN 0-471-61544-7.
↑ H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, New York (1959).
↑ R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, Plenum Press, New York (1980). ISBN 0-306-40397-8.

Mal:Portal

Mal:Autoritetsdata

[Griffiths-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.

[HLL-2] 2,0 ^2,1 O. Hunderi, J.R. Lien og G. Løvhøiden, Generell fysikk for universiteter og høgskoler, Bind 2, Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 978-82-1500-006-0.

[RM-3] J.R. Reitz and F.J. Milford, Foundations of Electromagnetic Theory, Addison-Wesley Publishing Company, Reading (1960).

[4] NIST, CODATA recommended values, (2014).

[Haken-5] 5,0 ^5,1 H.Haken, and H.C. Wolf, The Physics of Atoms and Quanta, Springer-Verlag, New York (2000). ISBN 3-540-67274-5.

[6] NIST, CODATA recommended values, (2014).

[7] D. Griffiths, Introduction to Elementary Particles, John Wiley & Sons, New York (1987). ISBN 0-471-61544-7.

[8] H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, New York (1959).

[9] R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, Plenum Press, New York (1980). ISBN 0-306-40397-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Magnetisk moment

Innhold

Definisjon