Tangenssetningen

Figur 1 – En trekant

Mal:Trigonometri I trigonometrien er tangenssetningen en setning om forbindelsen mellom tangens til to vinkler av en trekant og lengdene av de motstående sidene.

I figur 1 er a, b og c lengdene av tre sider av trekanten, og α, β og γ er henholdsvis vinklene motstående disse sidene. Tangenssetningen sier at

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan [\frac{1}{2}(\alpha -\beta )]}{\tan [\frac{1}{2}(\alpha +\beta )]}.$

Tangenssetningen er, selv om den ikke er så vidt kjent som sinussetningen eller cosinussetningen, like nyttig, og kan brukes i alle tilfeller der to sider og en vinkel, eller to vinkler og en side, er kjent.

Tangenssetningen for sfæriske trekanter ble beskrevet i det 13. århundre av den persiske matematikeren Nasir al-Din al-Tusi (1201–74), som også presenterte sinussetningen for trekanter i planet i sitt fembinds verk Treatise on the Quadrilateral.

Bevis

For å bevise tangenssetningen kan vi starte med sinussetningen:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }.$

La

$d=\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta },$

slik at

$a=d\sin \alpha \text{ and }b=d\sin \beta .$

Det følger at

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }=\frac{\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }.$

Ved å bruke trigonometriske identiteter, er faktorformelen for sinus

$\sin (\alpha )\pm \sin (\beta )=2\sin \left(\frac{\alpha \pm \beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha \mp \beta }{2}\right),$

vi får

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{2\sin \frac{1}{2}(\alpha -\beta )\cos \frac{1}{2}(\alpha +\beta )}{2\sin \frac{1}{2}(\alpha +\beta )\cos \frac{1}{2}(\alpha -\beta )}=\frac{\tan [\frac{1}{2}(\alpha -\beta )]}{\tan [\frac{1}{2}(\alpha +\beta )]}.$

Som et alternativ til å bruke identiteten for summen og differansen av to sinusverdier, kan man sitere den trigonometriske identiteten

$\tan \left(\frac{\alpha \pm \beta }{2}\right)=\frac{\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }$

(se formelen for tangens av halve vinkelen).

Se også

• Sinussetningen
• Cosinussetningen
• Mollweides formel