Bessel-funksjon

En Bessel-funksjon er i matematikk løsninger av Bessel-ligningen

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-{\alpha }^2)y=0$

der α er et vilkårlig, komplekst tall.

Bessel-funksjonene ble først utledet av matematikeren Daniel Bernoulli og senere generalisert av Friedrich Bessel.

Definisjon

Bessel-funksjoner av første type (α = 0,1,2)

Bessel-funksjoner av første og andre type er to lineært uavhengige løsninger av Bessel-ligningen.

Bessel-funksjoner av første type er definert ved:

$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{m!\mathrm{\Gamma }(m+\alpha +1)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha }$.

der Γ(z) er gammafunksjonen. Dersom α er et heltall er J_α(x) = (-1)ⁿJ_−α(x).

Bessel-funksjoner av andre type (α = 0,1,2)

Bessel-funksjoner av andre type er definert ved:

$Y_{\alpha }(x)=\frac{J_{\alpha }(x)\cos (\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin (\alpha \pi )}$.

Dersom α er et heltall er Y_α(x) = (-1)ⁿY_−α(x).