Alef-tall

Aleph-null, det minste uendelige kardinaltallet

Mal:Kildeløs Alef-tall er i mengdelære, et område i matematikk, en følge av tall som brukes for å representere kardinaliteten (størrelsen) til en uendelig mengde. De er oppkalt etter det hebraiske symbolet, alef ($\mathrm{\aleph }$) som er brukt for å representere dem.

Kardinaliteten til de naturlige tallene er ${\mathrm{\aleph }}_0$ (alef-null). Det neste kardinaltallet større enn ${\mathrm{\aleph }}_0$ er ${\mathrm{\aleph }}_1$, påstanden at kardinaliteten til de reelle tallene er lik ${\mathrm{\aleph }}_1$ er kjent som kontinuumhypotesen og er uavhengig av ZFC (Zermelo–Fraenkel mengdelære og utvalgsaksiomet). Det finnes kardinaltall ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ og ${\mathrm{\aleph }}_{\beta }$ for et hvert ordinaltall $\alpha$ og $\beta$ slik at ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ < ${\mathrm{\aleph }}_{\beta }$ hvis $\alpha$ < $\beta$.

Kardinaltallene ble definert av Georg Cantor, som innså at forskjellige uendelige mengder kunne ha forskjellige størrelser og at det med andre ord fantes flere uendelige tall.

Alef-null

${\mathrm{\aleph }}_0$ (alef-null) er kardinaliteten til mengden av naturlige tall, og er det minste uendelige kardinaltallet. En mengde med kardinalitet ${\mathrm{\aleph }}_0$ kalles tellbart uendelig fordi det finnes en bijeksjon mellom mengden og de naturlige tallene. Eksempler på slike mengder er:

• mengden av alle kvadrattall, mengden av alle kubikktall, mengden av alle tall til fjerde potens...
• mengden av alle partall, mengden av alle oddetall,
• mengden av alle primtall, mengden av alle sammensatte tall,
• mengden av alle heltall,
• mengden av alle rasjonale tall,
• mengden av alle algebraiske tall,
• mengden av alle endelige delmengder av en tellbart uendelig mengde.