Riemann-hypotesen

Den reelle (rød) og imaginære delen (blå) av Riemanns zeta-funksjon langs den kritiske linjen Re(s) = 1/2. De første ikke-trivielle nullpunktene kan sees ved Im(s) = ±14.135, ±21.022 og ±25.011.

Riemann-hypotesen er en matematisk formodning som sier at Riemanns zetafunksjon,

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots$,

bare kan være lik null når $s$ er lik enten et negativt partall eller et komplekst tall med realdel lik $\frac{1}{2}$.

Formodningen er ikke bevist, derav betegnelsen hypotese. Man vet imidlertid at formodningen er sann for de negative partallene, det vil si at $\zeta (s)=0$ når $s=-2,-4,-6,\cdots$. Disse nullpunktene til $\zeta (s)$ kalles trivielle nullpunkter. Funksjonen $\zeta (s)$ har imidlertid flere nullpunkter enn disse. Disse nullpunktene kalles ikke-trivielle nullpunkter, og det er hvor disse ikke-trivielle nullpunktene ligger som foreløpig ikke er bevist, og som Riemann-hypotesen konsentrerer seg om.

Riemann-hypotesen sier at man bare kan finne ikke-trivielle nullpunkter der $s$ er lik et komplekst tall $s=\sigma +it$ med realdel $\sigma =\frac{1}{2}$. Hvis hypotesen er korrekt, vil derfor alle de ikke-trivielle nullpunktene ligge langs den kritiske linjen $s=\frac{1}{2}+it$ i det komplekse planet.

Riemann-hypotesen er et av de største uløste problemene i matematikken, og det ble plukket ut av Clay Mathemathics Institute som et av de syv millenniumprisproblemene i år 2000, som til dags er seks igjen. Den som klarer å løse et av disse seks problemene, vil bli tildelt én million amerikanske dollar. Riemann-hypotesen er av stor betydning fordi det er mange andre matematiske formodninger som er bevist å være sanne dersom Riemann-hypotesen er sann. Blant annet har plasseringen av de ikke-trivielle nullpunktene til Riemanns zetafunksjon betydning for fordelingen av primtallene.

Hypotesen ble fremsatt i 1859 av den tyske matematikeren Bernhard Riemann og er derfor navngitt etter ham. Den norske matematikeren Atle Selberg har levert et av de viktigste bidragene for å forsøke å løse problemet.

Eksterne lenker

• Populærvitenskapelig fremstilling av problemet hos Numberphile