Hölder-kontinuitet

Hölder-kontinuitet angir en form for kontinuitet innen matematisk analyse, strengere enn uniform kontinutitet og gir en begrensning på hvor raskt en funksjon kan endre seg. Hölder-kontinuitet kan sees på som en generalisering av Lipschitz-kontinuitet; mens Lipschitz-kontinuitet gir en lineær begrensning, gir Hölder-kontinuitet en eksponensiell begrensning. En funksjon sies å være Hölder-kontinuerlig dersom det finnes to reelle tall C (større eller lik 0) og $\gamma$ (større enn 0) slik at for hvert par (x, y) i funksjonens definisjonsmengde, er absoluttverdien av forskjellen mellom avbildningen av disse, opphøyd i $\gamma$ og ganget med C, større enn absoluttverdien mellom punktene x og y. Begrepet er oppkalt etter den tyske matematikeren Otto Hölder.

En funksjon som er Hölder-kontinuerlig med eksponent $\gamma =1$ er Lipschitz-kontinuerlig. Hvis $\gamma >1$ er funksjonen konstant. Alle Hölder-kontinuerlige funksjoner er også uniformt kontinuerlige, og dermed også kontinuerlige; det motsatte er ikke alltid sant.

Funksjoner som i seg selv og i sine partiell-deriverte er Hölder-kontinuerlige, hvis norm er endelig, sies å tilhøre et Hölder-rom.

Definisjon

En funksjon $f:X\to Y$, der X og Y er delmengder av de relle tallene, sies å være Hölder-kontinuerlig (med eksponent $\gamma$) dersom det finnes en konstant $C\ge 0$ og en konstant $\gamma >0$ slik at

$|f(x)-f(y)|\le C|x-y{|}^{\gamma }$

Dette gjelder også i andre metriske rom enn de reelle tallene. Gitt to metriske rom $(X,d_X)$ og $(Y,d_Y)$, der $d_X$ og $d_Y$ angir metrikkene på henholdsvis mengdene X og Y, sier man at en funksjon $f:X\to Y$ Hölder-kontinuerlig (med eksponent $\gamma$) dersom det finnes en konstant C slik at

$d_Y(f(x_1),f(x_2))\le C{d}_X(x_1,x_2{)}^{\gamma }$

Eksempler

Funksjoner som er Hölder-kontinuerlige

• Alle Lipschitz-kontinuerlige funksjoner er også Hölder-kontinuerlige. Dette gjelder f.eks. alle lineære funksjoner $f:ℝ\to ℝ$, siden

$|f(x)-f(y)|=|(ax+b)-(ay+b)|=|a||x-y|\Rightarrow |f(x)-f(y)|\le |a||x-y|$ der $C=|a|$ og $\gamma =1$

• Funksjonen $f(x)=\sqrt{(}x)$ er ikke Lipschitz-kontinuerlig over $(0,\mathrm{\infty })$, men den er Hölder-kontinuerlig med konstant $C=1$ og eksponent $\gamma =1/2$:

$|f(x)-f(y)|=|\sqrt{x}-\sqrt{y}|$

Anta $x>y$, da får vi

$|\sqrt{x}-\sqrt{y}|=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\left(\frac{\sqrt{x-y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)|x-y{|}^{1/2}\le (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}})|x-y{|}^{1/2}\le 1|x-y{|}^{1/2}$

Eksterne lenker

• Mal:MathWorld
• Hölder condition på Encyclopedia of Math