Tallkropp

I matematikken betegner en kropp (på engelsk field) en mengde elementer (for eksempel tall) hvor man kan utføre operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, samt at alle elementer i mengden har en multiplikativ invers.

Definisjon

En kropp er en kommutativ ring $(k,+,\cdot )$ slik at for hvert element $r\in k$ hvor $r\ne 0$ har en multiplikativ invers: det fins et element $s\in k$ slik at $s\cdot r=1$.

Eksempler

• De rasjonale tallene $\mathbb{Q}$, de reelle tallene $ℝ$ og de komplekse tallene $ℂ$ er kropper.
• De hele tallene $\mathbb{Z}$ er ikke en kropp siden ingen tall unntatt $-1$ og $1$ har en invers.
• For hvert primtall $p$ er heltallene modulo $p$ en kropp ${𝔽}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=\{0,1,2,\dots ,p-1\}$. Dette er en endelig kropp.
• For hvert primtall $p$ gir $p$-adisk komplettering av de rasjonale tallene kroppen ${\mathbb{Q}}_p$ av p-adiske tall.