Kvadratroten av 2

Hvis katetene i en rettvinklet likebeint trekant er 1, vil hypotenusen ifølge Pythagoras’ læresetning være √2.

Kvadratroten av 2 er det tallet som gir 2 når det multipliseres med seg selv. Det er et irrasjonalt tall og symboliseres som $\sqrt{2}$ (se kvadratrot). Tallet har en tilnærmet verdi på 1,414 213 562 373 095 048 801 688 7… .

Bevis for irrasjonalitet

At kvadratroten av 2 er irrasjonal, kan vises ved hjelp av et kontradiksjonsbevis (som for første gang ble beskrevet av Evklid i det 3. århundre f.Kr.):

Anta at $\sqrt{2}$ er et rasjonalt tall. Dermed finnes det to naturlige tall, $a$ og $b$, slik at $\frac{a}{b}=\sqrt{2}$. Vi sier at brøken er forkortet (forenklet) så mye at det ikke går an å forenkle den mer. Om vi kvadrerer på begge sider, får vi $\frac{a^2}{b^2}=2\Rightarrow a^2=2b^2$. Vi ser at $2b^2$ er et partall, siden det har $2$ som faktor. Siden da også $a^2$ er et partall, er $a$ et partall, og vi kan skrive det som $2n$. Da får vi $(2n{)}^2=2b^2\Rightarrow 4n^2=2b^2$. Forkorter vi, får vi $2n^2=b^2$, og dermed må $b^2$ også være et partall (siden det kan skrives som produktet av et heltall og $2$), og dermed er også $b$ et partall. Men siden både $a$ og $b$ er partall, så kan faktisk brøken $\frac{a}{b}$ forkortes mer (siden de begge har $2$ som faktor). Og siden vi har kommet frem til en selvmotsigelse, og bare har gjort én eneste antagelse, er denne antagelsen feil. Og den antagelsen var at $\sqrt{2}$ var et rasjonalt tall, og siden det motsatte av dette er at $\sqrt{2}$ er irrasjonal, så har vi bevist at kvadratroten av $2$ er et irrasjonalt tall.

Forekomst i naturen

I hjernen finnes det gitterceller, oppdaget i 2005 av en gruppe ledet av May-Britt og Edvard Moser. «Gittercellene ble funnet barkområdet som ligger rett ved hippocampus[...] I den ene enden av dette barkområdet er maskestørrelsen liten og i den andre er den kjempe stor. Økningen i maskestørrelse er imidlertid ikke overlatt tilfeldighetene, men øker med kvadratroten av to, fra ett område til det neste.»

Eksterne lenker

• De første 5 millioner desimaler av kvadratroten av 2