Greens teorem

Greens teorem uttrykker en sammenheng mellom et integral i planet langs en lukket kurve og et integral over flaten som kurven omslutter. For to vilkårlige, men glatte funksjoner $P=P(x,y)$ og $Q=Q(x,y)$ kan det skrives som

${\oint }_C(Pdx+Qdy)=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$

hvor C = ∂D er randen eller omkretsen til flaten D. Det er en enkel utgave av det mer generelle Stokes' teorem for det spesielle tilfelle at den lukkete kurven ligger i et plan.

Teoremet har sitt navn fra den engelske matematiker George Green som levde på begynnelsen av 1800-tallet. Han skrev et stort arbeid som ble publisert i 1828 med mange viktige resultat innen vektoranalysen, men ikke noe om dette spesielle teoremet. Derimot gjorde han bruk av divergensteoremet som derfor ofte bærer hans navn i tillegg til Gauss' navn. Greens teorem kan betraktes som divergensteoremet i et plan. Flere år senere benyttet Cauchy teoremet i forbindelse med komplekse integrasjoner i planet. Først i 1851 ga Riemann et bevis for det.

Todimensjonalt divergensteorem

Betrakter man et vektorfelt F = (Q, -P ) i et todimensjonalt plan der Q = Q(x,y) og P = P(x,y), sier divergensteoremet at

${\oint }_C𝐅\cdot 𝐧ds=\underset{D}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅dA$

hvor n er en normalvektor til kurven C = ∂D  som er randen eller omkretsen til flaten D. For et differensielt linjeelement $d𝐬=(dx,dy)$ vil da $𝐧ds=(dy,-dx)$ da disse to vektorene står vinkelrett på hverandre. Dermed blir

${\oint }_C(Pdx+Qdy)=\underset{D}{\int }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$

som er Greens teorem.

Et lengre bevis

Først beviser vi teoremet for et rektangel R. Da vil teoremet se slik ut:

${\oint }_{\partial R}Pdx+Qdy=\underset{R}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$

Ved lineariteten til Riemann-Integralet skriver vi dobbeltintegralet over R om til følgende:

$\underset{R}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\underset{R}{\iint }\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy-\underset{R}{\iint }\frac{\partial P}{\partial y}dxdy$

Siden R er et rektangel lar vi $R=[a,b]\times [c,d]$, betrakt først integralet:

$\underset{R}{\iint }\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{c}{\overset{d}{\int }}\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}dxdy=\underset{c}{\overset{d}{\int }}(\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}dx)dy$

Ved Fundamentalteoremet i Kalkulus ser vi at

$\underset{c}{\overset{d}{\int }}(\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}dx)dy=\underset{c}{\overset{d}{\int }}(Q(b,y)-Q(a,y))dy$

Og for $-\underset{R}{\iint }\frac{\partial P}{\partial y}dxdy$ får vi at

$-\underset{R}{\iint }\frac{\partial P}{\partial y}dxdy=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{c}{\overset{d}{\int }}\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}dy)dx=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}(P(x,d)-P(x,c))dx$

Disse resultatene gir oss et nytt uttrykk for høyre side av det opprinnelige uttrykket vårt

$\underset{R}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\underset{c}{\overset{d}{\int }}(Q(b,y)-Q(a,y))dy-\underset{a}{\overset{b}{\int }}(P(x,d)-P(x,c))dx$

For linjeintegralet deler vi opp rektangelet i fire linjer som åpenbart har positiv orientering.

$C_1,C_2,C_3,C_4$

Vi kan parametrisere den første kurven med

$\alpha (t)=(t,c)$ hvor $t\in [a,b]$

den andre kurven med

$\beta (t)=(b,t)$ hvor $t\in [c,d]$

den tredje kurven med

$\gamma (t)=(b+a-t,d)$ hvor $t\in [a,b]$

og til slutt:

$\delta (t)=(a,d+c-t)$ med $t\in [c,d]$

Med disse parametriseringene kan vi uttrykke linjeintegralet slik:

${\oint }_{\partial R}Pdx+Qdy={\oint }_{\underset{i=1}{\overset{4}{\cup }}{C}_i}Pdx+Qdy=\sum _{j=1}^4{\oint }_{C_i}Pdx+Qdy$

Vi betrakter først

$\sum _{j=1}^4{\oint }_{C_i}P(x,y)dx={\oint }_{C_1}P(x,y)dx+{\oint }_{C_2}P(x,y)dx+{\oint }_{C_3}P(x,y)dx+{\oint }_{C_4}P(x,y)dx$

Vi ser umiddelbart at integralene over $C_2$ og $C_4$ vil bli null, det er siden den eneste variabelen som endrer seg medfører endringer på y-koordinatene og ikke x-koordinatene i det hele tatt.

$\sum _{j=1}^4{\oint }_{C_i}P(x,y)dx={\oint }_{C_1}P(x,y)dx+{\oint }_{C_3}P(x,y)dx$

Ved definisjonen til linjeintegralet får vi at

${\oint }_{C_1}P(x,y)dx+{\oint }_{C_3}P(x,y)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}P(t,c)dt-\underset{a}{\overset{b}{\int }}P(b+a-t,d)dt$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}P(t,c)dt-\underset{a}{\overset{b}{\int }}P(b+a-t,d)dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}P(t,c)dt-\underset{a}{\overset{b}{\int }}P(t,d)dt$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}P(t,c)dt-\underset{a}{\overset{b}{\int }}P(t,d)dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(P(t,c)-P(t,d))dt$

Ser vi på $\sum _{j=1}^4{\oint }_{C_i}Q(x,y)dy$ observerer vi at integralene over $C_1$ og $C_3$ blir null. Vi får derfor at

${\oint }_{C_2}Q(x,y)dy+{\oint }_{C_4}Q(x,y)dy=\underset{c}{\overset{d}{\int }}Q(b,t)dt-\underset{c}{\overset{d}{\int }}Q(a,d+c-t)dt$

$\underset{c}{\overset{d}{\int }}Q(b,t)dt-\underset{c}{\overset{d}{\int }}Q(a,d+c-t)dt=\underset{c}{\overset{d}{\int }}Q(b,t)dt-\underset{c}{\overset{d}{\int }}Q(a,t)dt$

$\underset{c}{\overset{d}{\int }}Q(b,t)dt-\underset{c}{\overset{d}{\int }}Q(a,t)dt=\underset{c}{\overset{d}{\int }}Q(b,t)-Q(a,t)dt$

Vi får derfor at vårt opprinnelige linjeintegral er lik: $\underset{c}{\overset{d}{\int }}(Q(b,t)-Q(a,t))dt+\underset{a}{\overset{b}{\int }}(P(t,c)-P(t,d))dt$ , Plugger vi dette uttrykket inn i samme ligning som uttrykket vårt for dobbeltintegralet får vi:

$\underset{c}{\overset{d}{\int }}Q(b,t)-Q(a,t)dt+\underset{a}{\overset{b}{\int }}P(t,c)-P(t,d)dt=\underset{c}{\overset{d}{\int }}(Q(b,t)-Q(a,t))dt-\underset{a}{\overset{b}{\int }}(P(t,d)-P(t,c))dx$ Som er ekvivalent til at $0=0$, altså uttrykkene er like.

Siden alle regioner i ${ℝ}^2$ kan bli tilnærmet så nærme som vi vil med en sum av rektangler må Greens teorem også holde for mer generelle områder. Dette er fordi for to rektangler $R_1$ og $R_2$

som tangerer hverandre med $R=R_1\cup R_2$ så vil ${\oint }_{\partial R_1}Pdx+Qdy+{\oint }_{\partial R_2}Pdx+Qdy={\oint }_{\partial R}Pdx+Qdy$, dermed kan vi si at beviset er fullført. $◼$

Eksterne lenker

• E.W. Weisstein, Green's Theorem, Wolfram MathWorld.
• HaraldHVL, «Greens teorem - Eksempler», Youtube video
• Harald Hanche-Olsen, Intro til Greens teorem, forelesning ved NTNU