Cosinussetningen

Figur 1 – En trekant

I trigonometrien er cosinussetningen en setning om sammenhengen mellom sidene i en generell trekant og cosinus til en av vinklene i trekanten. Ved å bruke notasjonen i figur 1, sier cosinussetningen at

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

der c er den motstående siden til vinkel γ mellom sidene a og b.

Cosinussetningen generaliserer Pythagoras’ læresetning, som bare gjelder for rettvinklede trekanter: hvis vinkel γ er en rett vinkel (90 grader eller π/2 radianer), blir cosγ = 0, og da reduseres cosinussetningen til

$c^2=a^2+b^2$

som er Pythagoras' læresetning.

Cosinussetningen er nyttig for å regne ut den tredje siden i en trekant når to sider og den mellomliggende vinkelen er kjent, og for å regne ut vinklene i en trekant når alle tre sidene er kjent.

I sfærisk geometri på en kuleflate finnes det også en cosinussetning som det også gjør i hyperbolsk geometri.

Anvendelser

Figur 2 – Anvendelser av cosinussetningen: ukjent side og ukjent vinkel

Setningen brukes i triangulering for å regne ut sider og vinkler i trekanter. Cosinussetningen kan brukes for å finne (se figur 2)

• den tredje siden i en trekant der to sider og vinkelen mellom dem er kjent:

• vinklene i en trekant der alle tre sidene er kjent:

$\gamma =\arccos \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab};$

• den tredje siden i en trekant der to sider og den motstående vinkelen til en av disse er kjent (man kan også bruke Pythagoras' læresetning til dette hvis trekanten er rettvinklet):

$a=b\cos \gamma \pm \sqrt{c^2-b^2{\sin }^2\gamma }.$

Disse formlene gir høye avrundingsfeil i flyttallsberegninger hvis trekanten er meget spiss, det vil si hvis c er liten i forhold til a og b eller γ er liten sammenlignet med 1.

Den tredje formelen vist over er løsningen av andregradsligningen a² − 2ab cosγ + b² − c² = 0 med hensyn på a. Denne ligningen kan ha 2, 1 eller ingen positive løsninger; antallet positive løsninger svarer til antall mulige trekanter som passer til betingelsene. Den vil ha to positive løsninger hvis b sinγ < c < b, bare en positiv løsning hvis c > b eller c = b sinγ, og ingen løsning hvis c < b sinγ. Mal:Clear

Bevis

Med vektorer

La sidene være representert ved vektorene a, b og c=a-b. Da har vi at

$\begin{array}{cc}|\overrightarrow{c}{|}^2& =\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{c}\\ & =(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\\ & =\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\\ & =|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta \end{array}$

Med avstandsformelen

Betrakt en trekant med sider a, b, c, der $\theta$ er den motstående vinkelen til side c. Vi kan plassere denne trekanten i et koordinatsystem ved å plotte $A(b\cos \theta ,b\sin \theta ),B(a,0),\text{and}C(0,0).$ Ved å bruke avstandsformelen har vi $c=\sqrt{(b\cos \theta -a{)}^2+(b\sin \theta -0{)}^2}$. Nå arbeider vi bare videre med denne ligningen.

$\begin{array}{cc}{c}^2& =(b\cos \theta -a{)}^2+(b\sin \theta {)}^2\\ c^2& =b^2{\cos }^2\theta -2ab\cos \theta +a^2+b^2{\sin }^2\theta \\ c^2& =a^2+b^2({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )-2ab\cos \theta \\ c^2& =a^2+b^2-2ab\cos \theta .\end{array}$

En fordel med dette beviset er at man ikke behøver å ta i betraktning forskjellige tilfeller ut fra om trekanten er spiss eller stump.

Med trigonometri

Figur 3 – En spiss trekant med inntegnet høyde

Tegn høyden på side c; vi får (se figur 3)

$c=a\cos (\beta )+b\cos (\alpha ).$

(Dette er fortsatt sant hvis α eller β er stump; i et slikt tilfelle faller høyden utenfor trekanten.) Multipliser hvert ledd med c:

$c^2=ac\cos (\beta )+bc\cos (\alpha ).$

Ved å betrakte de andre høydene får vi

$a^2=ac\cos (\beta )+ab\cos (\gamma ),$

$b^2=bc\cos (\alpha )+ab\cos (\gamma ).$

Ved å legge sammen de to siste ligningene får vi

$a^2+b^2=ac\cos (\beta )+bc\cos (\alpha )+2ab\cos (\gamma )$.

Ved å trekke den første ligningen fra den siste får vi

$a^2+b^2-c^2=-ac\cos (\beta )-bc\cos (\alpha )+ac\cos (\beta )+bc\cos (\alpha )+2ab\cos (\gamma )$

som kan forenkles til

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos (\gamma ).$

Mange bevis behandler tilfellene med stump og spiss vinkel γ separat.

Den utvidede cosinussetningen

Den utvidede cosinussetningen kan brukes til å finne den siste siden i en firkant hvor man kjenner 3 sider og vinklene mellom dem.

$\begin{array}{cc}DC& =\sqrt{A{D}^2+{\sqrt{A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos (b)}}^2-2\cdot AD\cdot \sqrt{A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos (b)}\cdot \cos (a-{\sin }^{-1}(\frac{\sin (b)\cdot BC}{\sqrt{A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos (b)}})}\\ \end{array}$

Som kan forkortes til:

$\begin{array}{cc}DC& =\sqrt{A{D}^2+A{C}^2-2\cdot AD\cdot AC\cdot \cos (a-{\sin }^{-1}(\frac{\sin (b)\cdot BC}{AC})}\\ \end{array}$

Se også

• Triangulering
• Sinussetningen
• Tangenssetningen

Eksterne lenker

• Mange utledninger av cosinussetningen på cut-the-knot