L’Hôpitals regel

L'Hôpitals regel er en regel innenfor matematikken som brukes til å bestemme grenseverdier av ubestemmelige uttrykk som 0⁰, 0/0, ∞/∞ og lignende. Regelen sier at en kan finne grenseverdien ved å derivere teller og nevner i uttrykket hvis det står på formen 0/0 eller ∞/∞.

Den er oppkalt etter Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital, som først publiserte den.

Regel

• Gitt funksjonene f(x) og g(x)

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0.$

• eller:

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\pm \underset{x\to c}{\lim }g(x)=\pm \mathrm{\infty },$

• Er grenseverdien gitt ved:

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

Eksempler

• Et enkelt eksempel på bruk av L'Hôpitals regel:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3x^2}{2x^2}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{6x}{4x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

• Et litt mer komplisert uttrykk er gitt ved følgende ligning:

$\begin{array}{cc}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\sin x-\sin 2x}{x-\sin x}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\cos x-2\cos 2x}{1-\cos x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-2\sin x+4\sin 2x}{\sin x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-2\cos x+8\cos 2x}{\cos x}\\ & =\frac{-2\cos 0+8\cos 0}{\cos 0}\\ & =6\end{array}$

• Her er et eksempel på et ∞/∞ uttrykk:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sqrt{x}}{\ln (x)}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1/(2\sqrt{x})}{1/x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sqrt{x}}{2}=\mathrm{\infty }$

• 0×∞ uttrykk:

$\underset{x\to 0+}{\lim }(x\ln x)=\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{\ln x}{1/x}=\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{1/x}{-1/x^2}=\underset{x\to 0+}{\lim }-x=0$

• For å regne ut uttrykk av formen 0⁰ må uttrykket omskrives. Vi bruker resultatet fra forrige eksempel til å fastslå grenseverdien:

$\underset{x\to 0}{\lim }{x}^x=e^{\underset{x\to 0}{\lim }(x\ln x)}=e^0=1.$

Litteratur

• Mal:Citation
• Mal:Citation
• Mal:Citation
• Mal:Citation
• Mal:Citation