Vis kilden til Bestemthet (matriser)

I [[lineær algebra]] sies en symmetrisk, reell ''n'' &#xD7; ''n''-[[matrise]] <math display="inline">M</math> å være '''positivt bestemt '''(også kalt '''positivt definitt''') dersom skalaren <math display="inline">z^{\mathrm{T}}Mz</math> er positiv for enhver ikke-null kolonnevektor <math>z</math> av <math>n</math> [[Reelt tall|reelle tall]]. Her symboliserer <math>z^{\mathrm{T}}</math> den [[Matrise|transponerte]] av <math>z</math>.<ref>http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/9780470173862.app3/pdf</ref>

Mer generelt sies en Hermitsk ''n'' × ''n''-matrise <math display="inline">M</math> å være '''positivt bestemt''' hvis skalaren <math display="inline">z^{*}Mz</math> er reell og positiv for alle ikke-null kolonnevektorer <math>z</math> av <math>n</math> [[Komplekst tall|komplekse tall]]. Her symboliserer <math>z^{*}</math> den [[Matrise|konjungerte transponeringen]] av <math>z</math>.

En Hermitesk matrise sies å være '''negativt bestemt  '''('''negativt definitt''') dersom uttrykket <math display="inline">z^{\mathrm{T}}Mz</math> eller <math display="inline">z^{*}Mz</math> alltid er negativt. Matrisen kalles '''semi-positivt bestemt '''dersom uttrykket <math display="inline">z^{\mathrm{T}}Mz</math> eller <math display="inline">z^{*}Mz</math> er ikke-negativ (større enn eller lik null), og '''semi-negativt bestemt''' dersom uttrykket er ikke-positivt (mindre enn eller lik null).

En Hermitesk matrise som hverken er positivt bestemt, negativt bestemt, semi-positivt bestemt eller semi-negativt bestemt, kalles '''ubestemt''' ('''indefinitt''').

Noen forfattere bruker mer generelle definisjoner av positivt og negativt bestemthet, som inkluderer noen ikke-symmetriske reelle matriser, eller ikke-Hermiteske komplekse matriser.

== Egenverdier ==
* En Hermitesk ''n'' &#xD7; ''n-''matrise er positivt bestemt hvis og bare hvis alle dens [[Egenvektor|egenverdier]] er positive. 
* En Hermitesk ''n'' &#xD7; ''n-''matrise er negativt bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er negative.
* En Hermitesk ''n'' &#xD7; ''n-''matrise er semi-positivt bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er ikke-negative (større enn eller lik null).
* En Hermitesk ''n'' &#xD7; ''n-''matrise er semi-negativ bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er ikke-positive (mindre enn eller lik null).
* En Hermitesk ''n'' &#xD7; ''n-''matrise er ubestemt hvis og bare hvis den har både positive og negative egenverdier.

== Eksempler ==
* [[Identitetsmatrise|Identitetsmatrisen]] <math> I =  \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} </math> er positivt bestemt. Sett som en reel matrise, er den symmetrisk, og for enhver ikke-null kolonnevektor ''z'' med reelle elementer ''a'' og ''b'', har vi
:: <math> z^{\mathrm{T}}I z = \begin{bmatrix} a & b\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}= a^2 + b^2</math>.
: Sett som en kompleks matrise, for enhver ikke-null kolonnevektor z med komplekse elementer ''a'' og ''b,'' har vi
:: <math> z^*I z = \begin{bmatrix} a^* & b^*\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}=a^*a +b^*b = |a|^2 + |b|^2</math>.
: Uansett er resultatet positivt, siden ''z'' ikke er nullvektoren (det vil si at minst én av elementene ''a'' og ''b'' er forskjellig fra null).
* Den reelle symmetriske matrisen
:: <math> M = \begin{bmatrix} 2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2 \end{bmatrix} </math>
: er positivt bestemt, siden for enhver ikke-null kolonnevektor ''z'' med elementer ''a'', ''b'' og ''c'', har vi
:: <math>\begin{align} z^{\mathrm{T}}M z = (z^{\mathrm{T}}M) z &= \begin{bmatrix} (2a-b)&(-a+2b-c)&(-b+2c) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix} \\
&= 2{a}^2 - 2ab + 2{b}^2 - 2bc + 2{c}^2 \\
&= {a}^2+(a - b)^{2} + (b - c)^{2}+{c}^2.
\end{align} </math>
: Dette resultatet er en sum av kvadrater, og derfor ikke-negativt. Dessuten er det bare null hvis ''a'' = ''b'' = ''c'' = 0, men det skjer kun hvis ''z'' er nullvektoren.
* Den reelle symmetriske matrisen
:: <math>N =  \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1\end{bmatrix} </math>
: er ikke positivt bestemt. Hvis ''z'' er vektoren <math>\begin{bmatrix} -1\\ 1\end{bmatrix}</math>, har vi <math> z^{\mathrm{T}}N z = \begin{bmatrix} -1 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1\end{bmatrix}= -2 < 0.</math>
* For enhver ikke-singulær matrise <math>A</math> er produktet <math> A^{\mathrm{T}} A </math> en positivt bestemt matrise. Et enkelt bevis er at for enhver ikke-null vektor <math> z </math>, gjelder<math> z^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}} A z = \| A z \|_2^2 > 0, </math> siden den ikke-singulære matrisen <math>A</math> betyr at <math>Az \neq 0.</math>
Eksemplene ''M'' og ''N'' ovenfor viser at en matrise med noen negative elementer likevel kan være positivt bestemt, og motsatt, at en matrise med bare positive elementer ikke nødvendigvis er positivt bestemt.

== Referanser ==
<references />

[[Kategori:Lineær algebra]]