Bestemthet (matriser)

I lineær algebra sies en symmetrisk, reell n × n-matrise $M$ å være positivt bestemt (også kalt positivt definitt) dersom skalaren $z^{\mathrm{T}}Mz$ er positiv for enhver ikke-null kolonnevektor $z$ av $n$ reelle tall. Her symboliserer $z^{\mathrm{T}}$ den transponerte av $z$.

Mer generelt sies en Hermitsk n × n-matrise $M$ å være positivt bestemt hvis skalaren $z^{*}Mz$ er reell og positiv for alle ikke-null kolonnevektorer $z$ av $n$ komplekse tall. Her symboliserer $z^{*}$ den konjungerte transponeringen av $z$.

En Hermitesk matrise sies å være negativt bestemt  (negativt definitt) dersom uttrykket $z^{\mathrm{T}}Mz$ eller $z^{*}Mz$ alltid er negativt. Matrisen kalles semi-positivt bestemt dersom uttrykket $z^{\mathrm{T}}Mz$ eller $z^{*}Mz$ er ikke-negativ (større enn eller lik null), og semi-negativt bestemt dersom uttrykket er ikke-positivt (mindre enn eller lik null).

En Hermitesk matrise som hverken er positivt bestemt, negativt bestemt, semi-positivt bestemt eller semi-negativt bestemt, kalles ubestemt (indefinitt).

Noen forfattere bruker mer generelle definisjoner av positivt og negativt bestemthet, som inkluderer noen ikke-symmetriske reelle matriser, eller ikke-Hermiteske komplekse matriser.

Egenverdier

• En Hermitesk n × n-matrise er positivt bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er positive.
• En Hermitesk n × n-matrise er negativt bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er negative.
• En Hermitesk n × n-matrise er semi-positivt bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er ikke-negative (større enn eller lik null).
• En Hermitesk n × n-matrise er semi-negativ bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er ikke-positive (mindre enn eller lik null).
• En Hermitesk n × n-matrise er ubestemt hvis og bare hvis den har både positive og negative egenverdier.

Eksempler

• Identitetsmatrisen $I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ er positivt bestemt. Sett som en reel matrise, er den symmetrisk, og for enhver ikke-null kolonnevektor z med reelle elementer a og b, har vi

$z^{\mathrm{T}}Iz=\left[\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]=a^2+b^2$.

Sett som en kompleks matrise, for enhver ikke-null kolonnevektor z med komplekse elementer a og b, har vi

$z^{*}Iz=\left[\begin{array}{cc}{a}^{*}& b^{*}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]=a^{*}a+b^{*}b=|a{|}^2+|b{|}^2$.

Uansett er resultatet positivt, siden z ikke er nullvektoren (det vil si at minst én av elementene a og b er forskjellig fra null).

• Den reelle symmetriske matrisen

$M=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right]$

er positivt bestemt, siden for enhver ikke-null kolonnevektor z med elementer a, b og c, har vi

$\begin{array}{cc}{z}^{\mathrm{T}}Mz=(z^{\mathrm{T}}M)z& =\left[\begin{array}{ccc}(2a-b)& (-a+2b-c)& (-b+2c)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]\\ & =2a^2-2ab+2b^2-2bc+2c^2\\ & =a^2+(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+c^2.\end{array}$

Dette resultatet er en sum av kvadrater, og derfor ikke-negativt. Dessuten er det bare null hvis a = b = c = 0, men det skjer kun hvis z er nullvektoren.

• Den reelle symmetriske matrisen

$N=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]$

er ikke positivt bestemt. Hvis z er vektoren $\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$, har vi $z^{\mathrm{T}}Nz=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]=-2<0.$

• For enhver ikke-singulær matrise $A$ er produktet $A^{\mathrm{T}}A$ en positivt bestemt matrise. Et enkelt bevis er at for enhver ikke-null vektor $z$, gjelder$z^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}Az=\Vert Az{\Vert }_2^2>0,$ siden den ikke-singulære matrisen $A$ betyr at $Az\ne 0.$

Eksemplene M og N ovenfor viser at en matrise med noen negative elementer likevel kan være positivt bestemt, og motsatt, at en matrise med bare positive elementer ikke nødvendigvis er positivt bestemt.