Vis kilden til Cauchy–Schwarz’ ulikhet

'''Cauchy&ndash;Schwarz’ ulikhet''' er en av de viktigste ulikhetene i [[lineær algebra]]. Den har sitt navn etter den franske matematikeren
[[Augustin Louis Cauchy]] (1789–1857) og den tyske matematikeren [[Hermann Amandus Schwarz]] (1843–1921). [[Trekantulikheten]] kan bevises ved å bruke Cauchy-Schwarz ulikhet.

== Om ulikheten ==
For [[Vektor (matematikk)|vektorer]] <math>\mathbf{u}=(u_1,u_2)</math> og <math>\mathbf{v}=(v_1,v_2)</math> i planet sier ulikheten at:
:<math>|u_1v_1+u_2v_2|\leq\sqrt{u_1^2+u_2^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2}</math>.

Generelt gjelder: For [[Vektor (matematikk)|vektorer]] <math>\mathbf{u}</math> og <math>\mathbf{v}</math> i et reelt [[indreproduktrom|vektorrom med indreprodukt ]]<math>\cdot</math>, eksempelvis 
det Euklidske n-rommet <math>\mathbb{R}^n</math>, er
:<math>|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\leq \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|</math>.
Ofte blir ulikheten uttrykt ved sumoperatoren, som er ekvivalent med sistnevnte uttrykk.

<math>\left(\sum_{k=1}^n a_k^2 \right) \left(\sum_{k=1}^n b_k^2 \right) \geq \left(\sum_{k=1}^n a_kb_k\right)^2</math>

Der elementene i følgende <math>a_1,a_2,\dots,a_n</math>og <math>b_1,b_2,\dots,b_n</math>er i den reelle tallmengden

Ulikheten ble først introdusert av Cauchy i ''Course d’analyse'' (1821), da i form av endelige summer, likt den måten ulikheten er uttrykt ved over. I 1859 viste en tidligere student av Cauchy, Bunyakovsky, ulikheten for uendelige summer, uttrykt ved integraler. Karl Schwarz gjenoppdaget Bunyakovskys arbeid i 1888, i hans arbeid med minimalflater, og uttrykte da ulikheten i form av dobbeltintegraler. Ulikheten tar også gjerne navnet Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz’ ulikhet av denne grunn.

== Eksempler ==

=== Vinkler ===
Ulikheten forsikrer at vinkelen mellom to vektorer, begge ulik <math>0</math>, er veldefinert. Denne vinkelen <math>\theta</math>
er spesifisert ved
:<math>\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}</math> og <math>0\leq\theta\leq\pi</math>.

=== Amplitude for svingninger ===

Svingninger beskrives ved en funksjon <math>f(x)=a\cos(x)+b\sin(x)</math>, hvor <math>a</math> og <math>b</math> er parametere.
Ved å se på <math>(a,b)</math> og <math>(\cos(x),\sin(x))</math> som vektorer i planet gir Cauchy-Schwarz’ ulikhet at
:<math>|f(x)|=|a\cos(x)+b\sin(x)|\leq\sqrt{a^2+b^2}</math>
siden <math>\cos^2(x)+\sin^2(x)=1</math>.

== Bevis ==
Dersom <math>\mathbf{u}</math> eller <math>\mathbf{v}</math> er lik <math>0</math>, så er ulikheten opplagt.
Anta derfor at begge vektorene er ulik <math>0</math>.

La <math>t</math> være en skalar, og se på vektoren <math>t\mathbf{u}+\mathbf{v}</math>. Vi har
:<math>(t\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot(t\mathbf{u}+\mathbf{v})\geq0</math>.
Ved å multiplisere ut venstre side og betrakte den som et polynom i <math>t</math>, får vi
:<math>\|\mathbf{u}\|^2t^2+2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})t+\|\mathbf{v}\|^2\geq0</math>.
Et annengradspolynom <math>at^2+bt+c</math> er større enn eller lik <math>0</math> for alle <math>t</math> dersom
<math>a\geq0</math> og [[diskriminanten]] <math>D=b^2-4ac</math> er mindre enn eller lik <math>0</math>. I vårt tilfelle fås:
:<math>(2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}))^2-4\|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2\leq0</math>.
En rydder opp og ser at:
:<math>(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})^2\leq\|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2</math>.
Cauchy-Schwartz’ ulikhet fremkommer nå ved å ta kvadratrot på begge sider:
:<math>|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\leq \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|</math>.

== Referanser ==
<references />

== Eksterne lenker ==

* [https://www.youtube.com/watch?v=mOfCS7n0aSc Video om Cauchy–Schwarz’ ulikhet]

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Lineær algebra]]