Cauchy–Schwarz’ ulikhet

Cauchy–Schwarz’ ulikhet er en av de viktigste ulikhetene i lineær algebra. Den har sitt navn etter den franske matematikeren Augustin Louis Cauchy (1789–1857) og den tyske matematikeren Hermann Amandus Schwarz (1843–1921). Trekantulikheten kan bevises ved å bruke Cauchy-Schwarz ulikhet.

Om ulikheten

For vektorer $𝐮=(u_1,u_2)$ og $𝐯=(v_1,v_2)$ i planet sier ulikheten at:

$|u_1{v}_1+u_2{v}_2|\le \sqrt{u_1^2+u_2^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2}$.

Generelt gjelder: For vektorer $𝐮$ og $𝐯$ i et reelt vektorrom med indreprodukt $\cdot$, eksempelvis det Euklidske n-rommet ${ℝ}^n$, er

$|𝐮\cdot 𝐯|\le \Vert 𝐮\Vert \Vert 𝐯\Vert$.

Ofte blir ulikheten uttrykt ved sumoperatoren, som er ekvivalent med sistnevnte uttrykk.

$\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^2\right)\left(\sum _{k=1}^n{b}_k^2\right)\ge {\left(\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\right)}^2$

Der elementene i følgende $a_1,a_2,\dots ,a_n$og $b_1,b_2,\dots ,b_n$er i den reelle tallmengden

Ulikheten ble først introdusert av Cauchy i Course d’analyse (1821), da i form av endelige summer, likt den måten ulikheten er uttrykt ved over. I 1859 viste en tidligere student av Cauchy, Bunyakovsky, ulikheten for uendelige summer, uttrykt ved integraler. Karl Schwarz gjenoppdaget Bunyakovskys arbeid i 1888, i hans arbeid med minimalflater, og uttrykte da ulikheten i form av dobbeltintegraler. Ulikheten tar også gjerne navnet Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz’ ulikhet av denne grunn.

Eksempler

Vinkler

Ulikheten forsikrer at vinkelen mellom to vektorer, begge ulik $0$, er veldefinert. Denne vinkelen $\theta$ er spesifisert ved

$\cos \theta =\frac{𝐮\cdot 𝐯}{\Vert 𝐮\Vert \Vert 𝐯\Vert }$ og $0\le \theta \le \pi$.

Amplitude for svingninger

Svingninger beskrives ved en funksjon $f(x)=a\cos (x)+b\sin (x)$, hvor $a$ og $b$ er parametere. Ved å se på $(a,b)$ og $(\cos (x),\sin (x))$ som vektorer i planet gir Cauchy-Schwarz’ ulikhet at

$|f(x)|=|a\cos (x)+b\sin (x)|\le \sqrt{a^2+b^2}$

siden ${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$.

Bevis

Dersom $𝐮$ eller $𝐯$ er lik $0$, så er ulikheten opplagt. Anta derfor at begge vektorene er ulik $0$.

La $t$ være en skalar, og se på vektoren $t𝐮+𝐯$. Vi har

$(t𝐮+𝐯)\cdot (t𝐮+𝐯)\ge 0$.

Ved å multiplisere ut venstre side og betrakte den som et polynom i $t$, får vi

$\Vert 𝐮{\Vert }^2{t}^2+2(𝐮\cdot 𝐯)t+\Vert 𝐯{\Vert }^2\ge 0$.

Et annengradspolynom $a{t}^2+bt+c$ er større enn eller lik $0$ for alle $t$ dersom $a\ge 0$ og diskriminanten $D=b^2-4ac$ er mindre enn eller lik $0$. I vårt tilfelle fås:

$(2(𝐮\cdot 𝐯){)}^2-4\Vert 𝐮{\Vert }^2\Vert 𝐯{\Vert }^2\le 0$.

En rydder opp og ser at:

$(𝐮\cdot 𝐯{)}^2\le \Vert 𝐮{\Vert }^2\Vert 𝐯{\Vert }^2$.

Cauchy-Schwartz’ ulikhet fremkommer nå ved å ta kvadratrot på begge sider:

$|𝐮\cdot 𝐯|\le \Vert 𝐮\Vert \Vert 𝐯\Vert$.

Eksterne lenker

• Video om Cauchy–Schwarz’ ulikhet