Vis kilden til Lie-derivasjon

[[Fil:Lie_transport.jpg|thumb|320px|Lie-deriverte av vektor '''v''' langs '''u''' finnes ved å sammenligne '''v'''<sub>''y''</sub> med '''v'''<sub>''x''</sub>  i samme punkt ''x''.]]
'''Lie-derivasjon''' er i [[matematisk analyse]] en generalisering av den [[retningsderivert]]e av [[skalar]]e [[funksjon (matematikk)|funksjoner]] til å gjelde for [[vektor (matematikk)|vektorer]] og [[tensor]]er. 

All [[derivasjon]] er basert på muligheten til å sammenligne en variabel størrelse i to nærliggende punkt. Men en vektor kan ikke uten videre bringes  entydig til det punkt hvor vektoren den skal sammenlignes med, befinner seg. [[Geodetisk kurve#Parallellitet|Parallelltransport]] gjør dette mulig og leder til [[Differensiell flategeometri#Kovariant derivasjon|kovariant derivasjon]] av vektorer og tensorer. En annen mulighet er transport av slike størrelser basert på [[feltlinje|strømlinjene]] som hvert [[vektorfelt]] definerer. Dette danner grunnlaget for Lie-derivasjon som dermed også vil være koordinatuavhengig.

Denne  form for derivasjon ble oppdaget av den norske matematiker [[Sophus Lie]] i forbindelse med hans arbeider med etablering av teorien for [[Lie-gruppe]]r. I dag benyttes den i mange andre sammenhenger og er spesielt nyttig for undersøkelse av [[symmetri]]er i forskjellige grener av [[teoretisk fysikk]].

==Definisjon==

Et [[vektorfelt]] '''u''' på en [[mangfoldighet]] definerer en [[feltlinje|strømlinje]] som er en glatt [[kurve]] bestemt ved ett utgangspunkt. Fra kjennskap til komponentene til en generell [[tensor]] '''T''' i dette punktet kan man beregne tilsvarende verdier av komponentene i andre punkt på kurven. Dette omtales noen ganger som om tensoren ''flyter'' eller blir ''Lie-transportert'' langs kurven. Dette mentale bildet er basert på at parameteren som beskriver kurven, oppfattes som en tid i [[mekanikk]] eller [[hydrodynamikk]]. Man kan da tenke seg at en slik flyt- eller strømlinje starter ut i et punkt ''x'' på mangfoldigheten når kurveparameteren har verdien {{nowrap|''t'' {{=}} 0}} og i en retning gitt ved vektorfeltet '''u'''<sub>''x''</sub>&thinsp; i det punktet.  På samme måte kan tensoren og dens komponenter der angis som <math> \mathbf{T}_x </math> . 

For en senere parameterverdi {{nowrap|''t'' > 0}} går flytlinjen gjennom punktet {{nowrap|''x<sub>t</sub>'' {{=}} ''x''(''t'')}}. Der har tensoren komponenter som inngår i <math> \mathbf{T}_{x(t)} </math>  da den er veldefinert over hele mangfoldigheten. Men samtidig er det mulig å beregne hva den ville ha vært hvis den strømmet med langs flytlinjen. Denne kan betegnes med  <math> \mathbf{T'}_{x(t)} </math> og vil i alminnelighet være litt forskjellig fra <math> \mathbf{T}_{x(t)} </math>. Differansen kan benyttes til å beregne den Lie-deriverte av '''T''' i punktet ''x<sub>t</sub>&thinsp;'' når parameteren ''t&thinsp;'' blir liten nok.<ref name = Schutz> B.F. Schutz, ''Geometrical methods of mathematical physics'', Cambridge University Press, England (1982). ISBN 0-521-29887-3. </ref>

Denne definisjonen benyttes enklest når den deriverte beregnes i flytlinjens startpunktet ''x''. Da er den gitt ved differansen mellom <math> \mathbf{T}_x </math> og <math> \mathbf{T}_{x(t)} </math> etter at den Lie-transporteres tilbake fra ''x<sub>t</sub>&thinsp;'' til ''x''. Kalles denne tensoren <math> \mathbf{'T}_{x(t)} </math>, vil den ha en Lie-derivert i retning '''u''' som kan finnes fra

: <math> L_{\mathbf{u}}\mathbf{T}_x = \lim_{t \to 0} {1\over t}\big[ \mathbf{'T}_{x(t)} - \mathbf{T}_x\big] </math>

I det enkleste tilfelle kan man betrakte en [[skalar]] [[funksjon (matematikk)|funksjon]] ''F''(''x''). Den vil ikke forandres under en slik flyt, og den Lie-deriverte faller sammen med den [[retningsderivert]]e <math> D_{\mathbf{u}} </math> av funksjonen. Den kan uttrykkes ved komponentene  ''u<sup>&mu;</sup>''  til retningsvektoren '''u''' slik at man har

: <math>  L_{\mathbf{u}}F = u^\mu{\partial F\over \partial x^\mu}  </math> 

når  [[Einsteins summekonvensjon]] benyttes og man summerer over de to like indeksene forbundet med [[koordinatsystem|koordinatene]] ''x<sup>&mu;</sup>'' = {{nowrap|(''x''<sup>1</sup>,''x''<sup>2</sup>,...,''x''<sup>''n''</sup>)}} på en ''n''-dimensjonal [[mangfoldighet]]. 

Denne Lie-deriverte av en skalar funksjon kan skrives som <math>  L_{\mathbf{u}}F = \mathbf{u} F </math> når man betrakter [[Tangent (matematikk)#Tangentvektorer på mangfoldigheter|tangentvektoren]] '''u''' som en ''derivasjonsoperator''

: <math>\mathbf{u} = u^\mu\partial_\mu = u^1{\partial \over\partial x^1} + u^2{\partial \over\partial x^2} + \cdots + u^n{\partial \over\partial x^n} </math>

De partiellderiverte &part;<sub>''&mu;''</sub> opptrer da som [[vektor (matematikk)|basisvektorer]] '''e'''<sub>''&mu;''</sub> på mangfoldigheten. Denne formuleringen benyttes i moderne [[differensialgeometri]] og forenkler i stor grad den matematiske notasjonen. For eksempel kan den Lie-deriverte av et [[vektorfelt]] '''v'''(''x'') i retning '''u''' da skrives som

: <math>  L_{\mathbf{u}}\mathbf{v} = [\mathbf{u}, \mathbf{v}]  </math>

hvor på høyre side ''kommutatoren'' <math>  [\mathbf{u}, \mathbf{v}] = \mathbf{u}\mathbf{v} - \mathbf{v}\mathbf{u} </math> er en ny vektoroperator. Den  spiller også en fundamental rolle i [[kvantemekanikk]]en. På lignende, kompakt vis kan nå Lie-derivasjon av [[differensialform]]er og mer generelle tensorer sammenfattes.<ref name = Penrose> R. Penrose, ''The Road to Reality'', Jonathan Cape, London (2004). ISBN 0-224-04447-8.</ref>

==Flytlinjer==
Et [[vektorfelt]] på en ''n''-dimensjonal mangfoldighet kan skrives som '''u'''(''x'') = ''u<sup>&mu;</sup>''(''x'')&thinsp;'''e'''<sub>''&mu;''</sub> hvor basisvektorene '''e'''<sub>''&mu;''</sub> = &part;<sub>''&mu;''</sub> kan betraktes som tangentvektorer til koordinatlinjene og vil derfor ha varierende retninger på mangfoldigheten. Komponentene {{nowrap|''u<sup>&mu;</sup>''(''x'')}} til vektoren er skalare funksjoner og vil derfor også variere fra punkt til punkt.

En [[feltlinje|strømlinje]] eller ''flytlinje'' for et vektorfelt '''u''' er en [[kurve]] på mangfoldigheten som i hvert punkt har en [[tangent (matematikk)|tangentvektor]] som sammenfaller med vektorfeltet i det samme punktet. Flytlinjen er da beskrevet ved ''n'' funksjoner ''x<sup>&mu;</sup>''(''t'') som avhenger av en parameter ''t''. I hvert punkt har den da en tangentvektor {{nowrap|''d''&thinsp;/''dt'' {{=}} (''dx<sup>&mu;</sup>''/''dt'')&thinsp;&part;<sub>''&mu;''</sub>}} slik at dens koordinater på oppfylle

: <math> {dx^\mu\over dt} = u^\mu(x) </math>

Dette er en første ordens [[differensialligning]] hvis løsning er bestemt når man angir begynnelsespunktet <math> x_0 </math> til kurven for {{nowrap|''t'' {{=}} 0}}. Med denne grensebetingelsen kan den generelle løsningen skrives som <math> x^\mu_t = x^\mu(t, x_0) </math> hvor <math> x^\mu_0 = x^\mu(0, x_0) </math>. Hvis <math> x^\mu_s = x^\mu(s, x_0) </math> , vil <math> x^\mu_{t+s} = x^\mu(t,x_s) = x^\mu(t + s, x_0) </math>. For alle mulige valg av begynnelsespunktet <math> x_0 </math>  vil disse flytlinjene fylle ut mangfoldigheten. Men de vil ikke kunne skjære hverandre da det i hvert punkt kun er én tangentvektor. Flytlinjene sies å utgjøre en ''kongruens'' for vektorfeltet.<ref name = Schutz/>

===Eksempel===

Flytlinjer i én dimensjon går bare i én retning. Er denne langs ''x''-aksen, kan et generelt vektorfelt skrives som '''u''' = ''u<sub>x</sub>''&thinsp;'''e'''<sub>''x''</sub>. Dette kunne beskrive en vannstråle med et variabelt [[hydrodynamikk|hastighetsfelt]] hvor parameteren ''t'' er tiden. Tangentvektoren angir da hastigheten til en partikkel i strålen. 

Hvis man så antar at vektorfeltet har komponenten {{nowrap|''u<sub>x</sub>'' {{=}} ''x''<sup>&thinsp;2</sup>}}, vil posisjonen til partikkelen være bestemt ved {{nowrap|''dx''/''dt'' {{=}} ''x''<sup>&thinsp;2</sup>}}. Løsningen av denne differensialligningen finnes ved direkte integrasjon å være  {{nowrap|1/''x''<sub>0</sub> - 1/''x'' {{=}} ''t&thinsp;''}} når man benytter samme grensebetingelse som tidligere angitt. Den er derfor

: <math> x(t, x_0) = {x_0\over 1 - tx_0} </math>

Man kan nå lett verifisere at den tilfredsstiller <math>  x(s + t, x_0)  = x (s, x_t) = x_t/( 1 - s x_t) </math>.

Mer interessant er en todimensjonal mangfoldighet med vektorfeltet  {{nowrap|'''u''' {{=}} ''x''&thinsp;'''e'''<sub>''y''</sub> - ''y''&thinsp;'''e'''<sub>''x''</sub>}}. Flytlinjene er da bestemt ved ligningene
{{nowrap|''dx''/''dt'' {{=}} - ''y''}} og {{nowrap|''dy''/''dt'' {{=}} ''x''}}. Multipliseres den første med ''x'' og den andre med ''y'', får man

: <math> {d\over dt} \big(x^2 + y^2\big) = 0 </math>

etter å addere dem sammen. Flytlinjene er derfor [[sirkel|sirkler]] der  <math> x^2 + y^2 =  a^2 </math> er den kvadrerte radius. Hvis partikkelen ved tiden  {{nowrap|''t'' {{=}} 0}} er  i punktet <math> x^\mu_0 = (x_0, y_0) </math> med <math> x_0^2 + y_0^2 = a^2 </math>, vil parameterfremstillingen av denne lukkete flytlinjen være 

: <math>\begin{align} x_t &= x_0\cos t - y_0 \sin t\\ y_t &= x_0\sin t + y_0 \cos t\end{align} </math>

Denne løsningen oppfyller de definerende ligningene {{nowrap|(''d''&thinsp;/''dt'')''x<sub>t</sub>'' {{=}} - ''y<sub>t</sub>''&thinsp;}} og {{nowrap|(''d''&thinsp;/''dt'')''y<sub>t</sub>'' {{=}} ''x<sub>t</sub>''&thinsp;}} samt grensebetingelsen og beskriver en rotasjon i ''xy''-planet. Ved bruk av [[trigonometrisk identitet|trigonometriske identiteter]] følger herav at ved et senere tidspunkt vil posisjonen <math> (x_{s+t}, y_{s+t}) </math>  på samme kunne uttrykkes ved <math> (x_t, y_t) </math>  i stedet for <math> (x_0, y_0) </math>.

==Eksponensiering==
Ved bruk av en [[Taylor-rekke|Taylor-utvikling]] kan koordinatene  ''x<sup>&mu;</sup>''(''t'') til et vilkårlig punkt på flytlinje beregnes fra et kompakt uttrykk. Det er basert på at dens tangentvektor kan skrives som {{nowrap|'''u''' {{=}} ''d''&thinsp;/''dt''}}. Da blir

: <math> x^\mu (t) =   \Big(1 +  t{d\over dt} + {t^2\over 2!}{d^2\over dt^2} +  {t^3\over 3!}{d^3\over dt^3} + \cdots \Big) x^\mu </math>

hvor de deriverte tas i utgangspunkt for ''t'' = 0 der koordinatene skrives som  ''x<sup>&mu;</sup>''. Den uendelige rekken kan nå uttrykkes ved [[eksponentialfunksjon]]en og man har

: <math> x^\mu (t) = e^{td/dt}x^\mu = e^{t\mathbf{u}} x^\mu </math>

Nå er  <math>  e^{(s+t)\mathbf{u}} =  e^{s\mathbf{u}}e^{t\mathbf{u}} </math> slik at løsningen på denne formen har den forventete egenskap at <math>  e^{(s+t)\mathbf{u}}x^\mu =  e^{s\mathbf{u}}x^\mu_t </math>. Operatorene <math> g(t) = e^{t\mathbf{u}} </math> utgjør elementene i den enkleste [[Lie-gruppe]].<ref name = Gilmore> R. Gilmore, ''Lie Groups, Lie Algebras and Some of Their Applications'', John Wiley & Sons, New York (1974). ISBN 0-471-30179-5.</ref> Den er generert av vektoroperatoren '''u''' og har egenskapen <math> g(s+t) = g(s)g(t).</math> Det inverse elementet til <math> g(t) </math> er <math> g^{-1}(t) = g(-t) = e^{-t\mathbf{u}} </math> da [[Gruppe (matematikk)#Kontinuerlige grupper|enhetselementet]] er <math> g(0) = 1 </math>.

I det enkle eksemplet i én dimensjon hvor vektorfeltet har bare en komponent, er '''u''' = ''x''<sup>&thinsp;2</sup>(&part;/&part;''x'') og

: <math>\begin{align} x(t) &= \Big( 1 + tx^2 {\partial\over\partial x} + {t^2\over 2!}x^2 {\partial\over\partial x}x^2 {\partial\over\partial x} + \cdots \Big) x \\
&= x + tx^2 + t^2x^3 +  t^3x^4 + \cdots = {x\over 1 - tx} \end{align}</math>

da den uendelige rekken er [[geometrisk rekke|geometrisk]]. Dette er resultatet som tidligere ble funnet ved å løse en differensialligning.

En sirkulær flytlinje er generert av vektoren '''u''' = ''x''&thinsp;&part;<sub>''y''</sub> - ''y''&thinsp;&part;<sub>''x''</sub>. Derfor er {{nowrap|'''u'''''x'' {{=}} - ''y''&thinsp;}} og {{nowrap|'''u'''''y'' {{=}} ''x''&thinsp;}} slik at en endelig forskyvning fra (''x,y'') ved {{nowrap|''t'' {{=}} 0}} blir

: <math>\begin{align} x(t) &=  e^{t\mathbf{u}}x = x - ty - {t^2\over 2!} x + {t^3\over 3!} y + {t^4\over 4!} x + \cdots \\ &= x\big(1 - {t^2\over 2!} +  {t^4\over 4!} + \cdots\big) - y\big(t -  {t^3\over 3!} + {t^5\over 5!} + \cdots \big) \\ &= x\cos t - y\sin t \end{align}</math>

og tilsvarende for <math> y(t) </math> når man bruker [[Trigonometrisk funksjon#Rekkedefinisjoner|Taylor-rekkene]] for de to trigonometriske funksjonene.

===Kommutator===

Når mangfoldigheten inneholder to vektorfelt '''u''' = ''u<sup>&mu;</sup>''&thinsp;'''e'''<sub>''&mu;''</sub> og '''v''' = ''v<sup>&mu;</sup>''&thinsp;'''e'''<sub>''&mu;''</sub>, kan man fra et gitt utgangspunkt ''P&thinsp;'' generere flytlinjer i to forskjellige retninger. Hvis man da betrakter en liten forflytning tilsvarende en parameter ''&epsilon;'' << 1 til et punkt langs '''v'''  og videre derfra langs '''u''' med den samme parameterforandringen, vil man i alminnelighet ikke ankomme samme punkt hvis man starter fra ''P'' og først beveger seg langs '''u''' og deretter langs '''v'''. Det følger fra

: <math>\begin{align} e^{\varepsilon\mathbf{u}}e^{\varepsilon\mathbf{v}} - e^{\varepsilon\mathbf{v}}e^{\varepsilon\mathbf{u}} &= (1 + \varepsilon\mathbf{u} + \cdots) (1 + \varepsilon\mathbf{v} + \cdots) - (1 + \varepsilon\mathbf{v} + \cdots) (1 + \varepsilon\mathbf{u} + \cdots)\\ 
&= \varepsilon^2(\mathbf{u} \mathbf{v}- \mathbf{v} \mathbf{u})  \end{align}</math>

i grensen hvor parameteren  ''&epsilon;'' &rarr; 0. Om man ankommer det samme punktet langs de to forskjellige veiene eller ikke, er derfor bestemt av verdien til  ''kommutatoren''

: <math> [ \mathbf{u}, \mathbf{v}] = \mathbf{u} \mathbf{v}- \mathbf{v} \mathbf{u} </math>

Når den er forskjellig fra null, definerer den et nytt vektorfelt som representerer en forflytning i en tredje retning.<ref name = Schutz/>

Begge vektorfeltene '''u''' og '''v''' er representert ved førsteordens derivasjonsoperatorer. Når de virker sammen i et produkt, vil de også gi derivasjoner av andre orden. Men i differeransen mellom produktene forsvinner disse bidragene slik at kommutatoren er en ny operator av første orden.  Det følger fra en direkte utregning,

: <math>\begin{align} {[}\mathbf{u}, \mathbf{v}]  &= u^\mu\partial_\mu (v^\nu\partial_\nu) - v^\nu\partial_\nu  (u^\mu\partial_\mu ) = u^\mu v^\nu_{,\mu} \partial_\nu - v^\nu u^\mu_{,\nu}\partial_\mu\\ &= (u^\nu v^\mu_{,\nu} - v^\nu u^\mu_{,\nu}) \partial_\mu  \end{align}</math>

når notasjonen  <math>  u^\mu_{,\nu} = \partial_\nu u^\mu </math> benyttes. I tillegg kommuterer partiellderivasjoner med hverandre slik at {{nowrap|&part;<sub>''&mu;''</sub>&part;<sub>''&nu;''</sub> {{=}} &part;<sub>''&nu;''</sub>&part;<sub>''&mu;''</sub>}}. Kommutatoren av to vektorfelt <math> [\mathbf{u}, \mathbf{v}]  =  \mathbf{w} = w^\mu\mathbf{e}_\mu </math>  er derfor et nytt vektorfelt med komponenter <math> w^\mu = u^\nu v^\mu_{,\nu} - v^\nu u^\mu_{,\nu} </math>. Dette er av sentral betydning i teorien for [[Lie-gruppe]]r.<ref name = Gilmore/>

==Lie-transport==

Et punkt ''x'' på en flytlinje generert av et vektorfelt '''u''' = ''u<sup>&nu;</sup>''&thinsp;&part;<sub>''&nu;''</sub> vil flyttes til et nytt punkt {{nowrap|''y'' {{=}} ''x''(''t''&thinsp;)}}. Når parameteren ''t'' << 1 vll koordinatene til dette nye punktet kunne skrives som

: <math>\begin{align} y^\mu &= e^{t\mathbf{u}} x^\mu = x^\mu + t\mathbf{u}x^\mu \\  &= x^\mu + tu^\mu \end{align} </math>

når man neglisjerer høyere ordens ledd i rekkeutviklingen av eksponentialfuksjonen. En skalar funksjon vil i dette punktet ha verdien ''F''(''y'') som uten videre kan sammenlignes  med verdien  ''F''(''x'' ) i utgangspunktet til flytlinjen. Den Lie-transporterte funksjonsverdien  fra ''y'' tilbake til ''x'' er derfor  {{nowrap|'''F''<sub>''y''</sub>(''x'') {{=}} ''F''(''y'')}}. Fra definisjonen følger herav at den Lie-deriverte av funksjonen blir

: <math>\begin{align} L_{\mathbf{u}}F &= \lim_{t \to 0} {1\over t}\big[F(x^\mu + tu^\mu ) - F(x^\mu) \big] \\ &=  u^\mu \partial_\mu F = \mathbf{u} F = D_{\mathbf{u}}F \end{align}</math>

som sammenfaller med den [[retningsderivert]]e av funksjonen.<ref name=Westenholz> C. von Westenholz, ''Differential Forms in Mathemaical Physics'', North-Holland Publishing Company, Amsterdam (1981). ISBN 0-444-85437-1</ref>

===Vektorfelt===

For den Lie-deriverte av et '''v''' = ''v<sup>&mu;</sup>''&thinsp;'''e'''<sub>''&mu;''</sub> langs den samme flytlinjen definert ved '''u''', vil Lie-transporten av komponentene ''v<sup>&mu;</sup>'' fra ''y'' til ''x'' være den samme som for en skalar funksjon. Men basisvektorene {{nowrap|'''e'''<sub>''&mu;''</sub>(''y'') {{=}} &part;/&part;''y''<sup>''&mu;''</sup>}} vil være forskjellig fra basisvektorene {{nowrap|'''e'''<sub>''&mu;''</sub>(''x'') {{=}} &part;/&part;''x''<sup>''&mu;''</sup>}}. Sammenhengen er gitt ved transformasjonen {{nowrap|''y'' {{=}} ''x''(''t''&thinsp;)}}. Den betyr at

: <math>\begin{align} \mathbf{e}_\nu (y) &= {\partial\over\partial y^\nu} =  {\partial x^\mu\over\partial y^\nu}{\partial\over\partial x^\mu} = \big(\delta^\mu_{\nu} -  t u^\mu_{,\nu}\big) \partial_\mu \\ &=   \mathbf{e}_\nu (x)  - t u^\mu_{,\nu}\mathbf{e}_\mu (x) \end{align} </math>

Fra definisjonen av den Lie-deriverte kan nå denne beregnes og blir

: <math>\begin{align} L_{\mathbf{u}}\mathbf{v} &= \lim_{t \to 0} {1\over t}\big[v^\nu(x^\mu + tu^\mu) (\mathbf{e}_\nu - t u^\mu_{,\nu}\mathbf{e}_\mu) - v^\nu(x^\mu)\,\mathbf{e}_\nu \big]\\ &= (u^\nu v^\mu_{,\nu} - v^\nu u^\mu_{,\nu})\,\mathbf{e}_\mu = [\mathbf{u}, \mathbf{v}]   \end{align} </math>

På samme måte følger at 

: <math>  L_{\mathbf{u}}(F\mathbf{v}) =  (L_{\mathbf{u}}F)\mathbf{v} + F (L_{\mathbf{u}}\mathbf{v}) </math>

slik at Lie-derivasjon oppfyller [[Derivasjon#Derivasjonsregler|Leibniz' produktregel]].

===Differensielle former===

[[Differensialform|Basisformene]] på mangfoldigheten er gitt ved differensialene '''d'''''x<sup>&mu;</sup>'' slik at en generell 1-from kan skrives som {{nowrap|'''&omega;''' {{=}} ''&omega;<sub>&mu;</sub>''&thinsp;'''d'''''x<sup>&mu;</sup>''}} når man igjen benytter [[Einsteins summekonvensjon]]. Mens komponentene vil transformere som skalare funksjoner under Lie-transport, vil basisformene i de to punktene {{nowrap|''y'' {{=}} ''x''(''t''&thinsp;)}} være forbundet ved

: <math> \mathbf{d}y^\nu = \mathbf{d}x^\nu + t u^\nu_{,\mu} \mathbf{d}x^\mu </math>

Dermed blir den Lie-deriverte av 1-formen

: <math>\begin{align} L_{\mathbf{u}}\boldsymbol{\omega} &= \lim_{t \to 0} {1\over t}\big[\omega_\nu (x^\mu + tu^\mu) (\mathbf{d}x^\nu + t u^\nu_{,\mu}\mathbf{d}x^\mu) - \omega_\nu(x^\mu)\,\mathbf{d}x^\nu \big]\\ &= (u^\nu \omega_{\mu ,\nu} + \omega_\nu u^\nu_{,\mu})\,\mathbf{d}x^\mu  \end{align} </math>

Dette resultatet kan også finnes ved [[Differensialform#Ytre derivasjon|ytre derivasjon]] <math> \mathbf{d}\boldsymbol{\omega} = \omega_{\mu,\nu} \mathbf{d}x^\nu \wedge \mathbf{d}x^\mu </math> og [[Differensialform#Kontraksjoner|kontraksjon]] <math> i_\mathbf{u}\boldsymbol{\omega} = \langle \boldsymbol{\omega},\mathbf{u} \rangle = \omega_\mu u^\mu </math> av formen med vektoren '''u'''. Hvis nå den ytrederiverteo blir tatt av denne kontraksjonen og addert til kontraksjonen med '''u''' av <math> \mathbf{d}\boldsymbol{\omega}</math>, ser man at

: <math>\begin{align} \mathbf{d}( i_\mathbf{u}\boldsymbol{\omega}) + i_\mathbf{u}(\mathbf{d}\boldsymbol{\omega}) &= (\omega_\nu u^\nu_{,\mu} + u^\nu \omega_{\nu,\mu})\mathbf{d}x^\mu + u^\nu(\omega_{\mu,\nu} - \omega_{\nu,\mu})\mathbf{d}x^\mu \\ &=  (\omega_\nu u^\nu_{,\mu} + u^\nu \omega_{\mu,\nu})\mathbf{d}x^\mu \end{align}</math>

Den Lie-deriverte av formen kan derfor skrives som

: <math> L_{\mathbf{u}}\boldsymbol{\omega} = (\mathbf{d} i_\mathbf{u} + i_\mathbf{u}\mathbf{d}) \boldsymbol{\omega}</math>

og er uavhengig av koordinater. Selv om resultatet her er utledet for en 1-form, viser det seg å være gyldig for en vilkårlig ''k''-form og bærer navnet til [[Élie Cartan]].<ref name = Nakahara> M. Nakahara, ''Geometry, Topology and Physics'', IOP Publishing, Bristol UK (1990). ISBN 0-85274-095-6.</ref>

Fra disse generelle egenskapene til den Lie-deriverte av differensialformer, finner man for eksempel også viktige konsekvenser som

: <math> [L_{\mathbf{u}}, L_{\mathbf{v}}] \boldsymbol{\omega} = (L_{\mathbf{u}}L_{\mathbf{v}} - L_{\mathbf{v}}L_{\mathbf{u}})\boldsymbol{\omega} = L_{[\mathbf{u},\mathbf{v}]} \boldsymbol{\omega} </math>

og 

: <math> L_{\mathbf{u}}(\boldsymbol{\alpha}\wedge \boldsymbol{\beta}) =  (L_{\mathbf{u}}\boldsymbol{\alpha})\wedge  \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\alpha}\wedge (L_{\mathbf{u}}\boldsymbol{\beta}) </math>

som er Leibniz' produktregel for vilkårlige differensialformer '''&alpha;''' og '''&beta;'''.<ref name = Westenholz/>

===Tensorer===

Ved bruk av produktregelen som Lie-derivasjon oppfyller, kan også dens effekt på [[tensor]]er finnes. Det kan illustreres ved å betrakte tilfellet når den er av [[Tensor#Tensorprodukt|andre grad]] med en kovariant og en kontravariant indeks,

: <math> \mathbf{T} = T^\mu_{\;\nu}\, \mathbf{e}_\mu \otimes\mathbf{d}x^\nu </math>

Den deriverte i retning '''u''' er da

: <math>  L_{\mathbf{u}} \mathbf{T} =  (L_{\mathbf{u}}T^\mu_{\;\nu})\, \mathbf{e}_\mu \otimes\mathbf{d}x^\nu  + T^\mu_{\;\nu}(L_{\mathbf{u}}\mathbf{e}_\mu) \otimes\mathbf{d}x^\nu + T^\mu_{\;\nu}\, \mathbf{e}_\mu \otimes (L_{\mathbf{u}}\mathbf{d}x^\nu)  </math>

hvor den Lie-deriverte av komponentene er gitt ved den [[retningsderivert]]e ''D''<sub>'''u'''</sub> og

: <math> L_{\mathbf{u}}\mathbf{e}_\mu = - u^\nu_{,\mu}\mathbf{e}_\nu , \;\;  L_{\mathbf{u}}\mathbf{d}x^\nu = u^\nu_{,\mu}\mathbf{d}x^\mu </math>

Etter navneskifte på noen av indeksene kan resultatet skrives som

: <math>  L_{\mathbf{u}} \mathbf{T} = \big(T^\mu_{\;\nu,\lambda} u^\lambda - T^\lambda_{\;\nu}u^\mu_{,\lambda}  + T^\mu_{\;\lambda} u^\lambda_{,\nu} \big) \mathbf{e}_\mu \otimes\mathbf{d}x^\nu </math>

Anvendelser på tensorer av høyere rang kan herav lett finnes. Når tensoren bare  har kovariante og fullstendig antisymmetriske komponenter, vil denne fremgangsmåten sammenfalle med hva som tidligere ble funnet for den Lie-deriverte av en differensialform.

==Referanser==
<references/>

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Differensialgeometri]]
[[Kategori:Multivariat analyse]]